T-2015-10-Oktobermat-PUC

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A matemática atrás da arte de M. C. Escher
Katrin Gelfert (IM-UFRJ)
Oktobermat, PUC-Rio, 2015
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 1 / 20
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 2 / 20
Geometria euclidiana
Os Elementos [Euclides, ∼300 a.C.]:
Um ponto é o que não tem parte nem dimensão.
Linha é o que tem comprimento e não tem largura.
As extremidades da linha são pontos.
Linha reta é aquela que está posta igualmente entre as
suas extremidades.
Superfície é o que tem comprimento e largura.
As extremidades da superfície são linhas.
Um ângulo plano é a inclinação entre si de duas linhas
de um plano, se estas se cortam e não estão em uma
mesma reta.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 3 / 20
Geometria euclidiana
Os Postulados de Euclides:
(P1) Dados dois pontos distintos, há um único segmento de
reta que os une;
(P2) Um segmento de reta pode ser prolongado
indefinidamente para construir uma reta;
(P3) Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer,
pode-se construir uma circunferência de centro naquele
ponto e com raio igual à distância dada;
(P4) Todos os ângulos retos são congruentes (semelhantes);
(P5) Se uma linha reta corta duas linhas retas de forma a
que os dois ângulos internos de um mesmo lado sejam
(em conjunto, ou soma) menores que dois ângulos
retos, então as duas linhas retas, se forem prolongadas
indefinidamente, encontram-se num ponto no mesmo
lado em que os dois ângulos são menores que dois
ângulos retos.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 4 / 20
Geometria euclidiana
(P1) Dados dois pontos distintos, há um único
segmento de reta que os une;
(P2) Um segmento de reta pode ser prolongado
indefinidamente para construir uma reta;
(P3) Dados um ponto qualquer e uma distância
qualquer, pode-se construir uma circunferência de
centro naquele ponto e com raio igual à distância
dada;
(P4) Todos os ângulos retos são congruentes
(semelhantes).
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 5 / 20
Geometria euclidiana
(P5) Se uma linha reta corta duas linhas retas de forma
a que os dois ângulos internos de um mesmo lado
sejam (em conjunto, ou soma) menores que dois
ângulos retos, então as duas linhas retas, se forem
prolongadas indefinidamente, encontram-se num
ponto no mesmo lado em que os dois ângulos são
menores que dois ângulos retos.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 6 / 20
Geometria euclidiana
Supondo (P1)–(P4), o postulado (P5) é equivalente à cada um dos seguintes
fatos:
A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a dois ângulos
retos. (Postulado do triângulo) desde de Aristóteles 400 a.C.
Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais que no plano que definem
há exactamente uma reta incidente com P e paralela a r . (Postulado de
paralelas) Ptolomeo (∼200), Próclo (∼400), Playfair (18Jh-19Jh)
Se três dos ângulos de um quadrilátero são retos, então, o último também é
reto.
Há rectângulos. (Saccheri 17-18Jh)
Existe um par de triângulos semelhantes e não congruentes.
Teorema de Pitágoras
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 7 / 20
Geometria não-euclidiana
Postulados (P1)–(P4),
Negação do Postulado (P5):
Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais que no plano que definem
existem pelo menos duas / não existem retas paralelas incidente com P e
paralela a r .
Existem de fato tais geometrias:
[Janos Bolyai, Carl F. Gauss, Nikolai I. Lobachevsky]
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 8 / 20
Geometria hiperbólica
(P1) Há único segmento de reta que une dois pontos.
(P2) Segmento de reta pode ser prolongado.
(P3) Podemos construir circumferências.
(P4) Ângulos retos são congruentes.
(P5’) Há um ponto P e uma reta r não
incidentes tais que no plano que
definem existem pelo menos duas
retas paralelas incidente com P e
paralela a r .
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 9 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
O semi-plano hiperbólico H2 tem geometria hiperbólica
H2 := {z ∈ C : Im(z) > 0}.
ponto = ponto
reta = reta ou semi circulo
ângulo = ângulo entre tangentes
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 10 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
O semi-plano hiperbólico H2 tem geometria hiperbólica
H2 := {z ∈ C : Im(z) > 0}.
ponto = ponto
reta = reta ou semi circulo
ângulo = ângulo entre tangentes
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 10 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
O semi-plano hiperbólico H2 tem geometria hiperbólica
H2 := {z ∈ C : Im(z) > 0}.
ponto = ponto
reta = reta ou semi circulo
ângulo = ângulo entre tangentes
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 10 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
(P1) Há único segmento de reta que une dois pontos.
(P2) Segmento de reta pode ser prolongado.
(P3) Podemos construir circumferências.
(P4) Ângulos retos são congruentes.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 11 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
(P1) Há único segmento de reta que une dois pontos.
(P2) Segmento de reta pode ser prolongado.
(P3) Podemos construir circumferências.
(P4) Ângulos retos são congruentes.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 11 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
(P1) Há único segmento de reta que une dois pontos.
(P2) Segmento de reta pode ser prolongado.
(P3) Podemos construir circumferências.
(P4) Ângulos retos são congruentes.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 11 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
(P1) Há único segmento de reta que une dois pontos.
(P2) Segmento de reta pode ser prolongado.
(P3) Podemos construir circumferências.
(P4) Ângulos retos são congruentes.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 11 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
(P1) Há único segmento de reta que une dois pontos.
(P2) Segmento de reta pode ser prolongado.
(P3) Podemos construir circumferências.
(P4) Ângulos retos são congruentes.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 11 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
(P1) Há único segmento de reta que une dois pontos.
(P2) Segmento de reta pode ser prolongado.
(P3) Podemos construir circumferências.
(P4) Ângulos retos são congruentes.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 11 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
(P1) Há único segmento de reta que une dois pontos.
(P2) Segmento de reta pode ser prolongado.
(P3) Podemos construir circumferências.
(P4) Ângulos retos são congruentes.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 11 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
(P1) Há único segmento de reta que une dois pontos.
(P2) Segmento de reta pode ser prolongado.
(P3) Podemos construir circumferências.
(P4) Ângulos retos são congruentes.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 11 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
(P1) Há único segmento de reta que une dois pontos.
(P2) Segmento de reta pode ser prolongado.
(P3) Podemos construir circumferências. (Construimos
o centro hiperbólico)
(P4) Ângulos retos são congruentes.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 12 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
(P1) Há único segmento de reta que une dois pontos.
(P2) Segmento de reta pode ser prolongado.
(P3) Podemos construir circumferências. (Construimos
o centro hiperbólico)
(P4) Ângulos retos são congruentes.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 12 / 20
Geometriahiperbólica – Modelo: semi-plano superior
(P1) Há único segmento de reta que une dois pontos.
(P2) Segmento de reta pode ser prolongado.
(P3) Podemos construir circumferências. (Construimos
o centro hiperbólico)
(P4) Ângulos retos são congruentes.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 12 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
(P1) Há único segmento de reta que une dois pontos.
(P2) Segmento de reta pode ser prolongado.
(P3) Podemos construir circumferências. (Construimos
o centro hiperbólico)
(P4) Ângulos retos são congruentes.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 12 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
Duas retas são paralelos se são disjuntos.
(P5’) Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais
que no plano que definem existem pelo menos
duas retas paralelas incidente com P e paralela a r .
Se existem pelo menos duas retas paralelas
incidente com P e paralela a r , então existem
infinitas.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 13 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
Duas retas são paralelos se são disjuntos.
(P5’) Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais
que no plano que definem existem pelo menos
duas retas paralelas incidente com P e paralela a r .
Se existem pelo menos duas retas paralelas
incidente com P e paralela a r , então existem
infinitas.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 13 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
Duas retas são paralelos se são disjuntos.
(P5’) Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais
que no plano que definem existem pelo menos
duas retas paralelas incidente com P e paralela a r .
Se existem pelo menos duas retas paralelas
incidente com P e paralela a r , então existem
infinitas.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 13 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
Duas retas são paralelos se são disjuntos.
(P5’) Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais
que no plano que definem existem pelo menos
duas retas paralelas incidente com P e paralela a r .
Se existem pelo menos duas retas paralelas
incidente com P e paralela a r , então existem
infinitas.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 13 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
Duas retas são paralelos se são disjuntos.
(P5’) Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais
que no plano que definem existem pelo menos
duas retas paralelas incidente com P e paralela a r .
Se existem pelo menos duas retas paralelas
incidente com P e paralela a r , então existem
infinitas.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 13 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
Duas retas são paralelos se são disjuntos.
(P5’) Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais
que no plano que definem existem pelo menos
duas retas paralelas incidente com P e paralela a r .
Se existem pelo menos duas retas paralelas
incidente com P e paralela a r , então existem
infinitas.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 13 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
Uma reta divide o espaço em dois semi-espaços.
Um triângulo é a intersecção de três semi-espaços com área finita.
A soma dos ângulos internos de um
triângulo é sempre menor do que
dois ângulos retos (<180o).
A soma dos ângulos internos de um
quadrilátero convexo é sempre
menor do que quatro ângulos retos
(<360o).
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 14 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
Uma reta divide o espaço em dois semi-espaços.
Um triângulo é a intersecção de três semi-espaços com área finita.
A soma dos ângulos internos de um
triângulo é sempre menor do que
dois ângulos retos (<180o).
A soma dos ângulos internos de um
quadrilátero convexo é sempre
menor do que quatro ângulos retos
(<360o).
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 14 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
Uma reta divide o espaço em dois semi-espaços.
Um triângulo é a intersecção de três semi-espaços com área finita.
A soma dos ângulos internos de um
triângulo é sempre menor do que
dois ângulos retos (<180o).
A soma dos ângulos internos de um
quadrilátero convexo é sempre
menor do que quatro ângulos retos
(<360o).
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 14 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
Uma reta divide o espaço em dois semi-espaços.
Um triângulo é a intersecção de três semi-espaços com área finita.
A soma dos ângulos internos de um
triângulo é sempre menor do que
dois ângulos retos (<180o).
A soma dos ângulos internos de um
quadrilátero convexo é sempre
menor do que quatro ângulos retos
(<360o).
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 14 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: semi-plano superior
Uma reta divide o espaço em dois semi-espaços.
Um triângulo é a intersecção de três semi-espaços com área finita.
A soma dos ângulos internos de um
triângulo é sempre menor do que
dois ângulos retos (<180o).
A soma dos ângulos internos de um
quadrilátero convexo é sempre
menor do que quatro ângulos retos
(<360o).
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 14 / 20
Geometria hiperbólica – Modelo: disco de Poincaré
A transformação Ψ: H2 → D : z 7→ z−iiz−1
D := {z ∈ C : |z | < 1}
é um difeomorfismo holomorfo. Em particular, ele é conforme e portanto
preserve ângulos.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 15 / 20
Geometria hiperbólica na árte de M. C. Escher
Consideramos em D o poligonio: interseção dos semi-planos (k = 0, ..., 3)
Hk = {z ∈ D : |z − rik | ≥
√
r2 − 1}
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 16 / 20
Geometria hiperbólica na árte de M. C. Escher
Consideramos em D o poligonio: interseção dos semi-planos (k = 0, ..., 3)
Hk = {z ∈ D : |z − rik | ≥
√
r2 − 1}
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 16 / 20
Geometria hiperbólica na árte de M. C. Escher
Consideramos em D o poligonio: interseção dos semi-planos (k = 0, ..., 3)
Hk = {z ∈ D : |z − rik | ≥
√
r2 − 1}
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 16 / 20
Geometria hiperbólica na árte de M. C. Escher
Consideramos em D o poligonio: interseção dos semi-planos (k = 0, ..., 3)
Hk = {z ∈ D : |z − rik | ≥
√
r2 − 1}
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 16 / 20
Tesselação
Definition
Uma tesselação do plano é um recobrimento, tendo, como unidades
básicas, polígonos congruentes ou não, sem que existam espaços entre eles
e de modo que o plano total seja igual ao espaço particionado.
Uma tesselação é dito regular se são n-gons regulares e todos iguais e em
cada vertex se encontram k deles.
Chamamos {n, k} o simbolo de Schläfli da tesselação regular.
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 17 / 20
Tesselação do plano euclideano
Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem
2π
n
+ δ = π
⇒ δ = π(1− 2
n
)
Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos
π(1− 2
n
) = δ =
2π
k
⇒ 1
2
=
1
k
+
1
n
Lemma
Há somente três tipos de tesselações: Triângulos, Quadrados, Hexágonos.
k = 3, n = 6 (hexágonos), k = 4, n = 4 (quadrados), k = 6, n = 3 (triângulos)
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 18 / 20
Tesselação do plano euclideano
Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem
2π
n
+ δ = π ⇒ δ = π(1− 2
n
)
Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos
π(1− 2
n
) = δ =
2π
k
⇒ 1
2
=
1
k
+
1
n
Lemma
Há somente três tipos de tesselações: Triângulos, Quadrados, Hexágonos.
k = 3, n = 6 (hexágonos), k = 4, n = 4 (quadrados), k = 6, n = 3 (triângulos)
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrásda arte de Escher 18 / 20
Tesselação do plano euclideano
Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem
2π
n
+ δ = π ⇒ δ = π(1− 2
n
)
Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos
π(1− 2
n
) = δ =
2π
k
⇒ 1
2
=
1
k
+
1
n
Lemma
Há somente três tipos de tesselações: Triângulos, Quadrados, Hexágonos.
k = 3, n = 6 (hexágonos), k = 4, n = 4 (quadrados), k = 6, n = 3 (triângulos)
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 18 / 20
Tesselação do plano euclideano
Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem
2π
n
+ δ = π ⇒ δ = π(1− 2
n
)
Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos
π(1− 2
n
) = δ =
2π
k
⇒ 1
2
=
1
k
+
1
n
Lemma
Há somente três tipos de tesselações: Triângulos, Quadrados, Hexágonos.
k = 3, n = 6 (hexágonos), k = 4, n = 4 (quadrados), k = 6, n = 3 (triângulos)
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 18 / 20
Tesselação do plano euclideano
Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem
2π
n
+ δ = π ⇒ δ = π(1− 2
n
)
Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos
π(1− 2
n
) = δ =
2π
k
⇒ 1
2
=
1
k
+
1
n
Lemma
Há somente três tipos de tesselações: Triângulos, Quadrados, Hexágonos.
k = 3, n = 6 (hexágonos), k = 4, n = 4 (quadrados), k = 6, n = 3 (triângulos)
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 18 / 20
Tesselação do plano euclideano
Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem
2π
n
+ δ = π ⇒ δ = π(1− 2
n
)
Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos
π(1− 2
n
) = δ =
2π
k
⇒ 1
2
=
1
k
+
1
n
Lemma
Há somente três tipos de tesselações: Triângulos, Quadrados, Hexágonos.
k = 3, n = 6 (hexágonos), k = 4, n = 4 (quadrados), k = 6, n = 3 (triângulos)
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 18 / 20
Tesselação do plano hiperbólico
Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem
2π
n
+ δ < π
⇒ δ < π(1− 2
n
)
Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos
π(1− 2
n
) > δ =
2π
k
⇒ 1
2
>
1
k
+
1
n
Lemma
No plano hiperbólico há infinitas tipos de tesselações.
k = 8, n = 4 k = 4, n = 8
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 19 / 20
Tesselação do plano hiperbólico
Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem
2π
n
+ δ < π ⇒ δ < π(1− 2
n
)
Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos
π(1− 2
n
) > δ =
2π
k
⇒ 1
2
>
1
k
+
1
n
Lemma
No plano hiperbólico há infinitas tipos de tesselações.
k = 8, n = 4 k = 4, n = 8
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 19 / 20
Tesselação do plano hiperbólico
Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem
2π
n
+ δ < π ⇒ δ < π(1− 2
n
)
Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos
π(1− 2
n
) > δ =
2π
k
⇒ 1
2
>
1
k
+
1
n
Lemma
No plano hiperbólico há infinitas tipos de tesselações.
k = 8, n = 4 k = 4, n = 8
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 19 / 20
Tesselação do plano hiperbólico
Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem
2π
n
+ δ < π ⇒ δ < π(1− 2
n
)
Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos
π(1− 2
n
) > δ =
2π
k
⇒ 1
2
>
1
k
+
1
n
Lemma
No plano hiperbólico há infinitas tipos de tesselações.
k = 8, n = 4 k = 4, n = 8
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 19 / 20
Tesselação do plano hiperbólico
Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem
2π
n
+ δ < π ⇒ δ < π(1− 2
n
)
Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos
π(1− 2
n
) > δ =
2π
k
⇒ 1
2
>
1
k
+
1
n
Lemma
No plano hiperbólico há infinitas tipos de tesselações.
k = 8, n = 4 k = 4, n = 8
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 19 / 20
(Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 20 / 20