Sinais Passa-Faixa e Ruído Térmico

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Capítulo 1
Conceitos Básicos
1.1 Sinais Passa-Faixa
1.1.1 Definição
Dizemos que um dado sinal é do tipo passa-faixa, se no domínio da frequência:
Xc(f) = 0 para
{
|f | < fc −W
|f | > fc +W
(1.1)
o que significa que o conteúdo espectral fora da banda de largura 2W centrada em fc é igual a 0. A Fig. 1.1a apresenta o
conteúdo espectral de um sinal passa-faixa.
Figura 1.1: a) Espectro do Sinal Passa-Faixa. b) Espectro de Sinal Passa-Baixa.
1
1.1.2 Envoltória
Consequentemente, o sinal passa-faixa no domínio do tempo é dado por:
xc(t) = aX(t) cos[2πfct+ φX(t)] (1.2)
onde aX(t) ≥ 0 é denominada envoltória e φX(t) é a fase do sinal passa-faixa. De acordo com a propriedade da modulação,
a cossenóide é necessária para que o espectro do sinal fique no entorno da frequência fc.
1.1.3 Componentes em Fase e em Quadratura
Desenvolvendo o cosseno em (1.2), podemos escrever que:
xc(t) = xi(t) cos(2πfct)− xq(t) sin(2πfct) (1.3)
em que xi(t) e xq(t) são denominadas componentes em fase e em quadratura, respectivamente, que são dadas por:
xi(t) = aX(t) cos[φX(t)] (1.4)
xq(t) = aX(t) sin[φX(t)] (1.5)
Enquanto xc(t) é um sinal que varia rapidamente no tempo, os sinais aX(t), φX(t), xi(t) e xq(t) são sinais que variam
lentamente. Esta variação lenta no tempo significa que estes são sinais do tipo passa-baixa, isto é, têm espectro centrado na
frequência de 0 Hz, de acordo com a Fig. 1.1b. Em termos matemáticos, é equivalente dizer que as transformadas de Fourier:
AX(f) = ΦX(f) = Xi(f) = Xq(f) = 0 |f | > W (1.6)
1.1.4 Relações entre as Componentes
A envoltória e a fase podem ser facilmente obtidas a partir das componentes em fase e em quadratura, usando (1.4) e (1.5):
aX(t) =
√
x2i (t) + x
2
q(t) (1.7)
φX(t) = arctan
xq(t)
xi(t)
(1.8)
A transformada de Fourier de (1.3), pode ser facilmente obtida usando-se a propriedade da modulação, ou seja,
Xc(f) =
1
2
[Xi(f − fc) +Xi(f + fc)] +
j
2
[Xq(f − fc)−Xq(f + fc)] (1.9)
onde usamos que sin(x) = cos(x− π/2), que F [xi(t)] = Xi(f) e que F [xq(t)] = Xq(f).
Vamos definir o sinal xpb(t), que denominaremos de equivalente passa-baixa. O seu espectro é apresentado na
Fig. 1.1b e que pode ser obtido a partir do espectro passa-faixa:
Xpb(f) = Xc(f + fc)u(f + fc) (1.10)
Esta operação corresponde ao deslocamento da parte positiva de Xc(f) para a origem com o devido cancelamento da parte
negativa pela função degrau deslocada, u(f + fc). A vantagem em se utilizar Xpb(f) ao invés de Xc(f) é evidenciada na
simulação de sistemas de comunicações passa-faixa. O sinal equivalente passa-baixas requer muito menos amostras para ser
representado que um sinal passa-faixa, diminuindo desta maneira o esforço computacional. Este conceito será reafirmado no
Cap. ?? que trata da amostragem de sinais.
Vamos calcular o espectro do equivalente passa-baixa usando (1.9) em (1.10). Assim,
Xpb(f) =
1
2
Xi(f) +
j
2
Xq(f) (1.11)
onde usamos que Xi(f + 2fc)u(f + fc) = 0 e Xq(f + 2fc)u(f + fc) = 0.
A transformada de Fourier inversa de Xpb(f) é facilmente obtida:
xpb(t) =
1
2
[xi(t) + jxq(t)] (1.12)
2
que de modo geral é um sinal complexo no tempo.
Usando (1.4) e (1.5) em (1.12), podemos obter o sinal equivalente passa-baixa em função da envoltória e da fase, isto
é,
xpb(t) =
1
2
aX(t)e
jφX(t) (1.13)
Finalmente, podemos encontrar a conexão entre xpb(t) e xc(t):
xc(t) = aX(t) cos[2πfct+ φX(t)]
= aX(t)<[ej2πfct+jφX(t)]
= 2<[xpb(t)ej2πfct)] (1.14)
onde usamos (1.13).
A partir de (1.14), pode-se mostrar que o espectro de um sinal passa-faixa é dado por:
Xc(f) = Xpb(f − fc) +X∗pb(−f − fc) (1.15)
onde usamos que <(x) = (x + x∗)/2 e que F [x∗pb(t)e−j2πfct] = X∗pb(−f − fc). O primeiro termo de (1.15) faz um
deslocamento de Xpb(f) de fc para a direita, enquanto que o segundo termo faz um deslocamento de fc para a esquerda.
Exemplo 1 Vamos determinar o equivalente passa-baixa do sinal passa-faixa xc(t) = Ax(t) cos(2πfct + φ), onde x(t) é
um sinal passa-baixa de banda W . Neste caso, usando (1.3) as componentes em fase e em quadratura são dadas por:
xi(t) = A cos(φ)x(t)
xq(t) = A sin(φ)x(t)
Por outro lado, usando (1.7) e (1.8) a envoltória e a fase são dadas por:
aX(t) = Ax(t)
φX(t) = φ
Finalmente, o sinal equivalente passa-baixa usando (1.13) é dado por:
xpb(t) =
1
2
Ax(t)ejφ
♣
1.2 Ruído
1.2.1 Ruído Térmico
Vimos anteriormente que todo resistor produz ruído térmico, devido ao movimento aleatório de uma infinidade de elétrons
livres. Modelando os elétrons por meio de impulsos chegamos à conclusão na Sec. ?? que o ruído térmico tem densidade
espectral de potência plana. O ruído térmico como veremos mais à frente tem banda muito grande, mas não infinita.
Devido ao teorema central do limite temos que o ruído térmico n(t) é um processo aleatório gaussiano. Além disso, o
ruído térmico produzido em resistores é um processo aleatório ergódico.
Um resistor em aberto não pode produzir um valor médio não-nulo, caso contrário haveria geração espontânea de
energia DC. Assim sendo, o valor médio do ruído térmico é igual a:
n = 0 (1.16)
Da mecânica quântica, temos que um resistor R à temperatura ambiente T produz entre seus terminais um processo
aleatório cujo valor quadrático médio, medido em V2, é dado por:
n2 =
2(πkT )2
3h
R (1.17)
onde k = 1, 37× 10−23 J/K é a constante de Boltzmann, h = 6, 62× 10−34 Js é a constante de Planck, e T é a temperatura
ambiente em graus K.
3
A densidade espectral de tensão do ruído térmico, medida em V2/Hz, é dada por:
GN,V (f) =
2Rh|f |
e
h|f|
kT − 1
(1.18)
À temperatura ambiente de 20 C, que corresponde a 293 K, temos que kT ≈ 4 × 10−21. Para baixas frequências,
podemos usar apenas os dois primeiros termos da expansão em série de Taylor da função ex ≈ 1 + x, o que implica que a
densidade espectral de tensão é plana e vale em unidades de V2/Hz:
GN,V (f) = 2RkT (1.19)
A frequência de corte da densidade espectral de tensão do ruído térmico é obtida igualando-se e
h|f|
kT −1 = 2, o que nos
permite concluir que a frequência de corte de 3 dB é igual a fc = kT ln 3/h Hz, ou seja, da ordem de 6, 6 THz à temperatura
ambiente.
A partir do equivalente Thévenin da densidade espectral de tensão mostrado na Fig. 1.2a, podemos obter a densidade
espectral de corrente, dada por:
GN,I(f) =
GN,V (f)
R2
=
2kT
R
(1.20)
O equivalente Norton da densidade espectral de corrente do ruído térmico é apresentado na Fig. 1.2b.
A densidade espectral de potência disponível, dada em [W/Hz], pode ser obtida a partir do equivalente Thévenin, ou
do equivalente Norton, para o caso em que a resistência de carga é casada com o resistor interno do circuito equivalente.
Pode-se mostrar que a densidade espectral de potência disponível é dada por:
GN (f) =
1
2
kT (1.21)
que não depende do resistor, mas somente da temperatura. Na temperatura padrão a densidade espectral de potência disponível
vale 2× 10−21 W/Hz.
Figura 1.2: Equivalentes. a) Thévenin da Densidade Espectral de Tensão. b) Norton da Densidade Espectral de Corrente.
1.2.2 Ruído Térmico Branco e Colorido
O ruído térmico, como vimos anteriormente, possui densidade espectral de tensão, de corrente e de potência planas, todas
com frequência de corte muito alta. Como a frequência de corte destas funções normalmente está muito acima da faixa de
passagem de processos, vamos genericamente escrever a densidade espectral de potência de uma fonte que produz ruído
branco como:
GN (f) =
N0
2
(1.22)
4
isto é, vamos considerar que a densidade espectral de potência é plana na faixa de frequência que vai de −∞ a∞.
O ruído que possui espectro plano em todas as frequência é denominado de branco, em analogia à luz branca que
possui todas as frequências. Para o caso unilateral, ou seja, para o caso em que a frequência varia de 0 a∞, devemos utilizar:
GN (f) = N0 (1.23)
Portanto, a função de autocorrelação é obtida a partir da transformada inversa de Fourier da densidade espectral
bilateral de potência:
RN (τ) =
N0
2
δ(τ) (1.24)
Observe que para duas amostras de ruído separadas de τ 6= 0, a função de autocorrelaçãovale 0. Portanto, duas amostras
deste ruído são descorrelacionadas e como o ruído é gaussiano são estatisticamente independentes.
O valor de N0 depende do tipo de densidade espectral que estamos considerando:
N0 = 4RkT Densidade Espectral de Tensão (1.25)
=
4kT
R
Densidade Espectral de Corrente (1.26)
= kT Densidade Espectral de Potência (1.27)
1.2.3 Temperatura Equivalente de Ruído não Térmico
Outras fontes de ruído que não são térmicas com densidade espectral de potência GN (f), podem ser tratadas como térmicas,
relacionando-se a elas uma temperatura equivalente de ruído, dada por:
TN =
2GN (f)
k
=
N0
k
(1.28)
onde GN (f) = N0/2 é a densidade espectral de potência deste ruído.
1.2.4 Ruído em Sistemas LIT
Vamos colocar ruído gaussiano branco de densidade espectral de potênciaN0/2 na entrada de um sistema LIT. Na saída deste
mesmo sistema teremos um ruído também gaussiano, cuja densidade espectral de potência é dada por:
GY (f) =
N0
2
|H(f)|2 (1.29)
isto é, na saída teremos um ruído colorido com o formato da densidade espectral de potência dado por |H(f)|2.
Além disso, a função de autocorrelação do ruído na saída do sistema LIT é dada por:
RY (τ) =
N0
2
F−1
[
|H(f)|2
]
(1.30)
Finalmente, a potência média na saída do sistema LIT é dada por
y2 =
N0
2
∫ ∞
−∞
|H(f)|2df (1.31)
Exemplo 2 Suponha um sistema LIT na forma de um filtro ideal com ganho unitário e banda B, ou seja, H(f) = ret2B(f).
Vamos colocar na entrada deste filtro, um ruído branco com densidade espectral de potência N0/2. Assim, a densidade
espectral de potência, a função de autocorrelação e a potência média do ruído na saída do filtro são dados por:
GY (f) =
N0
2
ret2B(f)
RY (τ) = N0Bsinc(2Bτ)
y2 = N0B
♣
5
1.2.5 Banda Equivalente de Ruído
Seja um filtro real com função de transferência H(f) e um filtro ideal. A banda equivalente de ruído do filtro real é igual
à banda do filtro ideal que apresenta em sua saída mesma potência que o filtro real, conforme mostra a Fig. 1.3. A banda
equivalente de ruído de um filtro é dada por:
BN =
1
|H(f)|2max
∫ ∞
0
|H(f)|2df (1.32)
Figura 1.3: Banda Equivalente de Ruído.
Desse modo, se colocarmos ruído branco com densidade espectral de potência N0/2 na entrada de um filtro, este
apresentará na sua saída uma potência média dada por:
y2 = N0BN |H(f)|2max (1.33)
Exemplo 3 Considere um filtro passa-baixa de primeira ordem na forma de um circuito RC, que tem resposta em frequência
dada por:
H(f) =
1
1 + j fB
onde B = 1/(2πRC).
O valor máximo da função de transferência é igual a H(0) = 1, assim,
BN =
∫ ∞
0
1
1 + ( fB )
2
df
=
π
2
B
=
1
4RC
onde usamos que
∫∞
0
dx/(1 + x2) = π/2.
♣
1.2.6 Ruído Passa-Faixa
Vamos passar um ruído branco aditivo e gaussiano com densidade espectral de potência igual aN0/2 por um filtro passa-faixa
retangular com ganho unitário e banda B. A densidade espectral de potência do ruído na saída do filtro é igual a:
GN (f) =
N0
2
|H(f)|2 (1.34)
onde |H(f)| = retB(f − fc) + retB(f + fc).
6
O valor médio e a potência do ruído na saída do filtro são dados por:
n = 0 (1.35)
σ2n = N0B (1.36)
pois a potência do ruído é igual à densidade espectral de potência bilateral N0/2 vezes a banda bilateral 2B.
Além disso, podemos expressar o ruído passa-faixa como:
n(t) = ni(t) cos(2πfct)− nq(t) sin(2πfct) (1.37)
onde ni(t) e nq(t) são a componente em fase e em quadratura do ruído, respectivamente.
Enquanto n(t) é um ruído passa-faixa, ni(t) e nq(t) são ruídos passa-baixa, isto é, cujas densidades espectrais de
potência estão no entorno do 0 Hz. Estas componentes são processos aleatórios gaussianos, independentes e estacionários em
conjunto, que satisfazem as seguintes propriedades:
ni(t) = nq(t) = 0 (1.38)
σ2ni = σ
2
nq = σ
2
n (1.39)
ni(t)nq(t) = 0 (1.40)
Através do teorema da modulação podemos escrever que:
GNi(f) = GNq (f) = GN (f + fc)u(f + fc) +GN (f − fc)[1− u(f − fc)] (1.41)
onde GN (f + fc)u(f + fc) significa deslocar a parte positiva do espectro para o entorno do 0 Hz, enquanto que GN (f −
fc)[1− u(f − fc)] significa deslocar a parte negativa do espectro também para o entorno do 0 Hz.
Assim sendo, é fácil mostrar que a densidade espectral de potência das componentes em fase e em quadratura, para
um filtro simétrico em torno de fc, é igual a:
GNi(f) = GNq (f) = N0 para |f | ≤ B2 (1.42)
Podemos ainda expressar o ruído passa-faixa em forma alternativa, através de:
n(t) = an(t) cos[2πfct+ φn(t)] (1.43)
onde an(t) e φn(t) são a envoltória e a fase do ruído, respectivamente.
É fácil mostrar que a envoltória e a fase podem ser obtidas a partir de:
an(t) =
√
n2i (t) + n
2
q(t) (1.44)
φn(t) = arctan
[
nq(t)
ni(t)
]
(1.45)
Ou que as componentes em fase e em quadratura podem ser obtidas através de:
ni(t) = an(t) cos(φn(t)) (1.46)
nq(t) = an(t) sin(φn(t)) (1.47)
Se para qualquer instante de tempo t, ni(t) e nq(t) forem variáveis aleatórias gaussianas com média nula e variância
igual a σ2ni = σ
2
nq = σ
2
n, então as amostras da envoltória an(t) tem PDF Rayleigh e da fase φn(t) tem PDF uniforme entre 0
e 2π.
Não é difícil mostrar que a envoltória apresenta média e valor quadrático médio, dados por:
an(t) =
√
π
2
N0B (1.48)
a2n(t) = 2N0B (1.49)
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