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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS - PUC MINAS 
DISCIPLINA: PESQUISA OPERACIONAL – PROFA. MARIA A F ALMEIDA 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 RESOLUÇÃO- TEORIA DAS FILAS 
 
1) Defina os termos sistema, modelagem e simulação. 
2) Um profissional do ramo da Pesquisa Operacional foi solicitado para efetuar um estudo em uma firma distribuidora 
de gasolina. Esta firma possui um pátio com uma bomba, onde os caminhões são carregados com gasolina. Com o 
aumento das vendas, tem acontecido freqüentemente que o pátio fica lotado de caminhões, além de atrapalhar o 
trânsito na estrada ao lado. Assim, sua missão é redimensionar o pátio no que se refere ao número ótimo de postos 
de atendimento. Inicialmente, ele estudou o ritmo de chegada, fazendo uma coleta de dados, conforme mostrado a 
seguir, que relaciona a quantidade de veículos que chegou ao pátio em cada um dos 80 intervalos de 1 hora. 
 
Pede-se: verificar graficamente se o ritmo de chegadas se aproxima da Distribuição de Poisson. Observação – trace o 
gráfico no Excel para visualizar os dados. 
 
Fazer as freqüências absoluta e relativa a cada valor e traçar o gráfico no Excel. Ver no gráfico segue uma distribuição 
de Poisson. 
 
 
 
 
 
 
 
3) O mesmo profissional do exercício anterior estudou a seguir o processo de atendimento no pátio. Os dados da 
tabela abaixo mostram a duração de cada atendimento, em minutos. 
 
Pede-se: verifique graficamente se a duração do atendimento segue a Distribuição Exponencial Negativa. 
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
1 3 5 7 9 11 13
Resposta: Idem anterior 
 
 
 
 
4) Suponhamos que as chegadas a uma cabine telefônica obedecem a lei de Poisson, com ritmo de 6 chegadas por 
hora. A duração média do telefonema é de 3 minutos e suponhamos que segue a distribuição exponencial. Pede-
se: 
a) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não ter que esperar? 
 λ= 6 chegadas/ hora. Portanto IC = 10 minutos; 
 TA = 3 minutos. Portanto, μ = 20 atendimentos/ hora. 
 
Logo: 
Então: P0 = 1- λ / μ = 1- (6/20) = 0,7 = 70% de probabilidade 
 
b) Qual o número médio de pessoas na fila? 
λ = 6 chegadas/ hora. Portanto IC = 10 minutos; 
 TA = 3 minutos. Portanto, μ = 20 atendimentos/ hora. 
 
Logo: NF = (6)2/ (20(20-6)) = 0,128 pessoas na fila 
c) Qual o número médio de pessoas no sistema? 
 
NS = 6 /20-6 = 0,42 pessoas no sistema 
d) Qual o número de clientes usando o telefone? 
NA = ? 
NS = NF + NA 
NA = 0,428 – 0,128 
NA = 0,3 pessoas 
e) Qual o tempo na fila? 
 
 
λ = 6 chegadas/ hora. Portanto IC = 10 minutos; 
TA = 3 minutos. Portanto, μ = 20 atendimentos/ hora. 
Logo: 
TF = 6/ (20(20-6)) = 0,021 hora ou 1,28 minutos. 
 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
f) Para qual ritmo de chegada teríamos a situação em que o tempo médio de espera na fila seria de 3 
minutos? 
 
TF = 3 minutos (0,05 h), mantendo o mesmo ritmo de clientes = 20 pessoas por hora. 
 
 0,05 = λ /( 20(20 – λ)) 
 0,05 = λ / 400 - 20λ 
 λ / 400 – 20 λ = 0,05 
 λ = 20 - 1 λ 
λ + λ = 20 
λ = 20 / 10 
λ = 10 pessoas por hora 
g) Qual é a fração do dia durante a qual o telefone está em uso? 
A fração do dia durante a qual o telefone está em uso é exatamente igual a (1-P0), isto é, a probabilidade de 
que existam pessoas no sistema. Conforme calculado no item “1”, este valor é 30%. 
 
P0 = 0,7 
Pocupado = 1 – P0 
Pocupado = 1 – 0,7 = 0,3 ou 30 % 
 
5) Uma fábrica possui um depósito de ferramentas onde os operários vão receber as ferramentas especiais para a 
realização de uma determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada (λ = 1 chegada/minuto) e o ritmo de 
atendimento (μ = 1,2 atendimentos por minuto) seguem o modelo marcoviano M/M/1. A fábrica paga $ 9,00 por hora 
ao atendente e $ 18,00 ao operário. Pede-se: 
a) O custo horário do sistema 
O custo horário do sistema é igual à soma do custo horário do atendente com o custo horário dos operários que, 
por ficaram no sistema de fila, não estão trabalhando. Para calcularmos este último, devemos conhecer o número 
médio de clientes no sistema (NS). 
NS = λ / (μ – λ) = 1 / (1,2 – 1) = 5 clientes 
Portanto: Custo horário = (custo atendente) + (custo operários) 
Custo horário = ($9,00) + (5 x $ 18,00) = $99,00 
b) A fração do dia em que o atendente não trabalha 
É igual ao valor da probabilidade de não existir nenhum operário no sistema: 
P0 = 1 – λ /μ = 0,16 
6) Uma empresa deseja contratar um reparador para efetuar manutenção em suas máquinas, que estragam a um ritmo 
de 3 falhas por hora. Para tal possui 2 opções: um reparador lento, que é capaz de consertar a um ritmo de 4 falhas 
por hora ou um reparador rápido, que é capaz de consertar a um ritmo médio de 6 falhas por hora. O salário / hora 
do reparador lento é de $3,00 e o do reparador rápido é de $5,00. Qual a contratação deve ser efetuada para que o 
custo total (reparador mais máquinas paradas) seja mínimo? Sabe-se que uma máquina parada implica um custo 
horário de $5,00. 
Reparador lento 
NS = λ / μ – λ 
NS = 3 / 4 – 3 = 3 clientes (máquinas) 
Custo maquinas = NS x Custo por maquina = 3 x 5,00 = 15,00 
Custo reparador = 3,00 
Custo total = Custo maquinas + Custo reparador. = 15,00 + 3,00 = $18,00 
 
Reparador rápido 
NS = λ / μ – λ 
NS = 3 / 6 – 3 = 1 cliente (máquina) 
Custo maquinas = NS x Custo por maquina = 1 x 5,00 = 5,00 
Custo reparador = 5,00 
Custo total = Custo maquinas + Custo reparador. = 5,00 + 5,00 = $10,00 
 O reparador rápido apesar de ter um custo horário maior implica em um custo total menor. 
 
7) Em um sistema de filas seqüenciais (peças chegam em horas) conforme mostra a figura abaixo, calcule as filas que 
se formam em cada servidor. 
 
 
Fabricação: 
λ = 10 peças / hora 
μ = 15 peças / hora 
 NF = λ2 / μ (μ – λ) = 102 / 15(15 – 10) = 100 / 15(15 -10) = 100 / 15 x 5 = 1,33 peças 
 Inspeção: 
λ = 10 peças / hora 
μ = 30 peças / hora 
 NF = λ2 / μ (μ – λ) = 102 / 30(30 – 10) = 100 / 30(30 -10) = 100 / 30 x 20 = 0,17 peças 
 Reparo 
λ = 2 peças / hora 
μ = 20 peças / hora 
 NF = λ2 / μ (μ – λ) = 22 / 20(20 – 10) = 4 / 20(20 -2) = 4 / 360 = 0,011 peças 
8) A cidade de Belo Horizonte mantém um serviço de ponte aérea com algumas cidades do país. O principal aeroporto 
da cidade é o Pampulha que concentra todo o serviço de vôos regionais. Isso faz com que o tráfego aéreo fique um 
pouco congestionado. A intensidade do tráfego aéreo é função da hora do dia, mas o momento mais crítico está 
entre 17 e 18 horas dos dias úteis, exatamente durante o retorno das pessoas que deixaram a capital para trabalhar 
em outras cidades. Os aviões que chegam ficam em uma “fila”, aguardando a vez de aterrissar em uma única pista. 
Eles ficam sobrevoando em grandes círculos nas proximidades do aeroporto até que a torre de controle libere a 
pista para pouso. Para o horário entre 17 e 18 horas, a taxa média de chegada de aviões é de um avião a cada 3 
minutos. A torre de controle, por sua vez, consegue aterrissar, em média um 1 avião por minuto. Supondo que a 
taxa de chegada assim como a taxa de pouso dos aviões obedecem à distribuição de Poisson, determinar: 
a) A taxa de utilização do sistema de aterrissagem do aeroporto; 
Taxa de chegada 1 aviao a cada 3 min 
 1 aviao - 3 min 
 x avião – 60 min 
 λ = 20 aviões/ hora 
 Taxa de atendimento 
 1 aviao - 1 min 
 x - 60 min 
 μ = 60 aviões/hora 
 Taxa de utilização: ρ = λ / μ = 20 / 60 = 0,3333 ou seja 33,33 % 
b) A probabilidade de que nenhum avião esteja pousando ou aguardando liberação da pista; 
P0 = (1- λ / μ)( λ / μ)0 = (1 – 20/60).1 = 0,6667 ou seja 66,67 % 
c) A probabilidade de que haja apenas um avião aterrissando ou aguardando ordem para isso; 
P1 = (1- λ / μ)( λ / μ)1 = (1 – 20/60).(20/60)1 = 0,2222 ou seja 22,22% 
d) A probabilidade de que não haja mais do que três aviões sobrevoando as cercanias do aeroporto, 
aguardandoinstruções para o pouso; 
 P(n=k) = 1 – (λ / μ)k+1 
 P(n=3) = 1 – (20/60)3+1 = 1 – 0,012 = 0,9876 ou seja 98,76% 
e) O número médio de aviões aguardando ordem de pouso; 
NF = λ2 / μ (μ – λ) 
 NF = (20)2 / 60(60 – 20) = 400 / 2400 = 0,1667 aviões na fila 
f) O número médio de aviões pousando ou aguardando ordem de pouso; 
NS = ? 
NS = λ / μ – λ = 20 / (60 – 20) = 20/40 = 0,5 aviões no sistema 
g) O tempo médio que um avião fica sobrevoando as cercanias do aeroporto, aguardando ordem para 
pousar; 
 TF = ? 
TF = λ / μ (μ – λ) 
TF = 20 / 60(60 -20) = 20 / 2400 = 0,008 h ou 0,5 minutos 
h) O tempo médio que um avião demora a aterrissar, incluindo o tempo de aterrissagem em si, mais o tempo 
que fica sobrevoando perto do aeroporto aguardando ordem para pousar. 
TS = 1 / 60 – 20 = 0,025 hora ou 1,5 minutos 
9) Em um sistema M/M/1 no qual λ = 4 clientes / hora e μ = 6 clientes /hora, qual a probabilidade de existir no sistema: 
a) zero clientes 
 λ = 4 clientes / hora 
 μ = 6 clientes /hora 
Po = (1 - λ / μ).( λ / μ)0 = (1 – 4/6). (4/6)0 = 0,33 ou 33,33% 
b) 1 cliente 
P1 = (1 - λ / μ).( λ / μ)1 = (1 – 4/6). (4/6)1 = 0,2222 ou 22,22 % 
c) 3 ou 4 clientes 
P3 = (1 - λ / μ).( λ / μ)3 = (1 – 4/6). (4/6)3 = 0,0987 ou 9,87 % 
 P4 = (1 - λ / μ).( λ / μ)4 = (1 – 4/6). (4/6)4 = 0,0658 ou 6,58 % 
Admitindo-se que o custo do cliente parado seja de $10 por hora, pede-se o custo horário de clientes no sistema. 
 
NS = 4 / 6 – 4 = 2 pessoas 
Custo horário sistema = NS x Custo cliente = 2 x 10,00 = $20,00 
 
10) Em um sistema Markoviano de filas sequenciais (veja figura a seguir), no qual as peças fluem pela linha de produção 
temos: 
λ1 = 10, λ2 = 5, μ1 = 15, μ2 = 30 e μ3 = 20 
Calcule 
a) NF, TF , NS e TS para cada servidor 
b) NS e TS para o sistema como um todo 
 
 
a) NF, TF , NS e TS para cada servidor 
NF, TF , NS e TS para servidor 1 
λ1 = 10, μ1 = 15 
NF = λ2 / μ (μ – λ) = 102 / 15(15 – 10) = 100 / 75 = 1,33 
TF = λ / μ (μ – λ) = 10 / 15(15 – 10) = 10 / 75 = 0,133 
NS = λ / μ – λ = 10 / 15 -10 = 10 / 5 = 2 
TS = 1 / μ – λ = 1 / 15 -10 = 1 / 5 = 0,2 
 
 NF, TF , NS e TS para servidor 2 
λ2 = 5, μ2 = 30 
NF = λ2 / μ (μ – λ) = 52 / 30(30 – 5) = 25 / 750 = 0,033 
TF = λ / μ (μ – λ) = 5 / 30(30 – 5) = 5 / 750 = 0,007 
NS = λ / μ – λ = 5 / 30 -5 = 5 /25 = 0,20 
TS = 1 / μ – λ = 1 / 30 - 5 = 1 / 25 = 0,040 
NF, TF , NS e TS para servidor 3 
 λ3 = λ1 + λ2 = 10 + 5 = 15, μ2 = 20 
NF = λ2 / μ (μ – λ) = 152 / 20(20 – 15) = 225 / 100 = 2,25 
TF = λ / μ (μ – λ) = 15 / 20(20 – 15) = 15 / 100 = 0,15 
NS = λ / μ – λ = 15 / 20 -15 =15 /5 = 3 
TS = 1 / μ – λ = 1 / 20 -15 = 1 / 5 = 0,20 
 b) NS = ? , TS = ? 
 NS = NS1 + NS2 + NS3 = 2 + 0,2 + 3 = 5,2 
 Entrada pelo servidor 1: TS = TS1 + TS3 = 0,2 + 0,2 = 0,40 
 Entrada pelo servidor 2: TS = TS2 + TS3 = 0,04 + 0,2 = 0,24 
11) Em um setor de uma fábrica, o produto que está sendo fabricado chega para receber componentes adicionais, 
trabalho este realizado por um operário. Após instalados os componentes, o produto é inspecionado por um 
profissional qualificado. Os produtos que passam na inspeção vão para outro setor da fábrica e os que são rejeitados 
(20%) vão para uma área de reparo existente no próprio setor. Atualmente, os dados são os seguintes (distribuição 
exponencial). 
- A cada 40 minutos chega um novo produto ao setor; 
- O instalador gasta 25 minutos para instalar os componentes; 
- O inspetor gasta 5 minutos para inspecionar o trabalho realizado; 
- O reparador gasta 10 minutos para efetuar os reparos necessários; 
- Os tempos de deslocamentos do produto entre as estações de trabalho são iguais a 1 minuto. 
Pede-se 
a) NF, NS, TF e TS 
 
Servidor – Instalação 
 1 produto a cada 40 min. 
 x ------ a cada 60 min. (1 h) 
 x = 60 / 40 = 1,5 prod/hora 
 λ1 = 1,5 prod/ h 
Tempo instalador => TA = 25 minutos 
μ1 = 60 (min) / 25 (min) = 2,4 prod/ h 
NF = λ12 / μ1 (μ1 – λ1) = (1,5)2 / 2,4(2,4 – 1,5) = 2,25 / 2,16 = 1,04 produtos 
NS = λ1 / μ1 – λ1 = 1,5 / 2,4 – 1,5 = 1,5 / 0,9 = 1,67 produtos 
TF = λ1 / μ1 (μ1 – λ1) = 1,5 / 2,4(2,4 – 1,5) = 1,5 / 2,16 = 0,69 horas 
TS = 1 / μ1 – λ1 = 1 / 2,4 -1,5 = 1 / 0,9 = 1,1 hora => (x 60 min) = 66 minutos 
Servidor – Inspeção 
 λ2 = λ1 = 1,5 prod/ h 
Tempo inspeção => TA = 5 minutos 
μ2 = 60 (min) / 5 (min) = 12 prod/ h 
 NF = λ22 / μ2 (μ2 – λ2) = (1,5)2 / 12(12 – 1,5) = 2,25 / 126 = 0,02 produtos 
 NS = λ2 / μ2 – λ2 = 1,5 / 12 – 1,5 = 1,5 / 10,5 = 0,14 produtos 
 TF = λ2 / μ2 (μ2 – λ2) = 1,5 / 12(12 – 1,5) = 1,5 / 126 = 0,01 produtos 
 TS = 1 / μ2 – λ2 = 1 / 12 - 1,5 = 1 / 10,5 = 0,09 hora => (x 60 min) = 5,4 minutos 
 Servidor Reparo 
 λ3 = 20 / 100 x λ2 = 0,2 x 1,5 = 0,3 prod/ h 
Tempo inspeção => TA = 10 minutos 
μ3 = 60 (min) / 10 (min) = 6,0 prod/ h 
NF = λ32 / μ3 (μ3 – λ3) = (0,3)2 / 6(6 – 0,3) = 0,09 / 34,2 = 0,002 produtos 
NS = λ3 / μ3 – λ3 = 0,3 / 6 – 0,3 = 0,3 / 5,7 = 0,05 produtos 
TF = λ3 / μ3 (μ3 – λ3) = 0,3 / 6(6 – 0,3) = 0,3 / 34,2 = 0,009 horas 
TS = 1 / μ3 – λ3 = 1 / 6 - 0,3 = 1 / 5,7 = 0,18 horas => (x 60 min) = 10,8 minutos 
 
b) NS e TS para o sistema como um todo. 
NS(Total) = NS(instalação) + NS(inspeção) + NS(reparo) = 1,67 + 0,14 + 0,05 = 1,86 produtos 
 TS(total) 
Para produto que não passa pelo reparo: 
TS = TS(instalação) + TS(inspeção) + TS(deslocamento instalação) + TD(deslocamento inspeção) = 66 + 5,4 + 1 + 
1 = 73,4 
Para produto que passa pelo reparo: 
TS = TS(instalação) + TS(inspeção) + TS(deslocamento instalação) + TD(deslocamento inspeção) + 
TS(deslocamento reparo) = 66 + 5,4 + 10,8 + 1 + 1 = 85,2 
 
Instalação Inspeção 
Reparo 
20 % 
80 % 
λ1 λ2 
λ3 
μ1 μ2 
μ3 
Para calcular o tempo total do sistema deve ser considerado que 80% não passa pelo reparo e 20% passa pelo 
reparo. Portanto, calcula-se a média ponderada: 
TS (total) = 0,80 x 73,4 + 0,2 x 85,2 = 58,7 + 17 = 75,7 minutos. 
12) O depósito central de um grande magazine, ao qual chegam mercadorias vindas de fornecedores. Um estudo sobre 
as distribuições probabilísticas dos ritmos de chegada e atendimento mostrou que o sistema é marcoviano com 
chegadas que seguem a distribuição de Poisson e atendimentos que seguem a distribuição Exponencial Negativa. 
O depósito, possui uma equipe que consegue atender – descarregar – três caminhões por hora, em média. Em 
princípio, a equipe é suficiente para atender os caminhões que chegam a intervalos médios de 30 minutos. Pede-
se: 
a) Qual é o ritmo de chegada dos caminhões? 
b) Qual é o tempo médio (em horas) que um caminhão espera na fila para ser atendido? 
c) Qual o tempo médio (em horas) de atendimento dos caminhões? 
d) Qual é o tempo médio (em horas) que um caminhão demora no depósito? 
e) Qual é o número médio de caminhões esperando na fila para serem atendidos? 
f) Qual é o número médio de caminhões no sistema? 
g) Qual é o número médio de caminhões sendo atendidos? 
h) Qual é a probabilidade de que um caminhão, ao chegar, deve esperar para ser atendido? 
i) Qual a probabilidade de que o depósito não receba nenhum caminhão? 
j) Qual é a probabilidade de que a fila não haja mais do que três caminhões esperando? 
k) Qual a probabilidade de que a duração do atendimento seja inferior a 40 minutos? 
l) Qual a probabilidade de que a duração do atendimento seja superior a 40 minutos? 
m) Qual a probabilidade de que o depósito receba até dois caminhões? 
n) Qual a probabilidade de que o depósito receba mais de dois caminhões? 
o) Qual a taxa de utilização do sistema? 
 
(resolução em sala de aula) 
 
13) Em um sistema Markoviano clientes chegam a uma barbearia em um ritmo de 3 por hora e o serviço demora, em 
média, 16 minutos. Qual o tempo médio de espera na recepção? E no sistema? 
λ = 3 peças / hora 
 TA = 16 minutos -> 0,27 h 
 μ = 60 (min) / 16 (min) = 3,75 peças / hora ou 
 μ = 1 (h) / 0,266 (h) = 3,75 peças / horaTF = λ / μ (μ – λ) 
 TF = 3 / 3,75(3,75 -3) 
 TF = 1,07 h -> 64 minutos. 
 
 TS = TA + TF = 16 + 64 = 80 min -> 1,33 horas 
 Ou 
 TS = 0,266 _+ 1,07 = 1,33 horas 
14) Em um sistema Markoviano pessoas chegam a uma bilheteria de um teatro a um ritmo de 25 por hora. O tempo 
médio de atendimento na bilheteria é de 2 minutos. Calcule o tamanho da fila, o tempo médio de espera e a fração 
de tempo em que a bilheteria não trabalha. 
λ = 25 pessoas / hora , TA = 2 minutos 
 NF = ? TF = ? Po =? 
 μ = 60 (min) / 2 (min) = 30 , μ = 30 pessoas / hora 
 
 NF = λ2 / μ (μ – λ) = (25)2 / 30(30 – 25) = 625 / 150 = 4,17 pessoas 
 TF = λ / μ (μ – λ) = 25 / 30 (30 – 25) = 25 / 150 = 0,17 horas 
 A bilheteria não trabalha quando não existirem clientes no sistema Po. 
 
Po = (1 - λ / μ).( λ / μ)0 
 Po = (1 – 25 / 30). 1 
 Po = 0,17 ou 17 % de tempo ocioso 
 
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