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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS - PUC MINAS 
DISCIPLINA: PESQUISA OPERACIONAL – PROFA. MARIA A F ALMEIDA 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 RESOLUÇÃO- TEORIA DAS FILAS 
1) Suponhamos que as chegadas a uma cabine telefônica obedecem a lei de Poisson, com ritmo de 6 
chegadas por hora. A duração média do telefonema é de 3 minutos e suponhamos que segue a 
distribuição exponencial. Pede-se: 
a) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não ter que esperar? 
 λ= 6 chegadas/ hora. Portanto IC = 10 minutos; 
 TA = 3 minutos. Portanto, μ = 20 atendimentos/ hora. 
 
Logo: 
Então: P0 = 1- λ / μ = 1- (6/20) = 0,7 = 70% de probabilidade 
b) Qual o número médio de pessoas na fila? 
λ = 6 chegadas/ hora. Portanto IC = 10 minutos; 
 TA = 3 minutos. Portanto, μ = 20 atendimentos/ hora. 
 
Logo: NF = (6)2/ (20(20-6)) = 0,128 pessoas na fila 
c) Qual o número médio de pessoas no sistema? 
 
NS = 6 /20-6 = 0,42 pessoas no sistema 
d) Qual o número de clientes usando o telefone? 
NA = ? 
NS = NF + NA 
NA = 0,428 – 0,128 
NA = 0,3 pessoas 
e) Qual o tempo na fila? 
 
 
λ = 6 chegadas/ hora. Portanto IC = 10 minutos; 
TA = 3 minutos. Portanto, μ = 20 atendimentos/ hora. 
Logo: 
TF = 6/ (20(20-6)) = 0,021 hora ou 1,28 minutos. 
f) Para qual ritmo de chegada teríamos a situação em que o tempo médio de espera na fila 
seria de 3 minutos? 
 
TF = 3 minutos (0,05 h), mantendo o mesmo ritmo de clientes = 20 pessoas por hora. 
 0,05 = λ /( 20(20 – λ)) 
 0,05 = λ / 400 - 20λ 
 λ / 400 – 20 λ = 0,05 
 λ = 20 - 1 λ 
λ + λ = 20 
λ = 20 / 10 
λ = 10 pessoas por hora 
g) Qual é a fração do dia durante a qual o telefone está em uso? 
A fração do dia durante a qual o telefone está em uso é exatamente igual a (1-P0), isto é, a 
probabilidade de que existam pessoas no sistema. Conforme calculado no item “1”, este valor é 
30%. 
P0 = 0,7 
Pocupado = 1 – P0 
Pocupado = 1 – 0,7 = 0,3 ou 30 % 
2) Uma fábrica possui um depósito de ferramentas onde os operários vão receber as ferramentas 
especiais para a realização de uma determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada (λ = 1 
chegada/minuto) e o ritmo de atendimento (μ = 1,2 atendimentos por minuto) seguem o modelo 
marcoviano M/M/1. A fábrica paga $ 9,00 por hora ao atendente e $ 18,00 ao operário. Pede-se: 
a) O custo horário do sistema 
O custo horário do sistema é igual à soma do custo horário do atendente com o custo horário dos 
operários que, por ficaram no sistema de fila, não estão trabalhando. Para calcularmos este último, 
devemos conhecer o número médio de clientes no sistema (NS). 
NS = λ / (μ – λ) = 1 / (1,2 – 1) = 5 clientes 
Portanto: Custo horário = (custo atendente) + (custo operários) 
Custo horário = ($9,00) + (5 x $ 18,00) = $99,00 
b) A fração do dia em que o atendente não trabalha 
É igual ao valor da probabilidade de não existir nenhum operário no sistema: 
P0 = 1 – λ /μ = 0,16 
3) Uma empresa deseja contratar um reparador para efetuar manutenção em suas máquinas, que 
estragam a um ritmo de 3 falhas por hora. Para tal possui 2 opções: um reparador lento, que é 
capaz de consertar a um ritmo de 4 falhas por hora ou um reparador rápido, que é capaz de 
consertar a um ritmo médio de 6 falhas por hora. O salário / hora do reparador lento é de $3,00 e o 
do reparador rápido é de $5,00. Qual a contratação deve ser efetuada para que o custo total 
(reparador mais máquinas paradas) seja mínimo? Sabe-se que uma máquina parada implica um 
custo horário de $5,00. O sistema é Markoviano. 
Reparador lento 
NS = λ / μ – λ 
NS = 3 / 4 – 3 = 3 clientes (máquinas) 
Custo maquinas = NS x Custo por maquina = 3 x 5,00 = 15,00 
Custo reparador = 3,00 
Custo total = Custo maquinas + Custo reparador. = 15,00 + 3,00 = $18,00 
Reparador rápido 
NS = λ / μ – λ 
NS = 3 / 6 – 3 = 1 cliente (máquina) 
Custo maquinas = NS x Custo por maquina = 1 x 5,00 = 5,00 
Custo reparador = 5,00 
Custo total = Custo maquinas + Custo reparador. = 5,00 + 5,00 = $10,00 
 O reparador rápido apesar de ter um custo horário maior implica em um custo total menor. 
4) Em um sistema de filas seqüenciais markoviano (peças chegam em horas) conforme mostra a figura 
abaixo, calcule as filas que se formam em cada servidor. 
 
Fabricação: 
λ = 10 peças / hora 
μ = 15 peças / hora 
 NF = λ2 / μ (μ – λ) = 102 / 15(15 – 10) = 100 / 15(15 -10) = 100 / 15 x 5 = 1,33 peças 
 Inspeção: 
λ = 10 peças / hora 
μ = 30 peças / hora 
 NF = λ2 / μ (μ – λ) = 102 / 30(30 – 10) = 100 / 30(30 -10) = 100 / 30 x 20 = 0,17 peças 
 Reparo 
λ = 2 peças / hora 
μ = 20 peças / hora 
 NF = λ2 / μ (μ – λ) = 22 / 20(20 – 10) = 4 / 20(20 -2) = 4 / 360 = 0,011 peças 
5) A cidade de Belzonte mantém um serviço de ponte aérea com algumas cidades do país. O principal 
aeroporto da cidade é o Pampula que concentra todo o serviço de vôos regionais. Isso faz com que 
o tráfego aéreo fique um pouco congestionado. A intensidade do tráfego aéreo é função da hora do 
dia, mas o momento mais crítico está entre 17 e 18 horas dos dias úteis, exatamente durante o 
retorno das pessoas que deixaram a capital para trabalhar em outras cidades. Os aviões que 
chegam ficam em uma “fila”, aguardando a vez de aterrissar em uma única pista. Eles ficam 
sobrevoando em grandes círculos nas proximidades do aeroporto até que a torre de controle libere 
a pista para pouso. Para o horário entre 17 e 18 horas, a taxa média de chegada de aviões é de um 
avião a cada 3 minutos. A torre de controle, por sua vez, consegue aterrissar, em média um 1 avião 
por minuto. Supondo que a taxa de chegada assim como a taxa de pouso dos aviões obedecem à 
distribuição de Poisson, determinar: 
a) A taxa de utilização do sistema de aterrissagem do aeroporto; 
Taxa de chegada 1 aviao a cada 3 min 
 1 aviao - 3 min 
 x avião – 60 min 
 λ = 20 aviões/ hora 
 Taxa de atendimento 
 1 aviao - 1 min 
 x - 60 min 
 μ = 60 aviões/hora 
 Taxa de utilização: ρ = λ / μ = 20 / 60 = 0,3333 ou seja 33,33 % 
b) A probabilidade de que nenhum avião esteja pousando ou aguardando liberação da 
pista; 
P0 = (1- λ / μ)( λ / μ)
0 = (1 – 20/60).1 = 0,6667 ou seja 66,67 % 
c) A probabilidade de que haja apenas um avião aterrissando ou aguardando ordem para 
isso; 
P1 = (1- λ / μ)( λ / μ)
1 = (1 – 20/60).(20/60)1 = 0,2222 ou seja 22,22% 
d) A probabilidade de que não haja mais do que três aviões sobrevoando as cercanias do 
aeroporto, aguardando instruções para o pouso; 
 P(n=k) = 1 – (λ / μ)k+1 
 P(n=3) = 1 – (20/60)3+1 = 1 – 0,012 = 0,9876 ou seja 98,76% 
e) O número médio de aviões aguardando ordem de pouso; 
NF = λ2 / μ (μ – λ) 
 NF = (20)2 / 60(60 – 20) = 400 / 2400 = 0,1667 aviões na fila 
f) O número médio de aviões pousando ou aguardando ordem de pouso; 
NS = ? 
NS = λ / μ – λ = 20 / (60 – 20) = 20/40 = 0,5 aviões no sistema 
g) O tempo médio que um avião fica sobrevoando as cercanias do aeroporto, aguardando 
ordem para pousar; 
 TF = ? 
TF = λ / μ (μ – λ) 
TF = 20 / 60(60 -20) = 20 / 2400 = 0,008 h ou 0,5 minutos 
h) O tempo médio que um avião demora a aterrissar, incluindo o tempo de aterrissagem em 
si, mais o tempo que fica sobrevoando perto do aeroporto aguardando ordem para 
pousar. 
TS = 1 / 60 – 20 = 0,025 hora ou 1,5 minutos 
6) Em um sistema M/M/1 no qual λ = 4 clientes / hora e μ = 6 clientes /hora, qual a probabilidade de 
existir no sistema: 
a) zero clientes 
 λ = 4 clientes / hora 
 μ = 6 clientes /hora 
Po = (1 - λ / μ).( λ / μ)0 = (1 – 4/6). (4/6)0 = 0,33 ou 33,33% 
b) 1 cliente 
P1 = (1 - λ / μ).( λ / μ)1 = (1 – 4/6). (4/6)1 = 0,2222 ou 22,22 % 
c) 3 ou 4 clientes 
P3 = (1 - λ / μ).( λ / μ)3 = (1 – 4/6). (4/6)3 = 0,0987 ou 9,87 % 
 P4 = (1 - λ / μ).( λ / μ)4 = (1 – 4/6). (4/6)4 = 0,0658 ou 6,58 % 
Admitindo-se que o custo do cliente parado seja de $10 por hora, pede-se o custo horário de clientes no 
sistema.NS = 4 / 6 – 4 = 2 pessoas 
Custo horário sistema = NS x Custo cliente = 2 x 10,00 = $20,00 
7) Em um sistema de filas seqüenciais markvoviano (veja figura a seguir), no qual as peças fluem pela 
linha de produção temos: 
λ1 = 10, λ2 = 5, μ1 = 15, μ2 = 30 e μ3 = 20 
Calcule 
a) NF, TF , NS e TS para cada servidor 
b) NS e TS para o sistema como um todo 
 
 
a) NF, TF , NS e TS para cada servidor 
NF, TF , NS e TS para servidor 1 
λ1 = 10, μ1 = 15 
NF = λ2 / μ (μ – λ) = 102 / 15(15 – 10) = 100 / 75 = 1,33 
TF = λ / μ (μ – λ) = 10 / 15(15 – 10) = 10 / 75 = 0,133 
NS = λ / μ – λ = 10 / 15 -10 = 10 / 5 = 2 
TS = 1 / μ – λ = 1 / 15 -10 = 1 / 5 = 0,2 
NF, TF , NS e TS para servidor 2 
λ2 = 5, μ2 = 30 
NF = λ2 / μ (μ – λ) = 52 / 30(30 – 5) = 25 / 750 = 0,033 
TF = λ / μ (μ – λ) = 5 / 30(30 – 5) = 5 / 750 = 0,007 
NS = λ / μ – λ = 5 / 30 -5 = 5 /25 = 0,20 
TS = 1 / μ – λ = 1 / 30 - 5 = 1 / 25 = 0,040 
NF, TF , NS e TS para servidor 3 
 λ3 = λ1 + λ2 = 10 + 5 = 15, μ2 = 20 
NF = λ2 / μ (μ – λ) = 152 / 20(20 – 15) = 225 / 100 = 2,25 
TF = λ / μ (μ – λ) = 15 / 20(20 – 15) = 15 / 100 = 0,15 
NS = λ / μ – λ = 15 / 20 -15 =15 /5 = 3 
TS = 1 / μ – λ = 1 / 20 -15 = 1 / 5 = 0,20 
 b) NS = ? , TS = ? NS e TS para o sistema como um todo 
 NS = NS1 + NS2 + NS3 = 2 + 0,2 + 3 = 5,2 
 Entrada pelo servidor 1: TS = TS1 + TS3 = 0,2 + 0,2 = 0,40 
 Entrada pelo servidor 2: TS = TS2 + TS3 = 0,04 + 0,2 = 0,24 
8) Em um setor de uma fábrica, o produto que está sendo fabricado chega para receber componentes 
adicionais, trabalho este realizado por um operário. Após instalados os componentes, o produto é 
inspecionado por um profissional qualificado. Os produtos que passam na inspeção vão para outro 
setor da fábrica e os que são rejeitados (20%) vão para uma área de reparo existente no próprio 
setor. Atualmente, os dados são os seguintes (distribuição exponencial). 
- A cada 40 minutos chega um novo produto ao setor; 
- O instalador gasta 25 minutos para instalar os componentes; 
- O inspetor gasta 5 minutos para inspecionar o trabalho realizado; 
- O reparador gasta 10 minutos para efetuar os reparos necessários; 
- Os tempos de deslocamentos do produto entre as estações de trabalho são iguais a 1 minuto. 
Pede-se 
a) NF, NS, TF e TS em cada servidor 
 
Servidor – Instalação 
 1 produto a cada 40 min. 
 x ------ a cada 60 min. (1 h) 
 x = 60 / 40 = 1,5 prod/hora 
 λ1 = 1,5 prod/ h 
Tempo instalador => TA = 25 minutos 
μ1 = 60 (min) / 25 (min) = 2,4 prod/ h 
NF = λ12 / μ1 (μ1 – λ1) = (1,5)2 / 2,4(2,4 – 1,5) = 2,25 / 2,16 = 1,04 produtos 
NS = λ1 / μ1 – λ1 = 1,5 / 2,4 – 1,5 = 1,5 / 0,9 = 1,67 produtos 
TF = λ1 / μ1 (μ1 – λ1) = 1,5 / 2,4(2,4 – 1,5) = 1,5 / 2,16 = 0,69 horas 
TS = 1 / μ1 – λ1 = 1 / 2,4 -1,5 = 1 / 0,9 = 1,1 hora => (x 60 min) = 66 minutos 
Servidor – Inspeção 
 λ2 = λ1 = 1,5 prod/ h 
Tempo inspeção => TA = 5 minutos 
μ2 = 60 (min) / 5 (min) = 12 prod/ h 
 NF = λ22 / μ2 (μ2 – λ2) = (1,5)2 / 12(12 – 1,5) = 2,25 / 126 = 0,02 produtos 
 NS = λ2 / μ2 – λ2 = 1,5 / 12 – 1,5 = 1,5 / 10,5 = 0,14 produtos 
 TF = λ2 / μ2 (μ2 – λ2) = 1,5 / 12(12 – 1,5) = 1,5 / 126 = 0,01 produtos 
 TS = 1 / μ2 – λ2 = 1 / 12 - 1,5 = 1 / 10,5 = 0,09 hora => (x 60 min) = 5,4 minutos 
 Servidor Reparo 
 λ3 = 20 / 100 x λ2 = 0,2 x 1,5 = 0,3 prod/ h 
Tempo inspeção => TA = 10 minutos 
μ3 = 60 (min) / 10 (min) = 6,0 prod/ h 
NF = λ32 / μ3 (μ3 – λ3) = (0,3)2 / 6(6 – 0,3) = 0,09 / 34,2 = 0,002 produtos 
NS = λ3 / μ3 – λ3 = 0,3 / 6 – 0,3 = 0,3 / 5,7 = 0,05 produtos 
TF = λ3 / μ3 (μ3 – λ3) = 0,3 / 6(6 – 0,3) = 0,3 / 34,2 = 0,009 horas 
TS = 1 / μ3 – λ3 = 1 / 6 - 0,3 = 1 / 5,7 = 0,18 horas => (x 60 min) = 10,8 minutos 
b) NS e TS para o sistema como um todo. 
NS(Total) = NS(instalação) + NS(inspeção) + NS(reparo) = 1,67 + 0,14 + 0,05 = 1,86 produtos 
 TS(total) 
Para produto que não passa pelo reparo: 
TS = TS(instalação) + TS(inspeção) + TS(deslocamento instalação) + TD(deslocamento inspeção) = 66 
+ 5,4 + 1 + 1 = 73,4 
Para produto que passa pelo reparo: 
TS = TS(instalação) + TS(inspeção) + TS(deslocamento instalação) + TD(deslocamento inspeção) + 
TS(deslocamento reparo) = 66 + 5,4 + 10,8 + 1 + 1 = 85,2 
 
Para calcular o tempo total do sistema deve ser considerado que 80% não passa pelo reparo e 20% 
passa pelo reparo. Portanto, calcula-se a média ponderada: 
TS (total) = 0,80 x 73,4 + 0,2 x 85,2 = 58,7 + 17 = 75,7 minutos. 
9) Clientes chegam a uma barbearia em um ritmo de 3 por hora e o serviço demora, em média, 16 
minutos. Qual o tempo médio de espera na recepção? E no sistema? 
λ = 3 peças / hora 
 TA = 16 minutos -> 0,27 h 
 μ = 60 (min) / 16 (min) = 3,75 peças / hora ou 
 μ = 1 (h) / 0,266 (h) = 3,75 peças / hora 
 
 TF = λ / μ (μ – λ) 
 TF = 3 / 3,75(3,75 -3) 
 TF = 1,07 h -> 64 minutos. 
 
 TS = TA + TF = 16 + 64 = 80 min -> 1,33 horas 
 Ou 
 TS = 0,266 _+ 1,07 = 1,33 horas 
10) Pessoas chegam a uma bilheteria de um teatro a um ritmo de 25 por hora. O tempo médio de 
atendimento na bilheteria é de 2 minutos. Calcule o tamanho da fila, o tempo médio de espera e a 
fração de tempo em que a bilheteria não trabalha. O sistema é markoviano. 
λ = 25 pessoas / hora , TA = 2 minutos 
 NF = ? TF = ? Po =? 
 μ = 60 (min) / 2 (min) = 30 , μ = 30 pessoas / hora 
 NF = λ2 / μ (μ – λ) = (25)2 / 30(30 – 25) = 625 / 150 = 4,17 pessoas 
 TF = λ / μ (μ – λ) = 25 / 30 (30 – 25) = 25 / 150 = 0,17 horas 
 A bilheteria não trabalha quando não existirem clientes no sistema Po. 
 
Po = (1 - λ / μ).( λ / μ)0 
 Po = (1 – 25 / 30). 1 
 Po = 0,17 ou 17 % de tempo ocioso 
11) Considere um posto de atendimento bancário com apenas um atendente. A taxa média de chegada 
é de três clientes por hora. A taxa média de atendimento é de quatro clientes por hora. O sistema é 
M/M/1. Os clientes são atendidos pelo atendente seguindo a ordem de chegada. Pede-se: 
a) Qual o tempo médio que os clientes ficam neste posto de atendimento bancário? 
b) Qual o tempo médio que os clientes aguardam para serem atendidos neste posto de 
atendimento bancário? 
c) Qual a probabilidade de que cheguem ao posto de atendimento bancário até dois clientes 
por hora? 
d) Qual a probabilidade de que sejam atendidos até dois clientes por hora? 
e) Qual a probabilidade da existência de três clientes no posto de atendimento bancário em 
uma dada hora? 
12) O depósito central de um grande magazine, ao qual chegam mercadorias vindas de fornecedores. 
Um estudo sobre as distribuições probabilísticas dos ritmos de chegada e atendimento mostrou que 
o sistema é marcoviano com chegadas que seguem a distribuição de Poisson e atendimentos que 
seguem a distribuição Exponencial Negativa. O depósito, possui uma equipe que consegue atender 
– descarregar – três caminhões por hora, em média. Em princípio, a equipe é suficiente para 
atender os caminhões que chegam a intervalos médios de 30 minutos. Pede-se: 
a) Qual é o ritmo de chegada dos caminhões? 
b) Qual é o tempo médio (em horas) que um caminhão espera na fila para ser atendido? 
c) Qual o tempo médio (em horas) de atendimento dos caminhões? 
d) Qual é o tempo médio (em horas) que um caminhão demora no depósito? 
e) Qual é o número médio de caminhões esperando na fila para serem atendidos? 
f) Qual é o número médio de caminhões no sistema? 
g) Qual é o número médio de caminhões sendo atendidos? 
h) Qual é a probabilidade de que um caminhão, ao chegar, deve esperar para ser atendido? 
i) Qual a probabilidade de que o depósito não receba nenhum caminhão? 
j) Qual é a probabilidade de que a fila não haja mais do que três caminhões esperando? 
k) Qual a probabilidade de que a duração do atendimento seja inferior a 40 minutos? 
l) Qual a probabilidade de que a duração do atendimento seja superior a 40 minutos? 
m) Qual a probabilidade de que o depósito receba até dois caminhões?n) Qual a probabilidade de que o depósito receba mais de dois caminhões? 
o) Qual a taxa de utilização do sistema?