modelagem matematica

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1a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Para evitar erros de cancelamento em operações de subtração de dois números numa notação de ponto flutuante, é comum reorganizar as operações. Seja a expressão:
s=√x+1−√xs=x+1−x
onde x=100000x=100000 num computador FP(10,5,−6,6)FP(10,5,−6,6), observe que nesse computador x+1=xx+1=x, para x=100000x=100000, resultando s=0s=0. Determine uma expressão equivalente e o seu valor para x=100000x=100000.
		
	
	1√x+1−√xe1,5811x10−31x+1−xe1,5811x10−3
	
	x2√x2+1+1e0,013x10−3x2x2+1+1e0,013x10−3
	
	ln(√x+1−√x)e1,5811x10−3ln(x+1−x)e1,5811x10−3
	
	ln(√x+1+√x)e1,5811x10−3ln(x+1+x)e1,5811x10−3
	 
	1√x+1+√xe1,5811x10−31x+1+xe1,5811x10−3
	Respondido em 07/11/2022 23:20:04
	
	Explicação:
Gabarito: 1√x+1+√xe1,5811x10−31x+1+xe1,5811x10−3
Justificativa:
Tem-se que a expressão equivalente pode ser obtida da seguinte maneira:
s=√x+1−√xs=x+1−x
ou seja,
s=1√x+1+√xs=1x+1+x
Então, o valor  de s para x=100000x=100000 é
s=1√x+1+√x=12√100000=1,5811×10−3s=1x+1+x=12100000=1,5811×10−3
	
		2a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	(Transpetro / 2011) Seja N uma base de numeração, e os números A = (100)N, B = (243)(N+1), C = (30)N, D = F16 e E = (110)2. Sabendo-se que a igualdade B + D = A + E.C é válida, o produto de valores válidos para a base N é:
		
	
	42.
	
	45.
	
	36.
	 
	24.
	
	35.
	Respondido em 07/11/2022 23:13:56
	
	Explicação:
Gabarito: 24.
Justificativa: Utilizando a definição:
A = (100)N = N2
B = 2N2  8N + 9
C = (30)N  = 3N
D = (F)16 = 15
E = (110)2  = 4 + 2 = 6
Fazendo:
B + D = A + E.C
N2 -10N +24 = 0
Como o produto das raízes de uma equação do segundo grau, ax2  + bx + c = é dada por c/a. Então, a resposta é 24.
	
		3a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	A equação ATAx=ATy é conhecida como equação normal e usada para realizar ajustamento de curvas, que corresponde a solução de minimizar:
		
	
	∑|axi+b−yi|∑|axi+b−yi|
	
	A norma ∥y−Ax∥p‖y−Ax‖p
	
	A norma ∥y−Ax∥‖y−Ax‖
	
	∑|yi−Axi|∑|yi−Axi|
	 
	A norma ∥y−Ax∥|22‖y−Ax‖|22
	Respondido em 07/11/2022 23:14:33
	
	Explicação:
	
		4a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Durante um experimento físico em um laboratório foram obtidos os seguintes dados:
Determine a função f(x)=m0(1+ e m1x)que melhor se ajuste aos dados e calcule f(3.1)
		
	
	4.04
	
	5.04
	
	3.04
	
	1.04
	 
	2.04
	Respondido em 07/11/2022 23:14:48
	
	Explicação:
Executando o seguinte script:
	
		5a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de x - cos(x) no intervalo de 1 a 2. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2:
		
	
	1,45217
	
	1,41217
	
	1,47217
	 
	1,43217
	
	1,49217
	Respondido em 07/11/2022 23:15:05
	
	Explicação:
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A função a ser integrada;
- A técnica de integração a ser utilizada;
- O valor inicial do intervalo de integração;
- O valor final do intervalo de integração; e
- A quantidade de partições (n)
Neste exemplo, temos que:
- A função a ser integrada é f(x) = x - cos(x);
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg;
- O valor inicial do intervalo de integração é 1;
- O valor final do intervalo de integração é 2; e
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2.
Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o código em Python indicado a seguir:
 
import scipy as sp
from scipy import integrate
func = lambda x: x - sp.cos(x)
result = integrate.romberg(func, 1, 2, show=True)
	
		6a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de cos(-x) no intervalo de 0 a 1. Divida o intervalo de integração em 10 partes. Utilize o método de Simpson:
		
	
	0,641
	
	0,741
	 
	0,841
	
	0,541
	
	0,941
	Respondido em 07/11/2022 23:15:15
	
	Explicação:
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A função a ser integrada;
- O valor inicial do intervalo de integração;
- O valor final do intervalo de integração; e
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo).
Neste exemplo, temos que:
- A função a ser integrada é f(x) = cos(-x);
- O valor inicial do intervalo de integração é 0;
- O valor final do intervalo de integração é 1; e
- O intervalo de integração é dividido em 10 partes, de modo que o tamanho de cada intervalo é 0,1.
Assim, aplicando os conceitos para o método de Simpson, temos o código em Python indicado a seguir:
 
import numpy as np
import math
f = lambda x: np.cos(-x)
a = 0; b = 1; N = 10
x = np.linspace(a,b,N+1)
y = f(x)
dx = (b-a)/N
soma_Simpson = dx/3 * np.sum(y[0:-1:2] + 4*y[1::2] + y[2::2])
print("Integral:",soma_Simpson)
 
O resultado obtido corresponde à alternativa indicada como correta na questão.
	
		7a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = cos(y) + sen(y), sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-Kutta:
		
	
	2,403
	
	2,603
	
	2,703
	
	2,503
	 
	2,303
	Respondido em 07/11/2022 23:15:43
	
	Explicação:
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita;
- O ponto inicial;
- O ponto final;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e
- O valor da função no ponto inicial.
Neste exemplo, temos que:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = cos(y) + sen(y);
- O ponto inicial é 0;
- O ponto final é 3;
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e
- O valor da função no ponto inicial é 0,2.
Isso posto, utilize o método indicado a seguir:
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.30.
	
		8a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = cos(y) + sen(y), sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-Kutta:
		
	
	2,609
	
	2,509
	
	2,709
	 
	2,309
	
	2,409
	Respondido em 07/11/2022 23:15:54
	
	Explicação:
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita;
- O ponto inicial;
- O ponto final;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e
- O valor da função no ponto inicial.
Neste exemplo, temos que:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = cos(y) + sen(y);
- O ponto inicial é 0;
- O ponto final é 3;
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e
- O valor da função no ponto inicial é 0,3.
Isso posto, utilize o método indicado a seguir:
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.308
	
		9a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Adaptado de Goldbarg e Luna (2005, p. 36)
A Tabela a seguir apresenta a proporção de cada material na mistura para a obtenção das ligas passíveis de fabricação por uma metalúrgica que deseja maximizar sua receita bruta. O preço está cotado em reais por tonelada da liga fabricada. Também em toneladas estão expressas as restrições de disponibilidade de matéria-prima.
A variável de decisão para a modelagem deste problema é xi, que indica a quantidade em toneladas produzidas da liga especial de baixa resistência (i = 1) e da especial de alta resistência (i = 2). Assim, para a solução ótima deste problema, a produção de ligas especiais de alta resistência pela metalúrgica deve ser de:
		
	
	11,4
	
	45,4
	
	100,4
	 
	20
	
	31,4
	Respondido em 07/11/2022 23:16:10
	
	Explicação:
Utilizando oSolver do Excel:
	
		10a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Considere o seguinte problema de programação linear:
       Min Z= 280x1+620x2
Sujeito a:
                          0,75x1+0,6x2 ≤200
                                x1+x2 ≤300
                                x1 ≥160
                                x2 ≥75
O valor de x2 para a solução ótima deste problema é:
		
	 
	75
	
	60
	 
	160
	
	120
	
	80
	Respondido em 07/11/2022 23:16:13
	
	Explicação:
Utilizando o Solver do Excel, baseado nas restrições e na função objetivo, alcançamos o resultado abaixo.]