tema 3 - Binômio de Newton e aplicações

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Binômio de Newton e aplicações
Prof. Carlos Eddy Esaguy Nehab
Descrição
Conhecer os números binomiais e sua aplicação no desenvolvimento da potência de um binômio (Binômio de Newton) e a generalização da
potência de um polinômio (Polinômio de Leibnitz).
Propósito
Identificar as diversas formas do desenvolvimento das potências de um binômio e/ou polinômio, em especial, as decorrentes do uso dos
coeficientes binomiais.
Objetivos
Módulo 1
Números binomiais e binômio de Newton
Empregar os números binomiais para a obtenção do desenvolvimento do Binômio de Newton.
Módulo 2
Triângulo de Pascal
Interpretar as relações combinatórias clássicas contidas no Triângulo de Pascal.
Módulo 3
Identidades binomiais especiais
Empregar a técnica da Dupla Contagem para a demonstração de identidades binomiais especiais.
Módulo 4
Polinômio de Leibnitz
Identificar o desenvolvimento de Leibnitz para a potência de um polinômio.
Introdução
Assista ao vídeo para conhecer os temas que serão tratados durante este estudo.
1 - Números binomiais e binômio de Newton
Ao �nal deste módulo, você será capaz de empregar os números binomiais para a obtenção do desenvolvimento do Binômio de
Newton.

Vamos começar!
Os números binomiais e suas aplicações
Assista ao vídeo para conhecer a relação existente entre os números binomiais e a ferramenta matemática: Binômio de Newton.
Números binomiais
Conceito
Dado um conjunto com elementos, chamamos de número binomial de parâmetros e , representado por , a quantidade de subconjuntos
de com elementos.
Como em um subconjunto só importa considerar os elementos que o compõem, mas não a ordem em que são selecionados, é imediato perceber
que a quantidade de subconjuntos de com elementos corresponde ao número de combinações simples de objetos tomados a . Ou seja:
Rotacione a tela. 
É usual lermos os números binomiais com um jargão especial, ou seja, lemos como escolhe .
Lembrando que podemos expressar sob a forma de fatorial. Nesse caso, temos: 
Exemplo 1
Determine, explicitamente, os subconjuntos do conjunto .
Solução
Vale destacar que possui os seguintes subconjuntos:
Subconjuntos com zero elementos, ou seja, o conjunto vazio: .

A n n p ( )n
p
A p
A p n p p
( ) = C np−
n
p
( )n
p
n p
C np ( ) = C np = n!(n−p)!p!
n
p
A = {1, 2, 3}
A
∅
Subconjuntos com apenas 1 elemento, que correspondem aos chamados conjuntos unitários cujos elementos, então, nesse exemplo, são 1 ou
2 ou .
Subconjuntos com 2 elementos, que correspondem às possíveis escolhas de 2 dos 3 elementos de .
Subconjuntos com 3 elementos que, naturalmente, correspondem ao próprio conjunto .
Logo, podemos escrever:
3 pega 0: 
3 pega 1: 
3 pega 2: 
3 pega 3: 
Note que o número total de subconjuntos de é igual a . Portanto, vale a igualdade.
Rotacione a tela. 
Exemplo 2
Mostre que, para qualquer valor de inteiro não negativo, valem as seguintes igualdades:
a) 
b) 
Solução
Imaginando um conjunto com elementos, temos:
a) O número binomial indica a quantidade de subconjuntos de com zero elementos, que corresponde apenas ao conjunto vazio! Portanto, 
.
b) representa a quantidade de subconjuntos de com apenas elemento, ou seja, seus subconjuntos unitários! Como possui elementos,
a quantidade de subconjuntos unitários é exatamente . Além disso, cada subconjunto com elementos está, naturalmente, em
correspondência com seu complementar com relação a , que é um conjunto unitário. Logo, a igualdade está justificada.
Propriedades básicas
3; {1}; {2}; {3}
A : {1, 2}; {1, 3}; {2, 3}
A = {1, 2, 3}
( ) = C 30 = 1
3
0
( ) = C 31 = 3
3
1
( ) = C 32 = 3
3
2
( ) = C 33 = 1
3
3
A 8
( )+ ( )+ ( )+ ( ) = 23 ou seja, 
3
∑
k=0
C 3k = 2
3
3
0
3
1
3
2
3
3
n
( ) = 1n
0
( ) = ( ) = 1n
1
n
n− 1
A n
( )n
0
A
( ) = 1n
0
( )n
1
A 1 A n
n n− 1
A
Dentre as incontáveis propriedades envolvendo os números combinatórios, três delas simples e de extrema utilidade serão analisadas a seguir.
Vamos conhecê-las.
Propriedade do número combinatório complementar
Se você dispõe de um conjunto com elementos, por exemplo, como justificaria o fato de que o número de subconjuntos com 
elementos é igual ao número de subconjuntos com 7 elementos?
Se dentre os elementos disponíveis, você seleciona elementos, você deixou de usar os restantes que formam o conjunto complementar
do conjunto escolhido!
Então, cada conjunto com elementos corresponde um outro subconjunto de objetos não utilizados! Logo, a quantidade de subconjuntos é a
mesma e podemos escrever:
Rotacione a tela. 
Assim, por exemplo:
Rotacione a tela. 
Propriedade do somatório dos números combinatórios
Se um conjunto possui elementos, quantos subconjuntos, ao todo, possui ? Em exemplo anterior, percebemos que se possui elementos, 
 possui um total de subconjuntos.
Se possui elementos, a quantidade total de seus subconjuntos é dada pelo somatório:
Rotacione a tela. 
Cada número combinatório corresponde à quantidade de subconjuntos de com elementos. Logo, se consideramos desde subconjuntos
com 0 elementos (o conjunto vazio) até os subconjuntos com elementos (apenas o próprio ), teremos computados todos os possíveis
subconjuntos de !
Mas, como poderíamos contar de outra forma o número total de subconjuntos de ?
Para montar um particular subconjunto de , podemos escolher ou não - portanto duas alternativas - cada um dos elementos de .
A n = 10 p = 3
n− p =
n p n− p
p
( ) = ( )
( ) = ( ) = 10!
8!2!
=
10 × 9
2
= 45
n
p
n
n− p
10
2
10
8
( ) = ( ) = 1 ( ) = ( ) = 10!8!2! =
10×9
2 = 45
( ) = ( ) = 10 ( ) = ( ) = 10!7!3! =
10×9×8
1×2×3 = 120
( ) = ( ) = 1 ( ) = ( ) = 9!6!3! =
9×8×7
1×2×3 = 84
( ) = ( ) = 9 ( ) = ( ) = 9!4!5! =
9×8×7×6
1×2×3×4 = 126
10
0
10
10
10
2
10
8
10
1
10
9
10
3
10
7
9
0
9
9
9
3
9
6
9
1
9
8
9
4
9
5
A n A A 3
A 8
A n
n
∑
k=0
C nk = ( )+ ( )+⋯+ ( )+⋯+ ( )
n
0
n
1
n
k
n
n
( )n
k
A k
n A
A
A
A n A
Então, pelo princípio da multiplicação, a quantidade total de possibilidades de escolha para os objetos disponíveis é:
Rotacione a tela. 
Ou seja:
Rotacione a tela. 
Assim, por exemplo, temos (verifique):
a) 
Rotacione a tela. 
b) 
Rotacione a tela. 
Relação de Stifel (ou Recursão de Pascal)
Imagine a situação de dispormos de um conjunto com elementos, onde é um de seus elementos. Quantos são os subconjuntos de com 
elementos, de tal forma que:
a) não seja um de seus elementos?
b) seja um de seus elementos?
Justi�cativa
a) Note que se não está no subconjunto a ser construído, tudo se passa como se tivéssemos que escolher os elementos do conjunto desejado
apenas dentre os elementos restantes (ou seja, o fora disso!). Logo, a resposta é pega .
b) Analogamente, se deve estar no subconjunto a ser construído, tudo se passa como se tivéssemos que escolher os elementos restantes
dentre os demais elementos disponíveis (pois o já foi usado!). Logo, a resposta é pega 
Agora, o pulo do gato: a soma dessas duas contagens resulta em todos os subconjuntos de com elementos, ou seja, os que possuem e os que
não possuem . Logo, como o número de subconjuntos de com elementos vale pega , vale a famosa Relação de Stifel (também conhecida
como Recursão de Pascal):
Rotacione a tela. 
Por exemplo:
n
2 × 2 × 2 ×…× 2
n elementos 
= 2n

n
∑
k=0
C nk = ( )+ ( )+⋯+ ( )+⋯+ ( ) = 2n
n
0
n
1
n
k
n
n
( )+ ( )+ ( )+ ( )+ ( ) =
= 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
= 16 = 24
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
( )+ ( )+ ( )+ ( )+ ( )+ ( ) =
= 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1
= 32 = 25
5
0
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
A n x A p
x
x
x p
n− 1 x n− 1 p : ( ) = C n−1p
n− 1
p
x p− 1
n− 1 x n− 1 p− 1 : ( ) = C n−1p−1
n− 1
p− 1
A p
x A p n p
( ) = ( )+ ( )n
p
n− 1
p
n− 1
p− 1
Rotacione a tela. 
Binômio de Newton
Propriedades básicas
Comecemos por rever algumas propriedades básicas das operações de adição e de multiplicação entre números:
Dadosdois números reais quaisquer, valem as propriedades:
Ou seja, a ordem dos fatores não altera nem a soma nem o produto de dois números.
Dados três números reais quaisquer, valem as propriedades:
Por essa razão, podemos escrever a soma ou o produto de três parcelas, ou sem parênteses, pois o resultado da
adição ou da multiplicação não depende da forma como agrupamos as parcelas.
Dados três números e , valem as seguintes igualdades:
Ou seja, a operação de multiplicação se distribui pelas parcelas da adição. No primeiro caso, chamamos de distributividade pela esquerda; e
no segundo, de distributividade pela direita.
Exemplo 3
( ) = ( )+ ( ) e ( ) = ( )+ ( )9
3
8
3
8
2
100
50
99
50
99
49
Comutatividade 
a+ b = b+ a
a× b = b× a
Associatividade 
a+ (b+ c) = (a+ b) + c.
a× (b× c) = (a× b) × c.
a+ b+ c a× b× c
Distributividade 
a, b c
a× (b+ c) = (a× b) + (a× c)
(a+ b) × c = (a× c) + (b× c)
Note que essas propriedades são tão intuitivas que, muitas vezes, somos tentados a dizer que elas são “o óbvio ululante”. Mas não são, pois
inúmeras operações entre números ou operações entre outros objetos matemáticos não são nem comutativas nem associativas.
Por exemplo, as operações de divisão e de potenciação não são nem comutativas e nem associativas. Veja, usando para representar elevado
a , temos:
Rotacione a tela. 
Exemplo 4
A propriedade da distributividade é extremamente útil para realizar, mentalmente, multiplicações.
Para multiplicar 12 por 14, por exemplo, imaginamos a parcela 14 decomposta nas parcelas 10 e 4 e, então, podemos escrever:
Rotacione a tela. 
Exemplo 5
Mostre, a partir de propriedades da adição e da multiplicação, que, para realizar o produto de dois binômios , devemos somar os
produtos de cada termo da soma (ou seja, e ) pelos dois termos da parcela (ou seja, e ):
Justi�cativa
Chamando de , note que, no desenvolvimento a seguir, usamos três vezes a distributividade da multiplicação com relação à adição e
usamos a associatividade para dispensar os parênteses ao final.
Rotacione a tela. 
Naturalmente, uma das consequências dessa propriedade é o manjadíssimo produto notável .
a∧b a
b
8 ÷ 4 ≠ 4 ÷ 8
8 ÷ (4 ÷ 2) ≠ (8 ÷ 4) ÷ 2
2∧3 ≠ 3∧2  [ou seja, 23 ≠ 32 ] 
(2∧3)
∧
2 ≠ 2∧ (3∧2)  [ou seja, (23)2 ≠ 2(3
2) ] 
12 × 14 = 12 × (10 + 4)
= (12 × 10) + (12 × 4)
= 120 + 48 = 168
(a+ b) × (p+ q)
a+ b a b p+ q p q
a+ b X
(a+ b) × (p+ q) =
= X × (p+ q)
= X × p+X × q
= [(a+ b) × p] + [(a+ b) × q]
= [a× p+ b× p] + [a× q + b× q]
= a× p+ b× p+ a× q + b× q
= ap+ bp+ aq + bq
(a+ b)2
Daí a frase de efeito, mas muito prática: “Multiplique todo mundo por todo mundo”! Ou seja, para multiplicarmos duas expressões com vários
termos, tipo:
Rotacione a tela. 
Multiplique cada termo da primeira parcela, ou seja, e , por todos os termos da segunda parcela, ou seja, , e e some todos os
resultados.
Revendo produtos notáveis
O estudo das potências de um binômio é realizado, ainda no ensino fundamental, quando do estudo dos famosos produtos notáveis.
Vamos, então, relembrar como se comportam potências da forma para os casos e .
Na tabela a seguir, escrevemos as expressões usuais e, na linha seguinte, procuramos enfatizar algumas características interessantes sobre as
diversas parcelas obtidas, com destaque para os coeficientes numéricos de cada monômio e os expoentes das letras e .
Será possível perceber algum padrão ou lei de formação no desenvolvimento dessas potências?
Rotacione a tela. 
Analisando a tabela anterior, constate as observações que se seguem:
O número de parcelas (monômios) do desenvolvimento da potência vale , onde é o expoente; por exemplo, possui 5
parcelas (monômios).
Os expoentes de e de , em cada parcela (monômio), variam de em e em sentido contrário; o expoente de , como escolhido, decresce de
 a , e os expoentes de crescem desde até ;
A soma dos expoentes de e de em cada parcela (monômio) vale sempre .
Note, também, a seguinte estratégia para calcular os coeficientes de uma potência de , a partir dos coeficientes da potência anterior. Vamos
exemplificar para o caso .
(a+ b+ c+ d+ e)(x+ y+ z+ w)
a, b, c, d e x, y, z w
a+ b
(a+ b)n n = 1, 2 3
a b
n (a+ b)n  Desenvolvimento 
1 (a+ b)1 = a+ b
= 1a1b0 + 1a0b1
2 (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2
= 1a2b0 + 2a1b1 + 1a0b2
3 (a+ b)3 = a3 + 3ab2 + 3ab2 + b3
= 1a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + 1a0b3
(a+ b)n n+ 1 n (a+ b)4
a b 1 1 a
n 0 b 0 n
a b n
a+ b
n = 3
Rotacione a tela. 
No produto montado a seguir, note que os coeficientes 1, 2 e 1, embora deslocados, ocorrem nas duas parcelas a serem somadas:

Quando multiplicamos por , obtemos .

Quando multiplicamos por , obtemos .
Veja, esquematicamente, como podemos representar a situação dos produtos e enfatizando apenas os
coeficientes dos monômios.
Exemplo 6
A partir das observações anteriores, determine o desenvolvimento de e .
Solução
Repetindo o esquema realizado para e , obtemos:
Então,
(a+ b)3 =(a+ b) × (a+ b)2
=(a+ b) × (a2 + 2ab+ b2)
=(a+ b) × (1a2 + 2ab+ 1b2)
=a× (1a2 + 2ab+ 1b2)
b× (1a2 + 2ab+ 1b2)
a 1a2 + 2ab+ 1b2 1a3 + 2a2b+ 1ab2
b 1a2 + 2ab+ 1b2 1a2b+ 2ab2 + 1b3
(a+ b)(a+ b)1 (a+ b)(a+ b)2
(a+ b)4 (a+ b)5
n = 4 n = 5
Rotacione a tela. 
A expressão do Binômio de Newton
Vamos analisar a potência de um binômio indicada de uma forma mais criativa e combinatória:
Rotacione a tela. 
O produto de parcelas, como indicado, pode ser realizado da seguinte forma:
(a+ b)4 = 1a4b0 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + 1a0b4
(a+ b)5 = 1a5b0 + 5a4b1 + 10a3b2 + 10a2b3 + 5a1b4 + 1a5b0
(a+ b)n = (a+ b)
Parcela 1
× (a+ b)
Parcela 2
× (a+ b)
Parcela 3
×…× (a+ b)
Parcela n
   
n
Em cada uma das parcelas devemos escolher ou o termo ou o termo para realizar o "multiplicar todo mundo por todo
mundo".
a+ b a b
Teremos, então, as seguintes situações:
Não escolher o termo em nenhuma das parcelas ; ou seja, escolher apenas as letras em todas as parcelas. Obteremos
o produto (monômio) , que podemos escrever para ressaltar que escolhemos fatores e nenhum fator .
Escolher exatamente 1 (um) único fator (em uma única dentre as parcelas ) e, nas demais parcelas, apenas o termo ;
teremos, então, vários produtos ; na verdade, desses monômios, pois há possibilidades de escolha desse termo .
Escolher 2 (dois) 's e termos ; obtemos vários monômios .
Escolher termos e apenas um termo : obtemos monômios .
Escolher termos , ou seja, nenhum termo ; obtemos apenas um produto .
b n a+ b a
an an = anb0 n a b
b n a+ b a
an−1b1 n n a
b n− 2 a an−2b2
n− 1 b a a1bn−1
n b a bn = a0bn
Então, a expressão final possui parcelas do tipo:
Onde o expoente de decresce de a 0 e o de cresce de 0 a .
anb0, an−1b1, an−2b2,… , a1bn−1 e a0bn.
a n b n
A questão, então, é determinar quantas vezes cada um desses monômios pode ser gerado nas multiplicações realizadas de "todo
mundo por todo mundo". Ou seja, como escolher, por exemplo, dentre as parcelas .
Acompanhe o raciocínio que se segue:
3a n a+ b
Veja a exemplificação para o caso , o produto de 3 parcelas , onde estão explicitadas todas as possiveis escolhas de ou de em
cada uma das três parcelas .
Obtemos, então:
A análise anterior permite, finalmente, escrever a expressão geral do desenvolvimento de . Note que destacamos os coeficientes em cada
termo, bem como as potências de e .
Ou seja, no desenvolvimento de , temos que:
Há parcelas.
O coeficiente numérico do monômio que contém elevado ao expoente , isto é, , vale .
O expoente de decresce de até 0 ao mesmo tempo que o expoente de cresce de 0 a .
Resumindo
Chamamos de Binômio de Newton o polinômio obtido pelo desenvolvimento de , ou seja:
Se dentre as parcelas , desejamos escolher "letras" , isso é equivalente a calcular de quantas maneiras podemos escolher 
 das parcelas disponíveis! Mas isso equivale a calcular o número de combinações de objetos, escolhidos dentre eles.
Naturalmente, isso é equivalente a maneirasde formar o monômio . Logo, o coeficiente do monômio é , ou
seja, as parcelas do desenvolvimento são do tipo:
n a+ b k b
k n a+ b n p
C nk a
n−kbk an−kbk C nk
C nk ⋅ a
n−kbk = ( )an−kbkn
p
(a+ b)3 a+ b a b
a+ b
(a+ b)n
a b
(a+ b)n
n+ 1
b k bk C nk
a n b n
(a+ b)n
Onde a expressão:
é chamada de termo geral do desenvolvimento, pois, se , obtemos , o primeiro termo do desenvolvimento e, se , obtemos , o
último termo do desenvolvimento, de ordem 
Exemplo 7
Explicite o desenvolvimento de .
Solução
Façamos e . Trabalhando o termo geral , o termo de ordem , obtemos:
Rotacione a tela. 
Fazendo variar de 0 a 5 :
Rotacione a tela. 
Logo, o desenvolvimento desejado é:
Rotacione a tela. 
Exemplo 8
No desenvolvimento de , obtém-se um polinômio cujo grau é 12. Qual o coeficiente de nesse desenvolvimento?
Solução
n
∑
k=0
( )an−kbk  ou 
n
∑
k=0
C nk ⋅ a
n−kbk
n
k
Tk+1 = C
n
k ⋅ a
n−k ⋅ bk
k = 0 T1 k = n Tn+1
n+ 1.
(2x2 − 3)5
a = 2x2 b = −3 Tk+1 k+ 1
Tk+1 = C
n
k=0a
n−k ⋅ bk
Tk+1 = C
5
k=0(2x
2)5−k ⋅ (−3)k
Tk+1 = C
5
k=02
5−kx2(5−k) ⋅ (−3)k
Tk+1 = C
5
k=0 [2
5−k(−3)k]x2(5−k)
k
k = 0 ⇒ C 50 [2
5−0(−3)0]x2(5−0) = 1 × 32 × 1 × x10 = 32x10
k = 1 ⇒ C 51 [2
5−1(−3)1]x2(5−1) = 5 × 16 × (−3) × x8 = −90x8
k = 2 ⇒ C 52 [2
5−2(−3)2]x2(5−2) = 10 × 8 × 9 × x6 = 720x6
k = 3 ⇒ C 53 [2
5−3(−3)3]x2(5−3) = 10 × 4 × (−27) × x4 = −1080x4
k = 4 ⇒ C 54 [2
5−4(−3)4]x2(5−4) = 5 × 2 × 81 × x2 = 810x2
k = 5 ⇒ C 55 [2
5−5(−3)5]x2(5−5) = 1 × 1 × (−243) × x0 = −243
(2x2 − 3)
5
= 32x10 − 90x8 + 720x6 − 1080x4 + 810x2 − 243
(x+ x2)6 x9
Fazendo e , podemos analisar o termo geral, o termo de ordem :
Rotacione a tela. 
Como desejamos o termo de grau 12 , devemos fazer , ou seja, . Logo, o coeficiente de é , e o termo
desejado corresponde ao 7º termo do desenvolvimento.
Comentário
Note que também poderíamos escrever como e, então, o coeficiente desejado poderia ser calculado procurando-se o
expoente no desenvolvimento da expressão .
Mão na massa
a = x b = x2 k+ 1
Tk+1 = C
n
k ⋅ a
n−k ⋅ bk
Tk+1 = C
6
k ⋅ a
6−k ⋅ bk
Tk+1 = C
6
k ⋅ x
6−k ⋅ (x2)
k
Tk+1 = C
6
k ⋅ x
6−k ⋅ x2k
Tk+1 = C
6
k ⋅ x
6−k+2k
Tk+1 = C
6
k ⋅ x
6+k
6 + k = 12 k = 6 x6 63 =
6!
(6−3)!3!
= 20
(x+ x2)6 x6(1 + x)6
x6 (1 + x)6

Questão 1
Dado um conjunto com 10 elementos, onde são dois de seus elementos, quantos são os subconjuntos , com 7 elementos, de tal
forma que pertença ao subconjunto, mas não pertença ao subconjunto?
A x ≠ y A
x y
A ( ) = C 107
10
7
B ( ) = C 108
10
8
C ( ) = C 87
8
7
D ( ) = C 86
8
6
E ( ) = C 96
9
6
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ESe%20%5C(x%5C)%20deve%20pertencer%20ao%20subconjunto%2C%20tudo%20se%20passa%20como%20se%20nos%20restasse%20
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20c-
table'%3EA%20rela%C3%A7%C3%A3o%20de%20Stifel%20estabelece%20que%20%5C(%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7Dn-
1%20%5C%5C%20p%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%2B%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Dn-1%20%5C%5C%20p-
1%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Dn%20%5C%5C%20p%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%5C).%3C%2Fp%3E
paragraph'%3ELogo%2C%20%C3%A9%20imediato%20que%20a%20igualdade%20verdadeira%20%C3%A9%20a%20da%20op%C3%A7%C3%A3o%20%5
Questão 2
A Relação de Stifel justifica qual igualdade?
A ( )+ ( ) = ( )100
50
99
50
99
51
B ( )+ ( ) = ( )100
50
99
49
100
49
C ( )+ ( ) = ( )99
51
99
50
100
50
D ( )+ ( ) = ( )100
49
99
49
100
50
E ( )+ ( ) = ( )100
50
100
49
101
50
Questão 3
Qual o coeficiente de no desenvolvimento de ?x6 (x2 + 1)7
A 7
B 21
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n%3D7%20%5Ctext%20%7B%20e%20%7D%20a
paragraph%22%3ELogo%2C%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D%22c-
paragraph%20c-
table%22%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%
k%7D%20%5Ccdot%20b%5E%7Bk%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26T_%7Bk%2B1%
k%7D%20%5Ccdot%201%5E%7Bk%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26T_%7Bk%2B1%
2%20k%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph%22%3EDesejamos%20que%20%5C(14-
2%20k%3D6%5C)%2C%20ou%20seja%2C%20%5C(k%3D4%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph%20c-
table%22%3ELogo%2C%20%5C(T_%7B4%2B1%7D%3DT_%7B5%7D%3DC_%7B4%7D%5E%7B7%7D%20%5Ccdot%20x%5E%7B6%7D%3D%5Cfrac%7B7%
paragraph%22%3E0%20coeficiente%20desejado%2C%20ent%C3%A3o%2C%20vale%2035%20.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20
C 28
D 35
E 70
Questão 4
Quando desenvolvemos a potência , obtemos um polinômio na variável , de grau 14. Qual é a soma dos coeficientes numéricos
desse polinômio?
(2x+ 3)14 x
A 14
B 145
C 214
D 514
E 14! (fatorial de 14)
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EFa%C3%A7amos%20%5C(a%3D2%20x%5C)%20e%20%5C(b%3D3%5C).%20Ent%C3%A3o%2C%20o%20termo%20geral%20%5C(T_%7Bk
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%
k%7D%20b%5E%7Bk%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26T_%7Bk%2B1%7D%3DC_%7
k%7D%201%5E%7Bk%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26T_%7Bk%2B1%7D%3DC_%7
k%7D%20x%5E%7B14-
k%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2
paragraph'%3EPara%20calcular%20a%20soma%20dos%20coeficientes%20do%20polin%C3%B4mio%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%2
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C_%7B0%7D%5E%7B14%7D%20%5Ccdot%202%5E%
paragraph'%3EBasta%20fazermos%20%5C(x%3D1%5C)%20!%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph%20c-
table'%3EEnt%C3%A3o%2C%20fazendo%20%5C(x%3D1%5C)%20diretamente%20na%20pot%C3%AAncia%20%5C((2%20x%2B3)%5E%7B14%7D%5C)%
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20c-
table'%3ENote%20que%20o%20total%20de%20comiss%C3%B5es%20corresponde%20ao%20total%20de%20subconjuntos%20que%20podemos%20fo
se%2C%20%C3%A9%20claro%2C%20o%20conjunto%20vazio.%20Logo%2C%20s%C3%A3o%20%5C(2%5E%7B8%7D-
1%3D255%5C).%20Mas%20desejamos%20eliminar%20as%20comiss%C3%B5es%20com%201%20ou%20com%202%20funcion%C3%A1rios%2C%20q
8-28%3D219%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 5
Se, em uma empresa, 8 funcionários se dispõem a formar uma comissão, quantas comissões diferentes podemos formar exclusivamente com
esses funcionários, em que cada comissão possui no mínimo 3 pessoas?
A 50
B 56
C 191
D 119
E 219
Questão 6
Quantas são as comissões que podemos formar com 3 pessoas, dispondo de 4 homens e 4 mulheres?
A 56
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20entender%20a%20solu%C3%A7%C3%A3o%20desta%20quest%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C!--%20Recurso%20Video%20Player%20-
%20start%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22container%22%3E%0A%20%20%
items-center%20justify-content-
center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class
12%20col-md-10%20col-lg-
10'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Fhome%3Ftoken%3D917e5eeccfe0491eadccc89bdb2ba576%22%20videoId%3D%22video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0
-%20Recurso%20Video%20Player%20-%20end%20--%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Teoria na prática
Mostre a igualdade:
Dica:
Imagine o problema de calcular o número de comissões com 8 pessoas, dispondo de um total de 8 homens e de 8 mulheres. Lembre-se de que 
, para entre 0 e 8 .
B 28
C 30
D 20
E 14
_black
( )
2
+ ( )
2
+ ( )
2
+…+ ( )
2
+ ( )
2
= ( )8
0
8
1
8
2
8
7
8
8
16
8
( ) = ( )8
k
8
n− k
k
Mostrar solução
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EOs%20primos%20de%20%5C(1%5C)%20a%20%5C(10%5C)%20s%C3%A3o%20%5C(2%5C)%2C%20%5C(3%5C)%2C%20%5C(5%5C)%20e
paragraph'%3ELogo%2C%20restam%206%20elementos%20de%20A%20para%20serem%20usados%20na%20forma%C3%A7%C3%A3o%20dos%20sub
Questão 1
Dado o conjunto , quantos são os subconjuntos de que não possuem números primos?A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} A
A 8
B 10
C 16
D 20
E 64
Questão 2
Assinale a igualdade que é diretamente consequência de fazermos no desenvolvimento de :x = −1 (1 + x)n
A ( )+ ( )+ ( )+ ( ) = ( )+ ( )+ ( )6
0
6
2
6
4
6
6
6
1
6
3
6
5
B ( )+ ( )+ ( )+ ( )+ ( )+ ( ) = 255
0
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20c-
table'%3ESabemos%20que%20%5C((1%2Bx)%5E%7Bn%7D%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bk%3Dn%7D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D
k%7D%20%5Cchi%5E%7Bk%7D%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D
paragraph'%3EFazendo%20%5C(x%3D-
1%5C)%20nesse%20desenvolvimento%2C%20obtemos%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B1%2B(-1)%5D%5E%7Bn%7D%3D0%3D%5Csum_
(-1)%5E%7Bk%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%
paragraph'%3EQuando%20%5C(k%5C)%20%C3%A9%20par%2C%20%5C((-1)%5E%7Bk%7D%3D1%5C)%3B%20quando%20%5C(k%5C)%20%C3%A9%20
1%5C).%20Logo%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%
(-1)%5E%7B0%7D%2B%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n%20%
(-1)%5E%7B1%7D%2B%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n%20%
(-1)%5E%7B2%7D%2B%5Ccdots%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%20%20%2
paragraph'%3EOu%20seja%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%
%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n%20%5C%5C%0A%20%20%
1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%2B%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%
paragraph'%3EComo%20consequ%C3%AAncia%2C%20a%20soma%20das%20combina%C3%A7%C3%B5es%20de%20%5C(n%5C)%20pega%20%5C(p%
( )+ ( )+ ( )+ ( )+ ( )+ ( )
0 1 2 3 4 5
C ( )+ ( )+ ( )+ ( )+ ( ) = 164
0
4
1
4
2
4
3
4
4
D ( )+ ( )+ ( )+ ( ) = 1287
1
7
3
7
5
7
7
E ( )+ ( )+ ( )+⋯+ ( )+ ( ) = 288
0
8
1
8
2
8
7
8
8
2 - Triângulo de Pascal
Ao �nal deste módulo, você será capaz de interpretar as relações combinatórias clássicas contidas no Triângulo de Pascal.
Vamos começar!
O Triângulo de Pascal é... um triângulo?
Assista ao vídeo a seguir para conhecer as principais características do Triângulo de Pascal.
Formação
No quadro que se segue, estão representados os termos do desenvolvimento da potência , para de 0 a 4. Note que, em cada linha (valor
fixo de ), explicitamos os termos , , variando de 0 a :
Veja que essa disposição dos números combinatórios sugere uma organização triangular de números! A imagem, a seguir, sugere outra maneira

(a+ b)n n
n Tk+1 k n
triangular de dispor tais termos:
Vejamos, então, a disposição triangular com apenas os números combinatórios que ocorrem nos termos do desenvolvimento de .
Essa disposição de números é chamada de Triângulo de Pascal. A tabela, a seguir, a exibe de forma esquemática, para de até , onde, na
posição e , o valor numérico apresentado corresponde a:
Rotacione a tela. 
Propriedades clássicas
Analisando o Triângulo de Pascal a seguir, podemos identificar alguns padrões em seus valores que podem, eventualmente, sugerir propriedades.
Vejamos:
Propriedade 1: primeiro e último elementos de uma linha
O primeiro e último elementos de cada linha valem 1 , pois . Perceba que, dado qualquer conjunto com elementos, há apenas
um subconjunto com 0 elementos (o conjunto vazio), e há apenas um subconjunto com n elementos: o próprio conjunto!
Propriedade 2: segundo e penúltimo elementos de uma linha
O segundo elemento e o penúltimo elemento de cada linha valem 1, pois . Dado qualquer conjunto com elementos, há
apenas um subconjunto com 1 elemento (unitário) ou com 1 elemento (os complementares dos conjuntos unitários).
(a+ b)n
n 0 9
n k
( ) = C nk =
n!
(n− k!)k!
n
k
( ) = ( ) = 1n
0
n
n
n
( ) = ( ) = nn
1
n
n− 1
n
n−
Propriedade 3: simetria dos números binomiais
Em cada linha do Triângulo de Pascal, observe que dois elementos igualmente distantes dos extremos (primeiro e último de cada linha) são iguais.
Veja:
A justificativa é imediata: dado um conjunto com elementos, a quantidade de subconjuntos com elementos é igual à quantidade de
subconjuntos com elementos.
Propriedade 4: relação de Stifel
No Triângulo de Pascal, se você observar duas células consecutivas em uma mesma linha, sua soma coincide com o valor da célula que se situa
imediatamente abaixo da segunda. Veja:
Esse fato é imediatamente justificado pela Relação de Stifel, abordada anteriormente, que nos afirma o seguinte:
Rotacione a tela. 
Veja o esquema a seguir que sugere, inclusive, uma forma geométrica de lembrar a Relação de Stifel:
Propriedade 5: soma de uma linha
Na tabela a seguir, observe que, em cada linha, a soma dos números binomiais é uma potência de 2! Na verdade, essa propriedade (sim, é uma
propriedade) já foi justificada anteriormente com a contagem, de duas formas, da quantidade total de subconjuntos de um conjunto com 
elementos!
n k
n− k
( ) = ( )+ ( )n
p
n− 1
p− 1
n− 1
p
n
Rotacione a tela. 
Propriedade 6: soma de uma coluna
Observe, antes de enunciarmos essa propriedade, um cuidado com a terminologia:
A terceira coluna do Triângulo de Pascal corresponde a , e não .
A coluna correspondente ao valor é a quinta coluna do Triângulo de Pascal, e assim por diante.
Vamos, então, analisar a soma dos elementos constantes de uma mesma coluna , de sua linha (onde ela começa) até a linha ; veja que essa
soma coincide com a da coluna e linha .
A justificativa dessa propriedade é obtida diretamente da Relação de Stifel.
Note, também, que a expressão algébrica dessa propriedade, que soma os elementos da coluna desde a linha (onde a coluna se inicia) até a
linha , é dada por:
Rotacione a tela. 
Mão na massa
( )+ ( )+⋯+ ( )+⋯+ ( ) = 2nn
0
n
1
n
k
n
n
p = 2 p = 3
p = 4
p p n
p+ 1 n+ 1
p p
n
( )+ ( )+⋯+ ( )+ ( ) = ( )
k=n
∑
k=p
( ) = ( )
p
p
p+ 1
p
n− 1
p
n
p
n+ 1
p+ 1
k
p
n+ 1
p+ 1

Questão 1
Quais das desigualdades indicadas retrata a relação entre os números binomiais e ? Experimente usar a
função na planilha do Google, na planilha Calc (do LibreOffice), ou ainda na planilha Excel (Microsoft). Essas trêsplanilhas
X = ( ),Y = ( )12
7
15
3
Z = ( )18
15
= COMBIN(n; p)
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%2C%20a%20imagem%20a%20seguir%2C%20gerada%20em%20uma%20planilha%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C!--%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20start%20-
-%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22container%20px-
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center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D'col-
10%20col-md-10%20col-lg-
10'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C
image%20src%3D%22img%2F18.jpg%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Captura%20de%20tela%20do%20Microsoft%20Excel.%22%20loading%3D
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%20%
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section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ELogo%2C%20a%20op%C3%A7%C3%A3o%20correta%20%C3%A9%20op%C3%A7%C3%A3o%20B.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%2
suportam essa função especificamente para o cálculo dos números combinatórios.
A X<Y<Z
B Y<X<Z
C X<Z<Y
D Z<Y<X
E Y<Z<X
Questão 2
Sejam e os conjuntos inteiro e inteiro . Se e são a
quantidade de elementos de e , respectivamente, então:
X Y X = {( ) ∣ 0 ≤ k ≤ 15, k15
k
} Y = {( ) ∣ 0 ≤ k ≤ 12, k12
k
} MX MY
X Y
A e X = 16 Y = 13
B e X = 16 Y = 7
C e X = 13 Y = 7
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20entender%20a%20solu%C3%A7%C3%A3o%20desta%20quest%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A
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%20start%20--
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12%20col-md-10%20col-lg-
10'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C
video-
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video-
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section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
D e X = 8 Y = 13
E e X = 8 Y = 7
Questão 3
Pensando apenas no Triângulo de Pascal, podemos observar que:
A ( )+ ( ) = ( )14
3
14
4
15
4
B ( )+ ( ) = ( )7
3
7
4
8
3
C ( )+ ( ) = ( )5
2
6
2
6
3
D ( )+ ( ) = ( )19
10
19
11
20
10
E ( )+ ( ) = ( )14
10
14
10
15
10
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ELembrando%20o%20esquema%20geom%C3%A9trico%20da%20Rela%C3%A7%C3%A3o%20de%20Stifel%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C!--%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20start%20-
-%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22container%20px-
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image%20src%3D%22img%2F19.jpg%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Carlos%20Eddy%20Esaguy%20Nehab%22%20loading%3D%22lazy%22%3
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%20%
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paragraph'%3E%C3%89%20imediato%20que%20a%20%C3%BAnica%20rela%C3%A7%C3%A3o%20v%C3%A1lida%20%C3%A9%20a%20expressa%20na
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EBasta%20observar%20que%20a%20soma%20solicitada%20corresponde%20a%20somar%20os%20elementos%20da%20coluna%20%5
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C!--%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20start%20-
Questão 4
Uma das propriedades do Triângulo de Pascal mostra, de imediato, que a soma vale:∑k=12k=7 ( )
k
7
A ( )12
8
B ( )13
7
C ( )13
12
D ( )13
8
E ( )12
12
-%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22container%20px-
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center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D'col-
12%20col-md-10%20col-lg-
10'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C
image%20src%3D%22img%2F20.jpg%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Carlos%20Eddy%20Esaguy%20Nehab%22%20loading%3D%22lazy%22%3
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%20%
-%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20end%20--%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ELogo%2C%20a%20op%C3%A7%C3%A3o%20correta%20%C3%A9%20op%C3%A7%C3%A3o%20D.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20solu%C3%A7%C3%A3o%20natural%20equivale%20a%20calcular%20a%20soma%20indicada%2C%20que%20corresponde%20%C3
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%2
paragraph'%3EMas%2C%20podemos%20realizar%20esse%20c%C3%A1lculo%20observando%20que%20a%20soma%20dos%20n%C3%BAmeros%20c
Questão 5
Quantas são as comissões com um número ímpar de funcionários se há 9 funcionários disponíveis?
A 1024
B 512
C 256
D 128
E 64
Questão 6
Use algum produto do tipo planilha e digite nas células A1 a A6 os valores indicados de 1 a 6; e na célula B1, digite a expressão = Combin
(12;A1).
A seguir, selecione a célula B1 e arraste-a até a célula B6. Qual o valor que será gerado na célula B5?
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20entender%20a%20solu%C3%A7%C3%A3o%20desta%20quest%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C!--%20Recurso%20Video%20Player%20-
%20start%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22container%22%3E%0A%20%20%
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12%20col-md-10%20col-lg-
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video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Findex.html%3Ftoken%3D71e91925352f4443a08e9ab6f61d6ad6%22%20videoId%3
video-
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section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Teoria na prática
Uma das propriedades mais fascinantes do Triângulo de Pascal relaciona o famoso Triângulo de Sierpinski (do departamento dos fractais) com o
aspecto geométrico determinado pela paridade dos números combinatórios.
A 964
B 220
C 792
D 495
E 132
_black
Pesquise em algum navegador o verbete “Sierpinski e o Triângulo de Pascal” e esboce um desenho ilustrativo dessa incrível propriedade com
visualização geométrica sensacional!
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EOs%20elementos%20de%20qualquer%20linha%20do%20Tri%C3%A2ngulo%20de%20Pascal%20s%C3%A3o%20iguais%202%20a%202%
Mostrar solução
Questão 1
Qual o maior elemento da linha correspondente a no Triângulo de Pascal?n = 31
A C 3130
B C 3131
C C 3114
D C 3115
E C 3117
Questão 2
Analisando a soma , podemos concluir, a partir do Triângulo de Pascal, que seu valor é( )+ ( )+⋯+ ( )17
17
18
17
24
17
A ( )25
18
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20propriedade%20de%20soma%20das%20colunas%20responde%20de%20imediato%20%C3%A0%20quest%C3%A3o%3A%3C%2Fp%
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C!--%20Recurso%20Dev%20Image%20-
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%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22container%20px-
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8'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
image%20src%3D%22img%2F22.jpg%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Carlos%20Eddy%20Esaguy%20Nehab%22%20loading%3D%22lazy%22%3
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%
-%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20end%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
( )
18
B ( )24
18
C ( )25
19
D ( )24
17
E ( )25
17
3 - Identidades binomiais especiais
Ao �nal deste módulo, você será capaz de empregar a técnica da Dupla Contagem para a demonstração de identidades
binomiais especiais.
Vamos começar!
Hein? Convolução de Vandermonde?
Assista ao vídeo a seguir para conhecer as principais características da Convulação de Vandermonde.
Técnica da dupla contagem
Estratégia
Identidades com números combinatórios envolvem sentenças matemáticas do tipo , onde, naturalmente, pelo menos ou contém
números combinatórios. Veja alguns exemplos:

A = B A B
Naturalmente, o princípio da indução pode ser uma boa estratégia para justificar igualdades dessa natureza. Mas outra abordagem consiste em
inventar um problema de contagem onde seja possivel encontrar a solução de duas maneiras: uma que nos conduza à expressão , e outra que
nos conduza à expressão .
Já usamos essa estratégia anteriormente, embora sem explicitar o poder de sua aplicabilidade na solução de igualdades binomiais em geral.
Exemplo 1
Mostre que 
Solução
Dado um conjunto , com elementos, sendo um deles, temos:
 : corresponde à quantidade de subconjuntos de com elementos, que incluem o elemento escolhe dentre os
elementos restantes.
 : corresponde à quantidade de subconjuntos de com elementos, que incluem o elemento .
Então, o lado esquerdo, , corresponde à quantidade de todos os subconjuntos de com elementos (os que têm e os que não têm ); mas
isso é exatamente igual a , que representa o total de subconjuntos que podemos formar com dentre os elementos disponíveis .
Exemplo 2
Mostre que 
Solução
Essa identidade já foi justificada, imaginando-se o seguinte problema:
Quantos são os subconjuntos de um conjunto com elementos?
Raciocinamos de duas maneiras diferentes:
Somando a quantidade de subconjuntos com elementos, que facilmente nos leva à expressão do lado esquerdo.
Ou imaginando que podemos escolher ou não (duas alternativas) cada elemento do conjunto para compor ou não seu subconjunto. Daí, pelo
princípio da multiplicação, chegamos à expressão:
A
B
( )+ ( ) = ( )n− 1
p− 1
n− 1
p
n
p
X n x
( )n− 1
p− 1
X p x(n) p− 1
( )n− 1
p
X p x
A A p x x
B p n ( )n
p
( )+ ( )+⋯+ ( )+⋯+ ( ) = 2n.n
0
n
1
n
k
n
n
n
0, 1, 2, 3,… ,n
Rotacione a tela. 
Exemplo 3
Justifique a igualdade a seguir:
Rotacione a tela. 
Solução
Podemos, em um primeiro momento, interpretar os números combinatórios com variando de 1 a 10 , como a quantidade de comissões
formadas a partir de 10 pessoas, com até 10 pessoas. Mas como poderíamos adaptar nosso raciocínio para incluir o multiplicador de
cada um dos números combinatórios da expressão?
Dica
Uma boa ideia é imaginar que, em cada comissão com pessoas, uma delas tenha de ser escolhida como coordenadora. Então, sem dúvida,
teríamos conseguido uma bela interpretação para as expressões e sua soma: qual a quantidade de comissões que podemos formar,
dispondo de 10 pessoas, de tal modo que, em cada comissão, uma das pessoas seja a coordenadora?
Resta-nos justificar o fato de que também podemos calcular o total de comissões como .
Se escolhermos o presidente da comissão antes da formação da comissão, como dispomos de 10 pessoas, podemos escolher, a priori, dentre as 10
pessoas disponiveis, a que vai ser coordenadora.
A seguir, qualquer subconjunto das 9 pessoas restantes (que perfazem possibilidades), junto com o presidente escolhido, comporão as possíveis
comissões, ou seja, pelo princípio da multiplicação, obtemos um total de comissões.
Convolução de Vandermonde
A chamada Convolução de Vandermonde, objetivamente, é a relação combinatória que se segue:
Rotacione a tela. 
Naturalmente, essa relação nos parece uma sopa de letrinhas, se não formos capazes de associá-la a um problema concreto visando, inclusive, usar
a estratégia da dupla contagem.
Analisemos, para criar intuição, a solução do seguinte problema objetivo:
Dispomos de h=6 homens e m=5 mulheres. Quantas são as comissões que podemos formar com c=4 participantes?
Em cada comissão com 4 participantes, podemos utilizar ou 4 homens, e, em cada um desses casos, ou 0
mulheres, respectivamente. Podemos, então, calcular separadamente a quantidade de comissões com ou 4 homens. Veja:
2 × 2 ×…× 2 = 2n
1 ⋅ ( )+ 2 ⋅ ( )+ 3 ⋅ ( )+⋯+ 10 ⋅ ( ) = 10 ⋅ 2910
1
10
2
10
3
10
10
( )10
k
k
1, 2,… k
( )10
k
k
k ⋅ ( )10
k
10.29
29
10 × 29
( ) =
k=p
∑
k=0
( )( )h+m
c
h
k
m
c− k
k = 0, 1, 2, 3 4 − k = 4, 3, 2, 1
k = 0, 1, 2, 3
Mas o total de comissões com participantes, dispondo-se de pessoas, é, naturalmente, . Logo, a relação
proposta é imediata.
Note, portanto, que a Convolução de Vandermonde é imediatamente reconhecida se a identificarmos com o problema de formar comissões com 
pessoas, dispondo-se de homens e mulheres.
Mão na massa
c = 4 h+m ( ) = ( )h+m
c
11
4
c
h m

Questão 1
Qual das relações indicadas é verdadeira?
A ( )+ ( ) = ( )1000
100
1000
101
1001
101
B ( )+ ( ) = ( )1000
99
1000
100
1001
101
C ( )+ ( ) = ( )1000
100
999
101
1001
101
D ( )+ ( ) = ( )1000
99
1000
100
1000
101
E ( )+ ( ) = ( )1000
98
1000
99
1000
100
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EBasta%20perceber%20que%20a%20primeira%20rela%C3%A7%C3%A3o%20corresponde%20%C3%A0%20Rela%C3%A7%C3%A3o%20de
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph'%3EBasta%20perceber%20que%20a%20soma%20de%20todos%20os%20n%C3%BAmeros%20combinat%C3%B3rios%20da%20linha%20cor
Questão 2
Qual a média aritmética de todos os números combinatórios da linha correspondente a no Triângulo de Pascal?n = 31
A 232
B 232/31
C 231/31
D 227
E 226
Questão 3
Observando que , determine o valor de :C n2 =
n(n+1)
2 1.2 + 2.3 + 3.4 +⋯+ 10.11
A 220
B 240
C 340
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EBasta%20perceber%20que%20a%20soma%20desejada%20%C3%A9%20igual%20a%20%5C(2%20%5Ctimes%5Cleft(C_%7B2%7D%5E%7
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%202%20%5Ctimes%20C_%7B3%7D%5E%7B12%7D%3D
D 440
E 540
Questão 4
Calcule , observando que e pensando no número de comissões que podemos
formar com 7 participantes, se dispomos de 7 homens e 7 mulheres.
( )
2
+ ( )
2
+ ( )
2
+⋯+ ( )
2
7
0
7
1
7
2
7
7
( ) = ( )7
k
7
7 − k
A ( )14
5
B ( )14
6
C ( )14
7
D ( )14
8
E ( )14
9
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EBasta%20perceber%20que%20a%20soma%20desejada%20%C3%A9%20equivalente%20%C3%A0%20quantidade%20de%20comiss%C3
paragraph'%3EA%20soma%20dada%20corresponde%20%C3%A0%20contagem%20em%20separado%20das%20comiss%C3%B5es%20com%20%5C(0
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EBasta%20observar%20que%20o%20somat%C3%B3rio%20expressa%20a%20contagem%20do%20total%20de%20comiss%C3%B5es%20
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%20%
paragraph%20c-
table'%3ELogo%2C%20a%20contagem%20direta%20de%20todas%20as%20comiss%C3%B5es%20poss%C3%ADveis%20%C3%A9%20%5C(%5Cleft(%5
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C!--
%20Recurso%20Video%20Player%20-%20start%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22container%22%3E%0A%
items-center%20justify-content-
center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%
12%20col-md-10%20col-lg-
10'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
video-
Questão 5
O somatório pode ser expresso pelo número binomial:∑k=50k=0 ( )( )
100
k
200
50 − k
A ( )300
50
B ( )200
50
C ( )300
100
D ( )300
50
E ( )200
100
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Findex.html%3Ftoken%3D0930ce565e374ad3a04b2bcda7ef4dd4%22%20videoId%3
video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fd
-%20Recurso%20Video%20Player%20-%20end%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20express%C3%A3o%20do%20lado%20direito%20pode%20ser%20dividida%20em%20tr%C3%AAs%20parcelas%3A%20duplas%20co
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20a%20seguir%20para%20entender%20melhor%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20desta%20quest
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C!--
%20Recurso%20Video%20Player%20-%20start%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22container%22%3E%0A%
items-center%20justify-content-
center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%
12%20col-md-10%20col-lg-
10'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Findex.html%3Ftoken%3Deeced35e709c4819b5c509e512fd8d1d%22%20videoId%3
video-
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-%20Recurso%20Video%20Player%20-%20end%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 6
Na igualdade , onde , o lado esquerdo pode ser facilmente justificado, imaginando-se a quantidade de duplas que
podem ser formadas a partir de pessoas disponiveis. Quanto ao lado direito, uma forma de interpretá-la é separando as pessoas em dois
grupos de pessoas cada (por exemplo, homens e mulheres) e interpretar as parcelas e como uma contagem "marota".
Assinale uma possivel interpretação para a parcela :
( ) = 2( )+ n22n
2
n
2
n ≥ 1
2n 2n
n n n ( ),( )n
2
n
2
n2
n2
A O número de duplas que podemos formar só com os homens.
B O número de duplas que podemos formar só com as mulheres.
C O número de duplas que podemos formar com um homem e uma mulher.
D O número de duplas que podemos formar com todas as pessoas.2n
E O número de duplas que podemos formar com quaisquer das pessoas disponíveis.n
_black
Teoria na prática
A propriedade da soma das primeiras linhas de uma dada coluna do Triângulo de Pascal pode ser escrita como:
Uma forma de modelar um problema concreto para obter essa igualdade pode ser a que se segue: dispomos de jogadores de futebol e
desejamos formar times com jogadores. Mas, em cada um dos times, o capitão do time tem de ser o mais experiente de seus jogadores.
Interprete o lado esquerdo da igualdade à luz do contexto criado para modelá-la.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Parabéns! A alternativa A está correta.
s p
( )+ ( )+⋯+ ( ) = ( )p+ 0
p
p+ 1
p
p+ s− 1
p
p+ s
p+ 1
n+ 1
r+ 1
Mostrar solução
Questão 1
Se um conjunto possui 11 elementos, quantos são seus subconjuntos com seis ou mais elementos?
A 1024
B 512
C 256
D 128
E 64
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EComo%20os%20n%C3%BAmeros%20binomiais%20em%20uma%20linha%20s%C3%A3o%20iguais%202%20a%202%20%2C%20e%20h%
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20modelagem%20usual%20da%20Convolu%C3%A7%C3%A3o%20de%20Vandermonde%20imagina%20a%20divis%C3%A3o%20do%
Questão 2
Qual das igualdades indicadas é consequência imediata da Convolução de Vandermonde?
A ( ) = ( )( )+ ( )( )+ ( )( )…+ ( )( )20
5
12
0
9
5
12
1
8
4
12
2
8
3
12
5
8
0
B ( ) = ( )( )+ ( )( )+ ( )( )…+ ( )( )20
5
10
0
15
5
10
1
10
4
10
2
10
3
10
5
10
0
C ( ) = ( )( )+ ( )( )+ ( )( )…+ ( )( )20
5
7
0
12
5
7
1
13
4
7
2
13
3
7
5
13
0
D ( ) = ( )( )+ ( )( )+ ( )( )…+ ( )( )20
5
15
0
5
5
15
1
5
4
15
2
5
3
15
5
5
0
E ( ) = ( )( )+ ( )( )+ ( )( )…+ ( )( )20
5
6
0
15
5
6
1
15
4
6
2
15
3
6
5
15
0
4 - Polinômio de Leibnitz
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car o desenvolvimento de Leibnitz para a potência de um polinômio.
Vamos começar!
Leibnitz generalizando o Binômio de Newton...
Assista ao vídeo a seguir para entender a generalização de Leibnitz do Binômio de Newton.
Generalização do Binômio de Newton
Análise preliminar
O estudo do Binômio de Newton, ou seja, o desenvolvimento de uma potência natural de um binômio:
Rotacione a tela. 
permite determinar todos os termos do polinômio obtido dessa potência.

(a+ b)n
Assim, o desenvolvimento de expressões do tipo ou é obtido de forma sistemática e relativamente simples.
A questão que se coloca, agora, é:
Como generalizar a estratégia usada por Newton para desenvolver uma potência não de um binômio apenas (soma
de duas parcelas), mas de uma soma de mais parcelas?
Por exemplo, como desenvolver uma expressão como 
Usando o mesmo raciocínio desenvolvido para o Binômio de Newton, a expressãodada é equivalente a quatro produtos da , ou seja:
Rotacione a tela. 
Naturalmente, também nesse caso, "devemos multiplicar todo mundo por todo mundo", ou seja, escolher um dos termos ou em cada uma das
parcelas multiplicadas. Isso acarretará parcelas do tipo:
Rotacione a tela. 
e assim por diante.
Ou seja, selecionando em cada uma das 4 parcelas um dos termos ou ou ainda o obteremos sempre monômios do tipo:
Rotacione a tela. 
Onde as quantidades de 's, 's e 's escolhidas são os expoentes e . Logo, a soma desses expoentes deve ser igual a 4 , pois escolhemos
um termo em cada uma das quatro parcelas .
As possibilidades de o valor da soma dos expoentes ser igual a 4 estão explicitadas a seguir, juntamente com o monômio associado.
Note que separamos as situações em que escolhemos "quatro" 's (4 a's), "três" 's "dois" 's, " um" e "nenhum" . Ou seja, os casos em que 
vale ou 0 .
Para 
Monômio
4 0 0
Carlos Eddy Esaguy Nehab
Para 
Monômio
3 0 1
3 1 0
Carlos Eddy Esaguy Nehab
(x2 − 1)5, (2x− y)10 (x3 − 2)8
(a+ b+ c)4?
a+ b+ c
(a+ b+ c) ⋅ (a+ b+ c) ⋅ (a+ b+ c) ⋅ (a+ b+ c)
a, b c
a+ b+ c
a× a× a× a = a4, a× b× b× a = a2b2, a× c× b× a = a2bc
a+ b+ c a b c
aα × bβ × cγ
a b c α,β γ
a+ b+ c
a a′ a a a α
4, 3, 2, 1
α = 4 :
α β γ
a4b0c0 = a4
α = 3 :
α β γ
a3b0c1 = a3c
a3b1c0 = a3b
Para 
Monômio
2 0 2
2 1 1
2 2 0
Carlos Eddy Esaguy Nehab
Para 
Monômio
1 0 3
1 1 2
1 2 1
1 3 0
Carlos Eddy Esaguy Nehab
Para 
Monômio
0 0 4
0 1 3
0 3 1
0 4 0
Carlos Eddy Esaguy Nehab
Então, o desenvolvimento de possui monômios diferentes: desde até .
A questão, agora, é determinar de quantas maneiras diferentes pode ocorrer cada um desses monômios.
Por exemplo, o só pode ocorrer uma vez, ou seja, escolhendo apenas o em cada uma das 4 parcelas ; já o binômio pode ocorrer
de quantas maneiras diferentes?
Veja, há 4 parcelas . Então, há maneiras diferentes de escolher dois 's; para escolher , restam ainda duas parcelas, então, são 
formas diferentes e, finalmente, há uma única parcela ainda disponível para escolhermos um único , ou seja, . Logo, o monômio pode ser
gerado de . Ou seja, o desenvolvimento de conterá a parcela .
De maneira geral, poderemos contar quantas vezes o monômio poderá ocorrer em , da seguinte forma:

α = 2 :
α β γ
a2b0c2 = a2c2
a2b1c1 = a2bc
a2b2c0 = a2b2
α = 1 :
α β γ
a1b0c3 = ac3
a1b1c2 = abc2
a1b2c1 = ab2c
a1b3c0 = ab3
α = 0 :
α β γ
a0b0c4 = c4
a0b1c3 = bc3
a0b3c1 = b3c
a0b4c0 = c4
(a+ b+ c)4 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 a4b0c0 = a4 a0b0c4 = c4
a4 a a+ b+ c a2bc
a+ b+ c C 42 a 1b C
2
1
c C 11 a
2bc
C 42 ⋅ C
2
1 ⋅ C
1
1 =
4!
2!×1!×1! = 12 (a+ b+ c)
4 12a2bc
aα × bβ × cγ (a+ b+ c)n
Escolha de termos : , ou seja, há parcelas para escolher os s.

Escolha de termos , ou seja, há parcelas para escolher termos 's.

Escolha de termos , ou seja, há parcelas para escolher termos 's.
Multiplicando a quantidade das possíveis escolhas de a, b e c’s, obtemos (simplifique):
Rotacione a tela. 
Onde .
Assim, se prosseguirmos nessa análise, obtemos a expressão que se segue. Note que, trocando as letras e entre si, a resposta do
desenvolvimento é a mesma. Por essa razão, os monômios análogos (que só permutam as letras a, b e c) possuem mesmo coeficiente numérico.
Rotacione a tela. 
Desenvolvimento do polinômio
A análise anterior nos permite generalizar o caso da potência de uma soma contendo vários termos, ou seja, obtemos uma expressão para:
Rotacione a tela. 
A análise é inteiramente análoga e obtemos, naturalmente, um polinômio em e com monômios do tipo:
Rotacione a tela. 
Onde .
E o coeficiente de um particular monômio é dado pelas escolhas sucessivas dos a's, 's, c's etc., ou seja:
Rotacione a tela. 
Que resulta em:
α a C nα n a+ b+ c αa
′
β b : C n−αβ n− α a+ b+ c β b
γ c : C
n−α−β
γ n− α− β a+ b+ c γ c
C nα × C
n−α
β × C
n−α−β
γ =
n!
α!β!γ!
α+ β+ γ = n
a, b c
(a+ b+ c)4 =a4 + 4a3b+ 4a3c+ 6a2b2 + 12a2bc+
6a2c2 + 4ab3 + 12ab2c+ 12abc2 + 4ac3+
b4 + 4b3c+ 6b2c2 + 4bc3 + c4
(a+ b+ c+ d+…)n
a, b, c d…
aαbβcγdδ …
α+ β+ γ + δ+⋯ = n
aαbβcγdδ … α β b γ
C nα ⋅ C
n−α
β
⋅ C n−α−βγ ⋅ C
n−α−β−δ
δ
…
Rotacione a tela. 
Podemos então expressar o famoso Polinômio de Leibnitz, ou seja, o desenvolvimento de expressões do tipo:
Rotacione a tela. 
Que pode ser descrito como o somatório:
Rotacione a tela. 
Exemplo 1
Determine o coeficiente de no desenvolvimento de .
Solução
O termo geral do polinômio obtido é:
Rotacione a tela. 
Onde o monômio é igual a:
Rotacione a tela. 
E onde o coeficiente é a soma de todas as parcelas do tipo:
Rotacione a tela. 
Onde 
Então, vejamos, desejamos o coeficiente de com (porque desejamos o coeficiente de ). Logo, a tabela sugere os possíveis
valores de e :
0 0 → 7
n!
α!β!γ!δ!…
(a+ b+ c+ d+…)n
∑
α+β+γ+δ+⋯=n
n!
α!β!γ!δ!…
aαbβcγdδ
x7 (x2 + x+ 1)5
T =
n!
α!β!γ!
aαbβcγ
aαbβcγ
aαbβcγ = (x2)
α
⋅ xβ ⋅ 1γ = x2α+β
n!
α!β!γ!
α+ β+ γ = n = 5
x2α+β 2α+ β = 7 x7
α β
α 2α γ
1 2 → 5
2 4 → 3
3 6 → 1
4 8 -
Carlos Eddy Esaguy Nehab
Mas . Daí, com os valores de e anteriores, podemos verificar o correspondente valor de .
 e não existe.
 e não existe.
 e .
 e .
Logo, o coeficiente de é .
Embora indiscutivelmente trabalhoso, poderemos proceder de forma análoga e calcular o desenvolvimento completo de .
Obteríamos:
Rotacione a tela. 
Mão na massa
α 2α γ
α+ β+ γ = 5 α beta γ
α = 0 β = 7 → γ
α = 1 β = 5 → γ
α = 2 β = 3 → γ = 0 → n!α!β!γ! =
5!
2!3!0! = 10
α = 3 β = 1 → γ = 1 → n!α!β!γ! =
5!
3!1!1! = 20
x7 10 + 20 = 30
(x2 + x+ 1)7
1 + 5x+ 15x2 + 30x3 + 45x4 + 51x5 + 45x6 + 30x7 + 15x8 + 5x9 + x10

Questão 1
Qual o coeficiente de no desenvolvimento como um polinômio na variável ?x3 (x4 + x2 + 1)20 x
A 0
B 1
C 4
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20desenvolvimento%20solicitado%20n%C3%A3o%20pode%20possuir%20nenhuma%20parcela%20com%20expoente%20%C3%ADm
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EBasta%20observar%20que%2C%20em%20qualquer%20polin%C3%B4mio%20em%20determinada%20vari%C3%A1vel%20%5C(x%5C)%2
se%20%C3%A0%20vari%C3%A1vel%20o%20valor%201%2C%20todos%20os%20mon%C3%B4mios%20%5C(x%5E%7Bk%7D%5C)%20se%20tornam%20
C 4
D 9
E 16
Questão 2
Desenvolvendo a potência , obtemos um polinômio na variável , de grau 21 (explique), cuja soma de todos os coeficientes
vale:
(x3 + 2x2 − 3x)7 x
A 17 + 27 + (−3)7
B (1 + 2 − 3)7 = 0
C (1 + 2 + 3)7 = 67
D 21
E 1
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C!--
%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20start%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22container%20px-
0%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D'row%
items-center%20justify-content-
center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%
12%20col-md-10%20col-lg-
8'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
image%20src%3D%22img%2F27.jpg%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Captura%20de%20tela%20Wolframalpha.com%22%20loading%3D%22laz
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fd
-%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20end%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 3
A plataforma WolframAlpha, gratuita, é de extrema utilidade para quem estuda matemática em geral. Permite, com imensa facilidade, seu uso
imediato, por possuir uma interface bastante intuitiva. Ativeo link e veja como solicitar a expansão do polinômio na linha de
comando da plataforma:
Plataforma WolframAlpha.
Agora, use essa plataforma para determinar o coeficiente de no desenvolvimento de :
(x10 + x+ 1)5
x26 (x4 + x)8
A 1
B 8
C 28
D 56
E 70
Questão 4
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EBasta%20observar%20que%20os%20termos%20em%20%5C(x%5E%7B2%7D%5C)%20somente%20podem%20ser%20obtidos%20quand
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cleft(x%5E%7B4%7D%2Bx%5E%7B2%7D%2B1%5
paragraph'%3Eescolhermos%20apenas%20um%20termo%20%5C(x%5E%7B2%7D%5C)%2C%20e%20todos%20os%20demais%20serem%20o%20termo
paragraph'%3EComo%20consequ%C3%AAncia%2C%20resta%20a%20pergunta%3A%20e%20de%20quantas%20maneiras%20podemos%20fazer%20is
Desenvolvendo , determine, sem o recurso de aplicativos, o coeficiente de .(x4 + x2 + 1)10 x2
A 1
B 10
C 55
D 210
E 615
Questão 5
Desenvolvendo , determine, sem o recurso de aplicativos, o coeficiente de .(x8 + 3x4 + 1)10 x8
A 1
B 30
C 210
D 415
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ENote%20que%2C%20multiplicando%2010%20parcelas%20%5C(x%5E%7B8%7D%2B3%20x%5E%7B4%7D%2B1%5C)%2C%20s%C3%B3%
3%22%3EOu%20escolhemos%20apenas%20um%20termo%20%5C(x%5E%7B8%7D%5C)%20dentre%20as%2010%20parcelas%20e%20o%20termo%20
3%22%3EOu%20escolhemos%20dois%20termos%20%5C(3%20x%5E%7B4%7D%5C)%20nas%2010%20parcelas%20e%20nas%20demais%20o%20term
paragraph'%3EPortanto%2C%20o%20coeficiente%20de%20%5C(x%5E%7B8%7D%5C)%20vale%20%5C(10%2B405%3D415%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20
paragraph'%3ESe%20desejar%2C%20confira%20no%20WolframAlpha%2C%20usando%2C%20na%20linha%20de%20comando%2C%20a%20express%
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Ctext%20%7B%20expand%20%7D%5Cleft(x%5E%
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20solu%C3%A7%C3%A3o%20sem%20ferramenta%20digital%20pode%20ser%20obtida%20com%20os%20seguinte%20argumentos%
3%22%3EComo%20h%C3%A1%2020%20maneiras%20diferentes%20de%20escolher%20o%20%5C(x%5C)%20nas%2020%20parcelas%2C%20segue-
se%20que%20o%20coeficiente%20do%20termo%20em%20%5C(x%5C)%20vale%2020%20.%3C%2Fli%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20entender%20a%20solu%C3%A7%C3%A3o%20desta%20quest%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C!--
%20Recurso%20Video%20Player%20-%20start%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22container%22%3E%0A%
items-center%20justify-content-
center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%
E 550
Questão 6
Usando a plataforma WolframAlpha, determine o coeficiente de no desenvolvimento de
A seguir, resolva o mesmo problema sem usar nenhuma ferramenta digital.
x
(1 + x+ x2)
20
− (1 + x− x2)
20
A 0
B 1
C 20
D 40
E 170
12%20col-md-10%20col-lg-
10'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Fhome%3Ftoken%3Dbcb603f8e680408996ebe638d78ac606%22%20videoId%3D%2
video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fd
-%20Recurso%20Video%20Player%20-%20end%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Teoria na prática
Um número trinomial de ordem e fatores , e é um número onde . Este pode ser representado por , e definido por 
.
Pesquise na web esse conceito e determine quantos são os números binomiais de ordem .|
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
_black
n i j k i+ j+ k = n ( )n
i, j, k
( ) = n!i!j!k!
n
i, j, k
n
Mostrar solução
Questão 1
Desenvolvendo a potência , obtemos um polinômio cujo coeficiente do termo em vale:(1 − x+ 5x2)11 x
A 1
B 11
C -11
D 110
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20WolframAlpha%20oferece%20diretamente%20o%20desenvolvimento%20da%20pot%C3%AAncia%20indicada%3A%20%3C%2Fp%
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C!--%20Recurso%20Dev%20Image%20-
%20start%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22container%20px-
0%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D'row%20align-
items-center%20justify-content-
center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class
10%20col-md-10%20col-lg-
10'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
image%20src%3D%22img%2F26.jpg%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Captura%20de%20tela%20Wolframalpha.com%22%20loading%3D%22laz
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
legenda%20mt-3%20ps-
3%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph%20u-
text%22%3EPlataforma%20WolframAlpha.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
-%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20end%20--%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20termo%20geral%20do%20desenvolvimento%20%C3%A9%20dado%20por%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20T%3D%5Cfrac%7Bn%20!%7D%7B%5Calpha%20!%20%5Cbeta
paragraph'%3ELogo%2C%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph'%3EDesejamos%20que%20%5C(4%20%5Calpha%2B%5Cbeta%3D7%5C).%20Ent%C3%A3o%2C%20as%20%C3%BAnicas%20possibilidades%
table%22%3E%5C(%5Calpha%3D0%5C)%20e%20%5C(%5Cbeta%3D7%5C)%20e%2C%20ent%C3%A3o%2C%20como%20%5C(%5Calpha%2B%5Cbeta%2
se%20que%20%5C(%5Cgamma%3D3%5C).%3C%2Fli%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cli%20cla
table%22%3E%5C(%5Calpha%3D1%5C)%20e%20%5C(%5Cbeta%3D3%5C)%20e%2C%20ent%C3%A3o%2C%20como%20%5C(%5Calpha%2B%5Cbeta%2
se%20que%20%5C(%5Cgamma%3D6%5C).%3C%2Fli%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Ful%3E%0A%2
E -110
Questão 2
Qual o coeficiente de no desenvolvimento de x7 (2x4 + x+ 1)10?
A 7
B 45
C 120
D 1680
E 1800
paragraph'%3ELogo%2C%20os%20termos%20em%20%5C(x%5E%7B7%7D%5C)%20s%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%2
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph%20c-
table'%3ELogo%2C%20o%20coeficiente%20final%20de%20%5C(x%5E%7B7%7D%5C)%20vale%20%5C(120%2B1680%3D1800%5C)%20.%3C%2Fp%3E%
Considerações �nais
O estudo dos números combinatórios (ou binomiais) é a base para o aprendizado posterior de inúmeros assuntos associados à probabilidade
básica, fundamentais para engenharia e medicina, em especial. A distribuição binomial, que possui ampla aplicação prática, decorre diretamente da
compreensão do Binômio de Newton, aqui abordado.
Além disso, a técnica da contagem dupla, priorizada, disponibiliza uma extraordinária ferramenta para a demonstração de identidades binomiais. A
utilização da visualização geométrica de diversas propriedades do Triângulo de Pascal facilita sua memorizaçãoindireta, dispensando “decorebas”
desnecessárias.