MDC e MMC

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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
M.M.C. e M.D.C.
Contato: nibblediego@gmail.com
Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 25/09/2016 - Atualizado em 29/03/2018
Exemplo 1: Qual o menor número in-
teiro positivo cujo triplo é divisível por 9,
11, 14?
Solução:
O menor numero  divisível por 9, 11
e 14 é o menor múltiplo comum desses
valores (M.M.C.) que no caso é 462, as-
sim a solução será 154 (462 dividido por
3).
Exemplo 2: Qual o menor numero
natural não nulo que se deve multiplicar
por 4500 para se obter um numero di-
visível por 2520?
Solução:
Queremos um número n tal que:
2520 | 4500n
Para descobri-lo tomamos o m.m.c de
4500 e 2520, que é 63000, e igualamos
a 4500n.
63000 = 4500n⇒ n = 14
Como 14 ∈ N (restrição do enunciado)
então 14 é a solução.
Exemplo 3: Pelo Teorema de Bezout
sabe-se que
105r + 420s =mdc(105,420)
determine então r e s ∈ Z.
Solução:
Sabendo que o mdc(420,105) = 105
então pelo Teorema de Bezout:
105r + 420s = 105
dividindo ambos os membros da iden-
tidade acima por 105 obtemos uma sim-
plificação.
1r + 4s = 1
cuja solução se verifica facilmente
para r = 1 e s = 0.
Exemplo 4: Determinar dois inteiros
positivos  e b tais que b = 4032 e
mmc(, b) = 336.
Solução:
Uma propriedade conhecida é a de
que:
 · b =mmc(, b) ·mdc(, b)
como por hipótese b = 4032 e
mmc(, b) = 336 então
4032 = 336 ·mdc(, b)
⇒mdc( · b) = 12
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Se mdc( · b) = 12 então podemos
afirmar que  = 12c e b = 12d para al-
gum c e d naturais.
Como mmc(12c,12d) = 12cd e
mmc(12c,12d) =mmc(, b) então:
12cd = 336
⇒ cd = 28
sendo assim os possíveis valores para
c e d são:
a) c = 7 e d = 4
b) d = 7 e c = 4
c) c = 2 e d = 14
d) d = 2 e c = 14
Se usarmos a alternativa  ou b então
respectivamente teremos:
 = 12 · 7 = 54 e b = 12 · 4 = 48
ou
 = 12 · 4 = 48 e b = 12 · 7 = 54
o que satisfaz o problema.
Exemplo 5: Calcule mdc(−120,68).
Solução:
mdc(−120,68) =mdc(120,68).
Como 120 = 22 · 35 e 68 = 22 · 17 o
conjunto de divisores de cada um será:
D120 = {1,2,3,5,120} e
D68 = {1,2,17,68}.
assim
mdc = (120,68)
=m{D120 ∩D68} =m{1,2}
⇒mdc(120,68) = 2.
Exemplo 6: Ao proceder-se a divisão
de um certo numero n por 12 ou por 15
ou por 27, obtêm-se sempre o mesmo
resto 4 e quocientes maiores que zero.
Determine o menor valor positivo pos-
sível para n.
Solução:
Se a divisão de n por 12, 15 e 27 sem-
pre resulta em resto igual a 4, então n−4
deve ser divisível por 12, 15 e 27.
Levando também em conta que n
deve ser o menor valor divisível por 12,
15 e 27 então vale a igualdade.
n − 4 =mmc(12,15,27)
⇒ n − 4 = 540
⇒ n = 544
Ou seja, o menor valor possível para
n é 544.
Exemplo 7: Seja A = 24 ·32 ·54 e B =
23 · 33 · 51 · 72, determinar o mmc de A e
B.
Solução:
Os fatores primos comuns a decom-
posição de A e B são os números 2, 3 e 5.
Tomando então o maior expoente desses
valores concluí-se que:
mmc(A, B) = 24 · 33 · 54 · 72
Exemplo 8: Sejam A = 32 · 53 · 114 e
B = 23 · 33 · 51 · 72, determinar o mdc de
A e B.
Solução:
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Neste caso, tomamos os valores co-
muns a decomposição de A e B com os
menores expoentes.
mdc(A, B) = 32 · 51
⇒ mdc(A, B) = 45
Exemplo 9: Sejam A = 23 · 3 · 5y e
B = 104 · 38. Se mdc(A,B) = 360, então
quanto vale  + y?
Solução:
Sabe-se que
A = 23 · 3 · 5y
B = (2 · 5)4 · 38
Note que da decomposição em fa-
tores primos de A e B os números primos
2, 3 e 5 se repetem. Sendo assim, pode-
mos afirmar que:
mdc(A, B) = 23 · 3 · 5b
Como mdc(A, B) = 360 então
360 = 23 · 3 · 5b
⇒ 45 = 3 · 5b
Onde por inspeção chegamos a:  = 2
e b = 1 que serão os valores de  e y re-
spectivamente. Logo  + y = 3.
Exemplo 10: O máximo divisor co-
mum de dois números é 48 e o maior de-
les é 384. Encontre o outro número.
Solução:
Como 384 é divisível por 48 então 48
é a resposta.
Exemplo 11: O máximo divisor co-
mum de dois números é 20. Para se
chegar a esse resultado pelo processo
das divisões sucessivas, os quocientes
encontrados foram, pela ordem, 2, 1, 3
e 2. Encontre os dois números.
Solução (Retirada do PROFMAT
2014.1):
Utilizando o processo das divisões su-
cessivas, para os inteiros positivos , b,
obtém-se:
�  = b · 1 + r; 0 < r < b
� b = r · 5 + r1; 0 < r1 < r
� r = r1 · 3 + r2; 0 < r2 < r1
� r1 = r2 · 3 + r3; 0 < r3 < r2
� r2 = r3 · 1 + r4; 0 < r4 < r3
� r3 = r4 · 3
Portanto, r4 = mdc(, b) e por
hipótese r4 = 20 o que implica em r3 =
60.
Substituindo esses valores nas
equações anteriores encontra-se  =
180 e b = 500.
Exemplo 12: Prove que mdc(n, 2n +
1) = 1, qualquer que seja o inteiro n.
Solução:
Usando o método de divisões sucessi-
vas
mdc(n, 2n + 1) = mdc(n, 1) = 1.
Exemplo 13: Sejam  e b números
inteiros tais que mdc(, + b) = 1. Prove
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que mdc(, b) = 1. O reciproco desse re-
sultado também é verdadeiro. Enuncie-o
e demonstre-o.
Sugestão: Para a primeira parte, tome
um divisor de c de  e b e mostre que ele
também é divisor de  e  + b.
Solução:
Se mdc(,  + b) = 1, então pelo teo-
rema de bezout existem dois inteiros  e
y, tais que:
() + ( + b)y = 1
⇒  + y + by = 1
⇒ ( + y) + by = 1
⇒mdc(, b) = 1
Por outro lado, se mdc(, b) = 1, en-
tão existe um  e y tais que  + by = 1.
Fazendo  = y + z, teremos
(y + z) + by = 1
⇒ ( + b)y + z = 1
⇒mdc (, ( + b)) = 1.
Como queríamos demonstrar.
Exemplo 14: Ache o máximo
divisor comum dos seguintes pares
de números através da decomposição
desses números em fatores primos:
a) 234 e 456
b) 456 e 780
c) 200 e 480
Solução de A:
A decomposição de 234 e 456 é:
234 = 21 · 32 · 13
456 = 23 · 31 · 19
Note que na decomposição de am-
bos existe em comum o numero 2 e 3.
Fazendo o produto desses valores, ele-
vados a menor potencia dada, determi-
namos o mdc.
mdc(234,456) = 21 · 31
mdc(234,456) = 6
Solução de B:
456 = 23 · 3 · 19
780 = 22 · 3 · 5 · 13
⇒mdc(456,780) = 22 · 3 = 12
Solução de C:
200 = 23 · 52
480 = 25 · 3 · 5
⇒mdc(200,480) = 23 · 5 = 40
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