Exercícios de Limites

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PROMILITARES PROF. RENATO MADEIRA 
 
 
LIMITES 
 
 
QUESTÃO 1 
(EFOMM 2011) Analise a função a seguir. 
 
2x 4
, x 2
f x x 2
3p 5, x 2
 
 
  
  
 
Para que a função acima seja contínua no ponto x 2 , qual deverá ser o valor de p ? 
a) 1 3 
b) 1 
c) 3 
d) 1 
e) 3 
 
RESPOSTA: c 
 
RESOLUÇÃO: 
f é contínua no ponto x 2    
x 2
lim f x f 2

  
 
  
 
2
x 2 x 2 x 2 x 2
x 4 x 2 x 2
lim f x lim lim lim x 2 4
x 2 x 2   
  
    
 
 
   
x 2
lim f x f 2 4 3p 5 p 3

      
 
 
QUESTÃO 2 
(EFOMM 2006) O valor do limite 
x 1
x 1
lim
x 1
  
 
  
 é 
a) 1
4
 
b) 1
2
 
c) 0 
d) 1
4
 
e) 1
2
 
 
RESPOSTA: e 
 
RESOLUÇÃO: 
  x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 1 1 1
lim lim lim
x 1 2x 1 1 1x 1 x 1  
   
    
     
 
 
 
QUESTÃO 3 
(EFOMM 2006) O valor do limite 
   
2x 2
1 1
x 2
lim
x 4


 é 
a) 1
8
 
b) 1
16
 
c) 0 
d) 1
16
 
e) 1
8
 
 
RESPOSTA: b 
 
RESOLUÇÃO: 
   
      2x 2 x 2 x 2
2 x
1 1
1 1 1x 2 2xlim lim lim
x 2 x 2 2x x 2 2 2 2 2 16x 4  

  
    
     
 
 
 
QUESTÃO 4 
(EFOMM 2003) Calcule 
x 0
1 2x 1 2x
lim
x
  
. 
a)  
b) 0 
c) 1 
d) 2 
e)  
 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
   
 
 
   
2 2
x 0 x 0 x 0
x 0 x 0 x 0
1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x
lim lim lim
x x 1 2x 1 2x x 1 2x 1 2x
1 2x 1 2x 4x 4
lim lim lim
1 2x 1 2xx 1 2x 1 2x x 1 2x 1 2x
4
2
1 2 0 1 2 0
  
  
           
   
      
  
   
         
 
    
 
 
2ª RESOLUÇÃO: 
Como o limite é da forma 
0
0
 
 
 
, vamos aplicar o teorema de L’Hôpital. 
x 0 x 0 x 0
2 2
1 2x 1 2x 1 1 1 12 1 2x 2 1 2x
lim lim lim 2
x 1 1 2x 1 2x 1 2 0 1 2 0  


     
      
      
 
 
 
QUESTÃO 5 
(EFOMM 2012) O valor do 
x 0
x a a
lim
x
  
 
 
 é: 
a) 
1
a
 
b) a 
c) 
1
2 a
 
d) 2 a 
e) 0 
 
RESPOSTA: c 
 
RESOLUÇÃO: 
   
 
2 2
x 0 x 0 x 0
x 0
x a a x a a x a a x a a
lim lim lim
x x x a a x x a a
x a
lim
  

                            


a
  x 0
1 1 1
lim
x a a 0 a a 2 ax x a a 
   
     
       
 
 
 
QUESTÃO 6 
(EFOMM 1993) O 
1x1
1x1
lim
30x 


 é igual a: 
a) 
1
3
 
b) 
3
2
 
c) 
3
5
 
d) 
2
3
 
e) 
2
5
 
 
RESPOSTA: b 
 
RESOLUÇÃO: 
3 26 31 x y 1 x y 1 x y        
Se x 0 , então y 1 . 
  
  
23 2 2
23x 0 y 1 y 1 y 1
y 1 y y 11 x 1 y 1 y y 1 1 1 1 3
lim lim lim lim
y 1 y 1 y 1 1 1 2y 11 x 1   
        
    
    
 
 
 
QUESTÃO 7 
(EFOMM 2001) O valor de 
3x 2
x 2
lim
3x 5 1

 
: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
RESPOSTA: a 
 
RESOLUÇÃO: 
3
3 33 y 13x 5 y 3x 5 y 3x 6 y 1 x 2
3

            
Se x 2 , então y 1 . 
      
3
2
2 2
3x 2 y 1 y 1 y 1
y 1
y 1 y y 1x 2 1 1 13lim lim lim lim y y 1 1 1 1 1
y 1 3 y 1 3 33x 5 1   

  
        
  
 
 
2ª RESOLUÇÃO: 
Como o limite é da forma 
0
0
 
 
 
, vamos aplicar o teorema de L’Hôpital. 
 
   2 23 3
3x 2 x 2 x 2
23
x 2 1
lim lim lim 3x 5 3 2 5 1
33x 5 1
3 3x 5
  

      
 

 
 
 
QUESTÃO 8 
(EFOMM 1993) Calculando o 
2
3
2x
1 x
lim
x x


, encontramos: 
a) –1 
b) + 
c) +1 
d)  
e) +1/3 
 
RESPOSTA: a 
 
RESOLUÇÃO: 
2
2 2 2
3 3332 2x x x
2
1 x 1
1
1 x 0 1x xlim lim lim 1
1 1 0x x x x 1
xx
  


 
    
  
 
onde usamos 
2x x
1 1
lim lim 0
x x 
  
 
 
QUESTÃO 9 
(EFOMM 1999) Resolvendo 
3 2
3x
4x 4x 5
lim
6x 3x 7
 
 
, encontramos: 
a)  
b)  
c) 0 
d) 
2
3
 
e) 
4
 
 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
3 2
3 2 3 3
3 3x x x
2 33
4x 4x 5 4 5
4
4x 4x 5 4 2xx xlim lim lim
3 7 6 36x 3x 7 6x 3x 7 6
x xx
  
 
 
 
   
     
 
 
 
QUESTÃO 10 
(EFOMM 2004) Calcule   
x
lim log x 1 log x

  . 
(A)  
(B) 0 
(C) 1 
(D) 1 
(E)  
 
RESPOSTA: B 
 
RESOLUÇÃO: 
  
x x x
x 1 1
lim log x 1 log x lim log lim log 1 log1 0
x x  
      
            
      
 
 
 
QUESTÃO 11 
(EFOMM 2010) Seja f uma função de domínio    D f a  . Sabe-se que o limite de  f x , quando 
x tende a a , é L e escreve-se  
x a
lim f x L

 , se para todo 0  , existir 0  , tal que se 0 x a    
então  f x L   . 
Nessas condições, analise as afirmativas abaixo. 
I – Seja  
2x 3x 2
se x 1
f x x 1
3 se x 1
  
 
  
 
, logo,  
x 1
lim f x 0

 . 
II – Na função  
2x 4 se x 1
f x 1 se x 1
3 x se x 1
  

  

 
, tem-se  
x 1
lim f x 3

  . 
III – Sejam f e g funções quaisquer, pode-se afirmar que      
n n
x a
lim f g x L M

   , 
*n , se 
 
x a
lim f x L

 e  
x a
lim g x M

 . 
Assinale a opção correta. 
a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. 
b) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 
c) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
d) Apenas a afirmativa III é verdadeira. 
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
I  FALSA 
 
   2
x 1 x 1 x 1
x 2 x 1x 3x 2
lim f x lim lim
x 1  
  
 
 x 1
 
x 1
lim x 2 1 2 1

      
Note que o limite quando x tende a 1 é calculado para valores em uma vizinhança reduzida de 1, ou seja, 
que não inclui o número 1. 
II  FALSA 
   
   
   
2 2
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1 x 1
lim f x lim x 4 1 4 3
lim f x 2 3 lim f x
lim f x lim 3 x 3 1 2
 
 
 
 
 
 
     

      
     

 
x 1
lim f x

 
III  VERDADEIRA 
O produto dos limites é igual ao limite do produto. 
 
 
QUESTÃO 12 
(EFOMM 2001) Das afirmativas abaixo: 
I. Se  
x
lim f x

  e  
x
lim g x

  , então   
x
lim f g x

   . 
II. Se  
x
lim f x

  e  
x
lim g x

  , então   
x
lim f g x

   . 
III. Se  
x
lim f x

  e  
x
lim g x

  , então   
x
lim f g x

   . 
IV. Se  
x
lim f x

  , então 
 x
1
lim
f x
  . 
Estão incorretas: 
(A) II e IV 
(B) I e IV 
(C) III e IV 
(D) apenas a II 
(E) II e III 
 
RESPOSTA: A 
 
RESOLUÇÃO: 
I. VERDADEIRA 
II. FALSA 
Se  
x
lim f x

  e  
x
lim g x

  , então   
x
lim f g x

   . 
III. VERDADEIRA 
IV. FALSA 
Se  
x
lim f x

  , então 
 x
1
lim 0
f x
 . 
As propriedades operatórias do limites apresentadas nas afirmativas podem ser demonstradas a partir das 
definições abaixo: 
   
x
lim f x 0, 0 tal que x f x

         
   
x
lim f x 0, 0 tal que x f x

         
 
 
QUESTÃO 13 
(EFOMM 1999) Em relação à função  y f x , representada pelo gráfico abaixo, podemos afirmar que: 
 
I   
x 3
lim f x 2
 
 
II   
x 3
lim f x 2
 
 
III   
x 0+
lim f x

  
IV   
x 0
lim f x
 
  
a) apenas II é verdadeira. 
b) apenas I e II são verdadeiras. 
c) apenas II e III verdadeiras. 
d) apenas I, II e IV são verdadeiras. 
e) todas são verdadeiras. 
 
RESPOSTA: c 
 
RESOLUÇÃO: 
Observando o gráfico, temos: 
I  FALSA:  
x 3
lim f x 1
 
 
II  VERDADEIRA:  
x 3
lim f x 2
 
 
III  VERDADEIRA:  
x 0+
lim f x

  
IV  FALSA:  
x 0
lim f x
 
  
 
 
 
QUESTÃO 14 
(EFOMM 95) O valor de 
2
3 2x 0
2 2cos x
lim
x x
 

 é: 
a) 2 
b) 1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
RESPOSTA: e 
 
RESOLUÇÃO: 
 
   
22 2 2
2
3 2 2 2x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
2 2cos x 2 1 cos x 2 sen x sen x 2 2
lim lim lim lim lim 1 2
x x 1 0 1x x x x 1 x x 1    
       
       
     
 
 
 
QUESTÃO 15 
(EFOMM 2007) O valor do limite 
5
5x 0
sen 2x
lim
4x
 é: 
a) 1 
b) 3 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
 
RESPOSTA: e 
 
RESOLUÇÃO: 
55 5
5
5 5x 0 x 0
sen 2x sen 2x 32x
lim lim 1 8 8
2x4x 4x 
 
     
 
 
 
2ª RESOLUÇÃO: 
Quando x 0 , temos sen x ~ x , isto é, sen x e x são infinitesimais equivalentes. 
 55 5
5 5 5x 0 x 0 x 0
sen 2x 2x 32x
lim lim lim 8
4x 4x 4x  
   
 
 
QUESTÃO 16 
(EFOMM 99) Sendo 
 2x 0
2 x sen 6x
A lim
cossec6x 1 cos 6x
 
  
 
 e (2x 1)
x log 32
B lim 2 

 
 
, 
2A B
2
 vale: 
a) 2 3 
b) 6 
c) 12 
d) 6 3 
e) 18 
 
RESPOSTA: b 
 
RESOLUÇÃO: 
 2x 0 x 0 x 02
2x 0 x 0 x 0
2 x sen 6x 2 x sen 6x x sen 6x
A lim lim 2 lim
1 sen 6xcossec6x 1 cos 6x sen 6x
sen 6x
x sen 6x x 1 6x 1 2
2 lim 2 lim 2 lim 2 1
sen 6x 6 sen 6x 6sen 6x 6
  
  
 
      
        
    
 
     
               
    
 
      
2log 32log 3 12x 1 122
x log 32
B lim 2 2 2 2 9 2 18


       
22A B 1 2 1 4
18 18 6
2 2 2 66
 
       
 
 
 
 
 
QUESTÃO 17 
(EFOMM 2005) Calcule 
6
3
2x 3
x 2x
x
1
lim
3



 
 
 
 
a)  
b)  
c) 3 
d) 0 
e) 
3
3
 
 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
3
6 3
3x x
2
3
2x
2x 3 xlim lim
2x 2x 1
x
 


  
 
 
6
3
2x 3
x 2x
x
1 1
0 1 lim 0
3 3



 
    
 
 
 
 
QUESTÃO 18 
(EFOMM 2008) Analise as afirmativas abaixo: 
I. 
a 1
a 1 1
lim
a 1 2
 
   
 
II. 
2
kx
x 0
k x
lim e
k x
 
   
 
III. 
x
2
tan 2x
lim 1
x
2


 
 
 
 
 
 
Assinale a alternativa correta: 
a) Apenas a afirmativa III é falsa. 
b) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 
c) As afirmativas I e III são verdadeiras. 
d) As afirmativas II e III são falsas. 
e) As afirmativas I e III são verdadeiras. 
 
RESPOSTA: a 
 
RESOLUÇÃO: 
I. V 
    a 1 a 1 a 1
a 1 a 1 1 1 1
lim lim lim
a 1 21 1a 1 a 1 a 1  
      
                   
 
II. V 
2
1 k x k x 2
x 2x kx
x 0 x 0 x 0
k x 2x 2x
lim lim 1 lim 1 e
k x k x k x
 
  
 
      
                  
 
III. F 
   
y 0 y 0 y 0 y 0
x
2
tg 2y tg 2ytg 2x tg 2y tg 2y
lim lim lim lim lim 2 1 2 2 1
y y y 2y
x
2
    

       
                 
 
 
y x 2x 2y
2

      e  x y 0
2
 
   
 
 
 
 
QUESTÃO 19 
(EFOMM 2002) Calcule 
5x
x 0
e 1
lim
x

. 
a) 5e 
b) 0 
c) e 
d) 1 
e) 5 
 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
5x 5x
x 0 x 0
e 1 e 1
lim lim 5 1 5 5
x 5x 
 
     
 
2ª RESOLUÇÃO: 
5x
x 0 x 0
e 1 5x
lim lim 5
x x 

  
 
 
QUESTÃO 20 
(EFOMM 2001) O valor de 
x
x
3
lim 1
x
 
 
 
 é: 
a) 3e 
b) 1e 
c) e 
d) 2e 
e) 3e 
 
RESPOSTA: e 
 
RESOLUÇÃO: 
Lembrando que 
x
x
1
lim 1 e
x
 
  
 
, temos: 
 
3
x
x
3 3
x x
3 1
lim 1 lim 1 e
x x 3 
 
    
           
 
 
 
QUESTÃO 21 
(EFOMM 1993) O 
2x 4
x
x 7
lim
x 5


 
 
 
 é igual a: 
a) e 
b) 2e 
c) 3e 
d) 4e 
e) 1 
 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 2 2x 4
x 5 x 5
2x 4 2x 4
2
4
x x x
x 7 2 1
lim lim 1 lim 1 e
x 5 x 5 x 5 2
 
 
 
  
 
      
                  
 
 
x x
4
2
2 2x 4 2 0xlim 2 lim 2 4
5x 5 1 0
1
x
 

  
    
 

 
 
 
QUESTÃO 22 
(EFOMM 1999) Sabendo que 
x 1 2x
x 0
y lim e 

 , o logaritmo neperiano de y vale: 
a) 2e 
b) e 
c) ee 
d) 2e 
e) 3e 
 
RESPOSTA: a 
 
RESOLUÇÃO: 
   
2
1 1
x 2x 2x
x 0 x 0 x 0
lim 1 2x lim 1 2x lim 1 2x e
  
 
        
x x1 2x 1 2x 2x
x 0 x 0 x 0
y lim e ln y lim ln e lim 1 2x e 
  
      
 
 
QUESTÃO 23 
(EFOMM 2001) O valor de 
3 2
3 2x 1
3x 4x x 2
lim
2x 3x 1
  
 
 é: 
a) 
2
3
 
b) 
5
3
 
c) 
3
5
 
d) 
3
2
 
e) 2 
 
RESPOSTA: b 
 
RESOLUÇÃO: 
Como o limite é da forma 
0
0
 
 
 
, vamos aplicar o teorema de L’Hôpital duas vezes. 
3 2 2
3 2 2x 1 x 1 x 1
3x 4x x 2 9x 8x 1 18x 8 18 1 8 5
lim lim lim
12x 6 12 1 6 32x 3x 1 6x 6x  
       
   
    