Conservação da quantidade de movimento para um sistema de pontos materiais

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Conservação da quantidade 
de movimento para um 
sistema de pontos materiais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Obter grandezas físicas em um sistema sem impulso externo.
  Relacionar o centro de massa com a conservação da quantidade de 
movimento.
  Explicar o porquê da ausência de impulso externo para haver 
conservação.
Introdução
A quantidade de movimento é um vetor característico de partículas em 
movimento. Quando há um sistema de partículas, cada uma das inte-
grantes desse sistema possuirá um momento próprio, que contribui com 
a sua parcela para o momento total do sistema. Assim como no caso de 
uma partícula, a quantidade de movimento linear do sistema se conserva 
quando não há impulsos externos agindo sobre ele — ou seja, você pode 
realizar a medida da quantidade de movimento em qualquer instante de 
tempo e ela será a mesma. Essa é uma característica muito importante 
desse tipo de sistema. Neste capítulo, você aprenderá como utilizá-la.
Conservação do momento linear
O momento linear (ou quantidade de movimento linear) é a grandeza física 
que relaciona a massa e a velocidade de uma partícula. Para uma partícula, o 
momento linear é matematicamente expresso por:
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Em um sistema de partículas, cada uma vai ter o seu próprio momento 
linear, de modo que o momento linear total do sistema será:
O princípio do impulso e quantidade de movimento linear, para um sistema 
de partículas, mostra que uma força externa produzirá um impulso externo 
capaz de alterar o momento linear inicial do sistema:
A partir de (3), podemos verificar que, na ausência de impulsos externos 
, o momento linear inicial do sistema será exatamente igual ao 
momento linear final do sistema:
ou, ainda, na forma:
em que o índice 0 que acompanha a velocidade no lado esquerdo de (5) indica 
que é a velocidade inicial do sistema, e a ausência de índice, na velocidade no 
lado direito, indica a velocidade fi nal.
Análise da conservação
Uma análise de (5) é fundamental para compreender bem essa conservação. 
O primeiro ponto é ressaltar que o sistema está isolado, ou seja, não há ação 
de forças externas capazes de produzir um impulso externo, de modo que:
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É importante notar que ainda é possível existir impulsos internos no 
sistema, mas as forças de interação ocorrerão em pares colineares, mas com 
sentidos opostos, de modo que os impulsos também terão sentidos opostos, 
resultando em uma soma líquida nula. Ou seja, se houver impulsos internos, 
não serão capazes de alterar a quantidade de movimento final do sistema.
Nas situações em que (6) é válido, ocorrerá, portanto, a conservação da 
grandeza física momento linear. Mas o que significa de fato a conservação 
de uma quantidade? O (5) mostra é que, independentemente do que aconteça 
com o sistema, o valor numérico do momento linear inicial será o mesmo 
valor numérico calculado em qualquer outro instante do movimento. A seção 
a seguir discute situações em que a conservação ocorre.
O momento linear individual das partículas pode mudar ao longo do processo, o 
momento linear total do sistema, não.
Situações práticas
As situações mais comuns para ilustrar a conservação do momento linear são 
as colisões. As colisões podem ser de três tipos:
  colisões completamente inelásticas — envolvem objetos que se acoplam 
após a colisão. Nesse caso, é importante ressaltar que o momento linear 
é conservado, mas a energia cinética, não.
  colisões parcialmente inelásticas — são colisões em que os objetos 
ficam separados após a colisão mas que foram deformados de alguma 
maneira no choque. Aqui, assim como no caso anterior, ocorre a 
conservação do momento linear mas a energia cinética também não 
é conservada. Neste caso, porém, não é trivial compreender o que 
ocorre após o movimento pois existem muitas soluções que satisfazem 
a conservação do momento linear.
  colisões elásticas — são colisões em que os objetos ficam separados 
após a colisão, mas que não são deformados pelo choque. Nesse caso, 
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tanto a energia cinética quanto o momento linear do sistema são 
conservados.
A seguir são abordadas algumas situações que ilustram esse tipo de 
colisão. Para iniciar, pode-se pensar em um pêndulo balístico, ou seja, uma 
bala atinge um bloco, ficando presa a ele, como mostrado na Figura 1. Esse 
é um exemplo de colisão inelástica, e todas as forças atuando no sistema 
são internas ao sistema bala–bloco, de modo que o impulso externo ao 
sistema é nulo.
Figura 1. Bala ficando alojada no bloco em um pêndulo balístico.
Fonte: adaptada de Almeida (c2018).
Outro exemplo de colisão elástica bastante trabalhado em exercícios é o 
acoplamento entre vagões de trem ou entre o vagão e a locomotiva, como 
mostrado na Figura 2. Ao se acoplarem, passa a existir a ação de uma 
tensão, mas que ocorre em pares colineares com sentidos opostos, ou seja, 
da locomotiva para o vagão e do vagão para a locomotiva, de modo que 
a soma vetorial dessas forças seja nula, não produzindo nenhum impulso 
externo ao sistema. Desse modo, essa é outra situação em que o momento 
linear se conserva.
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Figura 2. Dois trens que seguem na mesma direção e acoplam-se em um dado instante.
Fonte: Fouad A. Saad/Shutterstock.com.
Para colisões inelásticas, pode-se pensar em um jogo de sinuca. Quando 
as bolas do jogo colidem, não se deformam, sendo que têm velocidade e 
direção alteradas após a colisão. As forças envolvidas na colisão são internas 
ao sistema, não produzindo impulsos externos a ele.
Figura 3. Colisão entre bolas de sinuca, que é um exemplo 
de colisão inelástica.
Fonte: Whitford (2015). 
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Por fim, para citar um exemplo para além das colisões, uma explosão 
interna que ocorre dentro de um corpo também não é capaz de produzir 
impulsos externos e alterar o seu momento linear inicial, como em um 
foguete — após queimar todo o seu combustível, uma pequena explosão 
separa o terceiro estágio do quarto estágio do foguete, como mostrado 
na Figura 4.
Figura 4. Pequena explosão separando os estágios 
de um foguete.
Fonte: Meriam e Kraige (2009, p. 200).
Centro de massa
Para facilitar a resolução do problema, em particular quando ocorrem coli-
sões, é preferível trabalhar com o centro de massa do sistema, onde, para N 
partículas, vale:
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em que a massa m que aparece no lado direito da equação (7) é a massa total 
do sistema:
de modo que a velocidade do centro de massa possa ser determinada por:
Essa é uma quantidade importante, pois, no caso de os sistemas ficarem 
acoplados após a colisão, passam a movimentar-se com a velocidade do 
centro de massa. Por exemplo, no sistema trem–vagão mostrado na Figura 
2, inicialmente cada parte do sistema possui as suas velocidades indepen-
dentes, e , respectivamente. Quando acontece o acoplamento dos 
dois, eles passam a mover-se com a mesma velocidade do centro de massa 
do sistema:
No exemplo a seguir, esse tipo de cálculo é executado.
É muito importante ressaltar que, em situações como o acoplamento dos trens, há 
casos em que estes movem-se em direções opostas, de modo que as suas velocidades 
terão sinais contrários. Por isso é fundamental definir o sentido positivo do eixo x no 
início do problema.
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Um trem de 15.000 kg move-se com velocidade de 2 m/s em direção a um vagão de 
10.000 kg que está se movendo com velocidade de 0,5 m/s na mesma direção do 
trem. Em algum ponto, realiza-se um acoplamento suave entre as duas partes, como 
mostrado na figura abaixo. Determine a velocidade do centro de massa dos trens 
imediatamente após o acoplamento.
Fonte: Fouad A. Saad/Shutterstock.com.
Solução:
O primeiro passo para resolver o problema é definir o sentido positivo do 
eixo x. Definido o eixo x como horizontal com sentido positivo para a direita, as duas 
velocidades serão positivas. Desse modo, basta aplicar (10) para a sua componente x
Para exercitar a dica do quadro “Fique atento”, o exercício a seguir apresenta 
um problema similar, com os trens movendo-se em direções opostas.
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Um trem de 15.000 kg move-se com velocidade de 2 m/s em direção a um vagão de 
10.000 kg que está se movendo com velocidade de 0,5 m/s em direção oposta ao 
trem. Em algum ponto, realiza-se um acoplamento suave entre as duas partes, como 
mostrado na figura abaixo. Determine a velocidade do centro de massa dos trens 
imediatamente após o acoplamento.
Fonte: Fouad A. Saad/Shutterstock.com.
Solução:
Assim como no problema anterior, o primeiro passo para resolver esse problema é 
definir o sentido positivo do eixo x. Definido o eixo x como horizontal, com sentido 
positivo para a direita, a velocidade do trem será positiva e a velocidade do vagão 
será negativa. Essa diferença é muito importante e afetará o resultado da velocidade 
do centro de massa. Aplicando a equação (10) para a sua componente x:
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O primeiro polímero sintético desenvolvido que teve grandes aplicações foi o baquelite. 
Após um momento evolutivo, chegou-se à era dos polímeros projetados, com destaque 
para o neoprene, que é uma borracha sintética.
1. Dois vagões, A e B, movem-se ao 
longo de um trilho horizontal, de 
modo a se acoplarem. O carro B, 
de 70 toneladas, move-se com 
velocidade de 1,25 m/s em direção 
ao carro A, de 50 toneladas, que 
se move com velocidade de 0,520 
m/s. Determine a velocidade que os 
vagões seguirão após se acoplarem.
 
a) 0,946 m/s.
b) 0,0946 m/s.
c) 9,46 m/s.
d) 94,6 m/s.
e) 0,00946 m/s.
2. Dois vagões, A e B, movem-se ao 
longo de um trilho horizontal, de 
modo a se acoplarem, nos sentidos 
mostrados na figura abaixo. O carro 
B, de 70 toneladas, move-se com 
velocidade de 1,25 m/s em direção 
ao carro A, de 50 toneladas, que 
se move com velocidade de 0,520 
m/s. Determine a velocidade que os 
vagões seguirão após se acoplarem.
 
a) 0,0512.
b) 51,2.
c) 0,0512.
d) 5,12.
e) 0,512.
3. Um pacote de 8 kg é arremessado 
em um carrinho de 17 kg, 
inicialmente em repouso, conforme 
o ângulo indicado na figura abaixo. 
Considerando que o carrinho tem 
uma superfície lisa, determine a 
velocidade final comum do carrinho 
e do pacote depois do impacto.
 
a) 1,43.
b) 1,88 m/s.
c) 2,05 m/s.
d) 3,01 m/s.
e) 6,04 m/s.
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4. A figura mostra uma bala de 
50 g que estava viajando a 600 
m/s quando atingiu o centro de 
um bloco, que viajava em outra 
direção. Determine a intensidade 
da velocidade comum do sistema 
imediatamente após a colisão.
 
a) 16,8 m/s.
b) 600 m/s.
c) 612 m/s.
d) 12 m/s.
e) 68,1 m/s.
5. Um garoto de 60 kg corre e 
pula sobre um trenó de 15 kg, 
inicialmente em repouso, e agarra-se 
ao carrinho, atingindo a velocidade 
final horizontal de 4,8 m/s. 
Determine a velocidade do garoto 
antes de agarrar-se ao carrinho.
 
a) 1,25 m/s.
b) 6,00 m/s.
c) 4,80 m/s.
d) 1,20 m/s.
e) 3,52 m/s.
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em: <http://slideplayer.com/slide/1671645/>. Acesso em: 07 mar. 2018.
Leituras recomendadas
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R.; CORNWELL, P. J. Mecânica vetorial para engenheiros: 
dinâmica. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2012.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 10. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2016. v. 1.
HIBBELER, R. C. Dinâmica: mecânica para engenharia. 10. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2005.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica 1: mecânica. 4. ed. São Paulo: Blucher, 
2002. v. 1.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e 
ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
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