LISTA_02_EDA_PRO_22 (2)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
2a Lista de Exerćıcios de Equações Diferenciais Aplicadas
Engenharia Civil e de Produção
Professora: Geizane Lima da Silva
(1) Resolver os exerćıcios da lista 1 sobre a equação de Ricatti, equações exatas e os exerćıcios deixados
em sala de equações não exatas.
(2) Determine se os problemas abaixo possuem soluções e se estas soluções são únicas e determine o
intervalo de maior amplitude onde a solução é única. (não precisa exibir a solução)
(a) xy′′ + 3y = x, y(1) = 1 e y′(1) = 0;
(b) (x− 1)y′′ − 3xy′ + 4y = sinx, y(−2) = 2 e y′(−2) = 1
(c) x(x− 4)y′′ + 5xy′ + 4y = 3, y(3) = 0 e y′(3) = −1.
(d) (x− 3)y′′ + xy′ + ln |x|y = 0, y′(1) = 2 e y′(1) = 0
(3) Verifique que y1 = 1 e y2 = x
1/2 são soluções de yy′′+(y′)2 = 0 para x > 0. Mostre que c1+c2x
1/2 não
é em geral solução desta equação. Porque não ? Isso contradiz o Teorema da existência e unicidade
de soluções para equações lineares de 2◦ ordem?
(4) Calcule o Wronskiano das funções e determine se são LD ou LI:
(a) f1(t) = e
−2t e f2(t) = te
−2t
(b) f1(θ) = cos
2 θ e f2(θ) = 1 + cos 2θ
(5) Ache o wronskiano das duas soluções da equação diferencial dada sem resolvê-la:
(a) x2y′′ − x(x+ 2)y′ + (x+ 2)y = 0
(b) x2y′′ + xy′ + (x2 − 4)y = 0
(6) Em cada problema abaixo, ache uma segunda solução da equação diferencial dada, a partir de uma
solução y1 e determine a solução geral da EDO homogênea:
(a) x2y′′ + 3xy′ − y = 0, x > 0; y1(x) =
1
x
;
(b) y′′ + 5y = 0; y1(x) = 1;
(c) y′′ − y = 0; y1(x) = coshx;
(d) (1− 2x− x2)y′′ + 2(1 + x)y′ − 2y = 0; y1(x) = x+ 1.
1
2
(7) Ache as soluções das equações homogêneas com coeficientes constantes:
a) y′′ + 2y′ − 3y = 0
b) y′′ + 6y′ + 13y = 0
c) y′′ + 5y = 0
c) y′′ + y = 0, y(π/3) = 2 e y′(π/3) = −4
(8) Fazendo a substituição adequada resolva:
a) x2y′′ + 2xy′ − 1 = 0, x > 0
b) y′′ + x(y′)2 = 0
c) y′′ + (y′)2 = 2e−y