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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS 
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL 
Departamento de Estruturas 
 
 
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA 
 
PROF DR. NILSON TADEU MASCIA 
CAMPINAS, JUNHO DE 2006 (REVISÃO 2017) 
2 
 
Índice 
1.Introdução ............................................................................................................................ 3 
2.Critérios de Resistência Utilizados ...................................................................................... 5 
2.1 Critérios Obsoletos de Resistência ................................................................................... 5 
2.1.1 Critério da maior Tensão Normal (Material Frágil) .................................................... 5 
2.1.2 Critério de Tresca .......................................................................................................... 6 
2.1.3 Critério de Saint Venant ................................................................................................ 8 
2.2 Critérios Usuais de Resistência ...................................................................................... 10 
2.2.1 Representação Gráfica de Mohr (1835-1918) ou Critério de Mohr ........................... 10 
2.2.2 Critério de Coulomb (1736 - 1806) ............................................................................. 11 
2.2.2.1 Critério de resistência para material sem coesão ( c = 0) ......................................... 11 
2.2.2.2 Critério de resistência para material coesivo ( c 0) ............................................... 12 
2.2.3 Critério de Energia de Distorção ................................................................................ 16 
2.2.4 Esquema de Comparação entre as Teorias/Outros Critérios ..................................... 22 
2.2.5 Critério de Nadai ......................................................................................................... 23 
3.Exemplos ........................................................................................................................... 23 
4.Bibliografia ........................................................................................................................ 33 
 
 
3 
 
 
1. Introdução 
 
De um modo geral, uma estrutura deve ter a sua segurança verificada contra diferentes 
estados limites, nos quais ela deixa cumprir suas finalidades existenciais. 
De acordo com o CEB (Comité Européen du Béton), os estados limites são 
classificados da seguinte maneira: estados limites últimos, que são aqueles correspondentes 
ao valor máximo da capacidade de suporte da estrutura, e, estados limites de utilização, que 
decorrem de critérios de utilização normal ou de durabilidade. 
Exemplos de estado limite último: 
 Perda de estabilidade de uma parte ou do conjunto da estrutura assimilada a um corpo 
rígido; 
 Ruptura de seções críticas da estrutura; 
 Transformação de uma estrutura em um mecanismo; 
 Sensibilidade da estrutura aos efeitos de repetições das ações (fadiga). 
Exemplos de estado limite de utilização: 
 Deformação excessiva para uma utilização normal da estrutura; 
 Deslocamento excessivo sem perda do equilíbrio; 
 Vibrações excessivas. 
Essa classificação considera de uma maneira ampla os estados limites que podem ser 
atingidos pelas estruturas, ou por suas partes, como decorrência das ações que sobre elas 
atuam. Ação é definida como qualquer influência ou conjunto de influências capazes de 
produzir Estados de Tensão na Estrutura. 
Um estado limite último ocorre quando a estrutura esgota a sua capacidade de suporte, 
deixando de apresentar as características exigíveis para sua utilização. Nesse caso, surge uma 
deficiência estrutural, caracterizada pelo aparecimento de danos estruturais. 
Um estado limite de utilização existe quando ficar comprometida a durabilidade da 
estrutura ou quando ficar prejudicada a utilização funcional da construção. Não há nesse caso 
danos estruturais que de imediato comprometam a integridade da estrutura ou para utilização 
normal da construção. 
Neste tópico, critérios de resistência, nos interessa o que se estabelece para se 
precaver de um estado limite último, ainda mais em termos de ruptura das seções críticas ou 
por decorrência de estrutura em si. 
Salienta-se agora que eventuais ações conduzem a estrutura à ruptura, para que 
adotemos critérios de segurança para as estruturas. Contudo, pergunta-se: que tipos de ações 
nos interessa ou é de interesse prático. Ou ainda: que tipo de ações solicitam a estrutura 
levando-a a um estado limite último por ruptura do material. 
Por exemplo: a segurança contra a ruptura de uma barra tracionada é julgada pela 
comparação com ensaios de tração feitos de material da barra. Para uma caldeira sujeita a 
tração em duas direções ou eixo de máquina sujeito a flexão e torção, seria incômodo 
identificar para cada combinação o respectivo ensaio. 
Desta maneira, um critério de resistência pretende interpretar tais casos (solicitações 
complexas), partindo apenas de um ensaio simples (tração), ou pelo menos de um número 
restrito de parâmetros do material. 
4 
 
Cada critério de resistência é uma hipótese de julgamento: primeiro discrimina-
se de maneira arbitrária mais plausível, o fenômeno responsável pela ruptura, depois 
tiram-se conclusões à respeito das combinações possíveis de solicitação e finalmente 
verifica-se a veracidade do critério pela comparação entre o comportamento real do 
material em tais casos de ações combinadas e a hipótese básica. 
A variedade dos materiais utilizados na construção não permite adotar um único 
critério. Da vasta gama de critérios para interpretar a ruptura, veremos aqui só aqueles mais 
usuais e recomendados pelo uso prático. 
Certos materiais como o concreto armado (material não homogêneo), a madeira 
(material não isótropo), não se enquadram em nenhum dos critérios conhecidos. Julga-se a 
resistência de uma peça com base em uma série de valores empíricos estabelecidos por 
ensaios e codificados por normas técnicas através de algum método de verificação de 
segurança. 
Diante deste quadro podemos definir como finalidade dos critérios de resistência a 
substituição das normas de cálculo por uma hipótese uniforme de trabalho. O 
desenvolvimento moderno parece tomar rumo no sentido oposto, substituindo os critérios por 
prescrições detalhadas de cálculo, até nos materiais que foram antigamente interpretados 
como homogêneos e isótopos (aço por exemplo). 
5 
 
2. Critérios de Resistência Utilizados 
 
Ao longo da investigação científica em Resistência dos Materiais, encontram-se 
vários critérios de resistências. Descreve-se a seguir aquelas pouco utilizadas, hoje, e dar-se-
á ênfase posterior nos critérios mais utilizados. 
2.1 Critérios Obsoletos de Resistência 
2.1.1 Critério da maior Tensão Normal (Material Frágil) 
 
A teoria da maior tensão normal ou máxima tensão normal (creditada a W. J. M. 
Rankine, 1820-72) estabelece que a ruptura (resistência) de um material ocorre quando a 
máxima tensão normal em um ponto atinge um valor crítico, independente das outras tensões. 
O valor crítico da tensão lim é usualmente determinado por ensaio de tração. A 
evidência experimental indica que essa teoria se aplica bem aos materiais frágeis em todas 
as faixas de tensão, contanto que exista uma tensão principal de tração. Este mecanismo falha 
drasticamente para materiais dúcteis, que é acompanhada de grandes deformações, devido 
aos deslizamentos ao longo dos planos de máxima tensão de cisalhamento. 
A teoria da máxima tensão pode ser interpretada em gráfico. 
 
 
Figura 1 - Envoltória de Resistência segundo Rankine 
 
A insuficiência deste critério pode ser demonstrado por um exemplo numérico. 
Seja um estado de tensão com os seguintes componentes: Quer se quantificar a 
segurança? 
x= 
y=0 
xy= 
max= 1=
x+ y
2
+
x- y
2
2
+ xy2 
 
Se: 
=5,2 kN/cm2 
=7,5 kN/cm2 
6 
 
max=10,6 kN/cm
2 
 
E o material tem limite admissível deadm= =14 kN/cm
2. 
max= 2
+
2
4
+ 2 
 
Conclusão: Tem-se que 14/10,6 = 1,32, que é o quanto o material ainda está trabalhando 
“folgado” em termos de tensão admissível (segurança). Portanto um critério muito 
conservador às vezes é perigoso (lado próximo e menor que ). 
2.1.2 Critério de Tresca 
 
O critério da maior tensão de cisalhamento, ou máxima tensão de cisalhamento (ou 
Tresca, 1868) deu, na época, a melhor interpretação do comportamento de materiais dúcteis 
até surgir o critério da energia de distorção a ser visto. 
 Este critério resulta na observação de que num material dúctil, durante o escoamento 
ao longo dos planos criticamente orientados, ocorre um deslizamento entre as superfícies. 
Isso sugere que a tensão de cisalhamento máxima executa um importante papel e admite-se 
que o escoamento do material dependa apenas da máxima tensão de cisalhamento alcançada 
no interior do elemento. 
Dessa maneira sempre que um valor crítico cr é atingido inicia-se o escoamento do 
material. 
Para um dado material, esse valor é usualmente feito igual à tensão de cisalhamento 
no escoamento em tração simples ou compressão. Assim: 
max=
x- y
2
2
+ xy2 
 
Se x = 1 0, y = xy = 0 (caso linear) 
max= cr= ±
1
2
=
esc
2
=
fy
2
 
 
Este valor significa que, por exemplo, num ensaio de tração se esc é encontrado no 
ponto de escoamento, a tensão máxima de cisalhamento é metade daquele valor. (Círculo de 
Mohr). 
Se: 
x= 1 x= 2 e xy=0 
 
Outros estados são possíveis. 
Analisaremos dois casos: 
 
a) 1 e 2 > 0 e 3 = 0 
 
Mostrando-se no círculo de Mohr 
7 
 
 
Figura 2 - Círculo de Mohr para o caso A 
 
Na figura 3 estão indicado s os planos de deslizamento. 
 
Figura 3 - Planos de deslizamento 
 
b) 1 > 0 e 2 < 0 e 3 = 0 
 
Figura 4 - Círculo de Mohr para o caso B 
 
8 
 
Na figura 5 está indicado os planos de deslizamento 
 
Figura 5 - Planos de deslizamento 
 
Aplicando-se estas considerações a um gráfico tem-se: 
 
 
Figura 6 - Envoltória de Resistência segundo Tresca 
 
Exemplo número (idem anterior). 
x= y=0 e xy= 
2 max= max- min= 1- 2= 2-4 2=15,4 kN/cm
2 
 
Conclusão: Podemos verificar que o critério de Tresca é pessimista porque ultrapassa 
em 13% o limite de adm = 14kN/cm2, enquanto as tensões estão no limite segundo o critério 
da energia da distorção ainda a ser visto. 
2.1.3 Critério de Saint Venant 
 
Finalmente, chegamos ao critério da máxima deformação, ou do maior alongamento 
possível, proposto por Saint Venant (1797 - 1886), baseado na idéia, porém não confirmada 
9 
 
por ensaio, de que o valor max é responsável pela ruptura do material. Admitindo-se que a 
maior tensão seja: 
1>0 
 
Teríamos: 
max= 1=
1
E 1
- ( 2+ 3) 
 
Igualando-se este valor ao caso ideal de tração simples 
1 /E 
 
= 1- ( 2+ 3) rup 
 = adm 
 
No caso particular de: 
x= y xy= e 3=0 
 
Resulta: 
=
1-
2
+
1+
2
2+4 2 
 
Para o aço, =0,3. Numericamente: 
i=0,35×5,20+0,65 5,2
2+4×7,52=12,2 kN/cm2 
 
Observação: 
i=12,2 kN/cm
2<14 kN/cm2 
i= 1- ( 2+ 3) 
 3=0 
i= 1- 2 
1
2
=
x+ y
2
±
x- y
2
2
+ xy2
1
2
=
2
±
1
2
2+4 2 
=
1-
2
+
1+
2
2+4 2 
Conclusão: além do aspecto não evidenciado por ensaios de laboratório, este critério 
erra para o lado perigoso, ou seja, valores próximos e menores que um valor crítico e resulta 
quando comparado com critérios mais praticados ser de maior complexidade de cálculo. 
Graficamente: 
10 
 
 
Figura 7 - Critério de Resistência segundo Saint Venant 
2.2 Critérios Usuais de Resistência 
2.2.1 Representação Gráfica de Mohr (1835-1918) ou Critério de Mohr 
 
Uma primeira informação a respeito das solicitações que produzem ruptura é obtida 
da seguinte maneira: 
Vários corpos de prova de um mesmo material são submetidos a vários tipos de 
solicitação, crescentes até a ruptura. 
As tensões principais encontradas no momento da ruptura são representadas no 
sistema de Mohr desenhando-se os respectivos círculos com diâmetro “ 1- 3”, seguindo a 
convenção ( 1 2 3), como mostra a figura. 
 
Figura 8 - Envoltória de Resistência segundo Mohr 
 
A envoltória de todos os círculos representantes de solicitação de ruptura define uma 
região sem ruptura, ou seja, uma região de segurança, para os círculos de Mohr que 
representarem as tensões principais atuantes numa estrutura. 
A segurança da estrutura mediante a uma envoltória obtida experimentalmente é a 
base do critério de resistência de Mohr. 
 Para certos materiais, a envoltória pode ser dividida em três trechos, 
aproximadamente lineares: 
11 
 
1. Tangente 1 vertical ao círculo correspondente à tração simples que indica a ruptura 
por separação de partes do material; 
2. Parte 2 inclinada, tangente aos círculos de ruptura com escoamento; 
3. Parte horizontal tangente aos círculos que representam escoamento plástico sem 
ruptura. 
Obs.: Nos materiais frágeis, não há o trecho 3. 
Algumas observações podem ser feitas sobre o critério de Mohr: 
 A interpretação gráfica é apenas qualitativa sem pretensão de exatidão. 
 A ruptura fica confinada ao maior diâmetro dos três círculos, ou seja, 1- 2 e 2-
3 estão no interior de 1- 3. Isto implica que 2 não influi no processo de ruptura, 
o que é fisicamente absurdo. 
 O critério de Mohr é aplicado na teoria de ruptura do concreto, onde 2 não é maior 
que as incertezas do estudo da qualidade do material. Este critério é geralmente 
utilizado em materiais de característica tal que fc>ft, ou seja, areia, solo coesivo 
(mecânica dos solos), ferro fundido, concreto e metais não dúcteis (ferro fundido). 
Para materiais dúcteis, teorias mais precisas devem ser utilizadas. 
2.2.2 Critério de Coulomb (1736 - 1806) 
 
O critério de Coulomb interpreta a resistência à ruptura como uma espécie de atrito 
interno do material. O material fica caracterizado por dois parâmetros: 
1. A resistência ao cisalhamento na ausência de tensões normais chamada de 
“coesão” c. 
2. O ângulo de atrito interno . 
Considerando-se dois casos: 
2.2.2.1 Critério de resistência para material sem coesão ( c = 0) 
 
Exemplo: Areia 
A ruptura se dá, conforme Coulomb, quando o vetor de tensão de compressão forma 
com o plano de ruptura um ângulo maior que o ângulo de atrito interno. 
 
Figura 9 - Ângulo Máximo do Vetor Tensão e Região sem Ruptura 
1<0 e 3<0 
 
Calculando-se o maior ângulo possível do vetor de tensão t para o estado de tensão 
1 e 3 tem-se: 
12 
 
sen =
1- 3 /2
1+ 3 /2
 
sen =
3- 1
3+ 1
 
Com: 
tg = max 
 
Enquanto < não haverá ruptura. Com isto tem-se uma região de segurança formada 
pelas retas que fazem um ângulo y com o eixo . Para qualquer estado de tensão em que os 
círculos de Mohr recaiam no interior desta região não haverá ruptura. 
Formulando-se algebricamente o critério tem-se: 
3- 1
3+ 1
sen 
1
3
1-sen 
1+sen 
=tg2 45°-
2
 
2.2.2.2 Critério de resistência para material coesivo ( c 0) 
 
Exemplo: Argila 
Tem-se agora um material com coesão c 0. O critério expressa que o material 
absorvente da tensão cisalhante existe uma parcela igual a c e a ruptura se dá quando o 
ângulo do vetor restante com a superfície de ruptura de tensão t for maior que o ângulo , 
conforme mostra a figura: 
 
Figura 10 - Ângulo do Vetor de Tensão 
 
Na próxima figura, está indicada a envoltória de resistência deste critério, bem como 
a relação entre os parâmetros envolvidos. 
13 
 
 
Figura 11 - Envoltória de Resistência e relação entre os Parâmetros 
 
Os dois parâmetros que caracterizam o material podem ser: 
 e c 
 
Ou: 
Com base nas figuras, podem-se relacionar estes parâmetros. 
 e c 
 
Portanto, se conhece c e y tem-se: 
sen =
ft
2
c
tg -
ft
2
 
ft=
2 ccos
1+sen 
 
sen =
fc
c
tg +
fc
2
 
fc=
2 ccos
1-sen 
 
 
Inversamente se conhece fc e ft tem-se: 
c=
1+sen 
2cos
ft=
1-sen 
2cos
fc 
sen =
fc -ft
fc +ft
 
 
Como a maioria dos estados de tensão na prática são considerados planos, é 
conveniente utilizar outra representação do Critério de Coulomb que é mais perfeitaque a 
representação de Mohr, pois não tem o defeito conceitual do esquecimento do efeito da tensão 
média 2. 
No caso do estado de tensão definido por 3=0 com 1 e 2 podendo assumir valores 
qualquer, a convenção 1 2 3 é abandonada. 
14 
 
Pode-se então representar um estado plano de tensão por um ponto P ( 1 e 2) num 
sistema de coordenadas x = 1 e y = 2. Busca-se a região de segurança destes pontos “P” 
conforme o critério de Coulomb. 
Obs.: Este caso é utilizado para materiais com coesão c = 0, o que implica na 
nulidade das tensões existentes, devido à nulidade de uma das tensões principais, senão 
ocorreria ruptura do material. 
 
Figura 12 - Exemplo do Critério de Coulomb para a areia 
 
Assim, para a areia, casos planos são impossíveis. 
Seja a figura: 
 
Figura 13 - Campo de variação para os círculos de Mohr 
 
Ela repete a representação de Mohr e P ( 1 e 2) pode assumir nos círculos T e C. 
Assim para 1 e 2 positivos vale o círculo T porque 3 = 0 e não permite que este círculo 
avance para a direita. 
Para construção da nova representação gráfica tem-se, neste caso, parte da construção. 
15 
 
 
Figura 14 - Nova Representação para o Critério de Coulomb 
 
Quando 2 assume um valor negativo, 2 = - b, da figura, 1 tem que diminuir com a, 
de acordo com: 
1= 2
1-sen 
1+sen 
a=b
1-sen 
2cos
a=k.b 
k=constante para = 0 
 
Esta proporcionalidade determina a fase dois: 
 
Figura 15 - Envoltória de Resistência para o Critério de Coulomb 
 
O contorno c1-c2-c3 fica determinado pelo círculo c. 
Assim: 
a+c= t=ft 
b+c
2 -
ft
2
b+c
2 -c+
ft
2
=sen =
b+c-ft
b-c+ft
=
b-a
b+a
=sen 
 
16 
 
Exemplo de aplicação 
a=
b(1-sen )
(1+sen )
 
Seja uma viga de ferro fundido com: adm,t=4 kN/cm2 e adm,c = -8kN/cm2. 
Valores de norma ou de ensaios de laboratório. 
Considerando um estado de tensão: 1 = - 7 kN/cm2, 2 = -6 kN/cm2. Pergunta-se: É 
admissível este estado de tensão? Ainda num outro ponto, o estado de tensão é: 1 = 3 
kN/cm2, 2 = -4 kN/cm2 ( 3 = 0), é impossível também? 
 
Solução: 
Construindo-se o diagrama de ( 1 e 2) conforme asegunda representação do critério 
de Coulomb tem-se: 
 
Figura 16 - Verificação gráfica dos estados de tensão 
 
P1
1< adm,c
2< adm,c
 P2
1< adm,t
2< adm,c
 
(*) Ponto P1 (-7,-6) 3º quadrante dentro da região admissível: estado de tensão 
possível 
(*) Ponto P2 (3,-4) 4º quadrante fora do quadrante admissível: estado de tensão 
não possível 
2.2.3 Critério de Energia de Distorção 
 
Autores: E. Beltrami (1885); Mt. Iluber (1904), R. Von. Mises (1913), H. Hencky 
(1925). 
Em primeiro lugar, o nome dado a este critério decorre de um fenômeno que podemos 
explicar mais tarde quando estudarmos os conceitos da energia de deformação. 
Este critério tem grande aceitação para materiais dúcteis e isotrópicos. Exemplo: Aço 
doce. Uma particularidade dos materiais dúcteis está nos valores próximos (encontrados em 
ensaios de laboratórios) da resistência à compressão e a resistência à tração simples: fc = ft. 
Neste método, a energia elástica total é dividida em duas partes: uma associada com 
as mudanças volumétricas do material, e outra causando distorções (forma) de 
17 
 
cisalhamento. Igualando a energia de distorção (de cisalhamento) no ponto de escoamento 
à tração simples, com aquela sob tensão combinada, fica estabelecido o critério de 
escoamento para tensão combinada. 
Dedução da expressão para a compressão para a condição de escoamento com 
tensão combinada: 
Primeiramente deve ser empregado o procedimento do estado geral de tensão. Este se 
baseia no conceito da superposição de efeitos. Considerando-se um estado da tensão: 1, 2, 
3, tensões principais. 
Fazendo-se: 
ij=
11 0 0
0 22 0
0 0 33
 com 
11= 1
22= 2
33= 3
 
m=
11+ 22+ 33
3
=
1+ 2+ 3
3
 
 
A tensão ij pode ser considerada como superposição de dois estados de tensão: 
m 0 0
0 m 0
0 0 m
 e 
11- m 0 0
0 22- m 0
0 0 33- m
ij d
 
 
 Sendo ij d chamado de “tensor” tensão desviatória de distorção. Assim, tem-se: 
ij m ij d
 
 ij= ij d+ m ij 
 
Sendo ij chamado de delta de Kroecker e vale: 
ij=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
ij=1 i=j
ij=0 i j
 
 
Pode-se mostrar esta solução através do seguinte esquema 
 
Figura 17 - Superposição dos Estados de Tensão 
 
Uma associação com tração simples pode ser feita com a esquematização: 
18 
 
 
Figura 18 - Superposição dos Estados de Tensão 
 
Nota-se que ij consiste em tração e compressão simples em planos mutualmente 
perpendiculares, que é equivalente ao estado de cisalhamento puro. Este estado de tensão não 
produz variações volumétricas, mas apenas variações de forma ou distorções. 
Feita a base de cálculo para solução ou decomposição do estado de tensão em 
componentes de dilatação e distorção, pode-se achar a parcela da energia de deformação 
devido à distorção. 
Colocando-se a expressão da energia de deformação (que será vista) tem-se: 
Utotal=
1
2E x
2+ y
2+ z
2 -
E x y
+ y z+ z x +
1
2G xy
2+ yz
2+ zx
2 
 
num sistema de eixos x, y, z. 
Para tensões principais, tem-se: 
xy y x 
 
Assim, a expressão anterior fica: 
Utotal=
1
2E 1
2+ 2
2+ 3
2 -
E 1 2
+ 2 3+ 3 1 
 
Fazendo-se: 
1= 2= 3=p 
 
E: 
1+ 2+ 3
3
=p 
 
Tem-se: 
Udil=
1
2E
3p2 -
E
3p2 =
3
2E
1-2 p2 
Udil=
1-2
6E
( 1+ 2+ 3)
2 
 
Fazendo-se Utotal - Udil = Udist, e sabendo-se que G=
E
2
(1+ ) tem-se: 
 
Udist=
1
12G
( 1- 2)
2+( 2- 3)
2+ 3- 1
2 -A (A) 
 
19 
 
Da hipótese: a energia de distorção deve ser igual à máxima energia de distorção na 
tração simples. Sabendo-se que esta condição ocorre com a tensão de escoamento e a energia 
de distorção, neste caso, vale: 
 
U*dist=
2 2esc
12G
 1= sec, 2= 3=0 (B) 
 
Fazendo-se A = B tem-se: 
( 1- 2)
2+( 2- 3)
2+ 3- 1
2= esc
2 
 
(Equação de um cilindro) 
esc= i=
1
2
( 1- 2)
2+( 2- 3)
2+ 3- 1 2 
Para o estado plano de tensão 3 tem-se: 
1
esc
2
-
1
esc
×
2
esc
+
2
esc
2
=1 
 
Esta é uma equação de uma elipse, mostrada abaixo: 
 
 
Figura 19 - Região de segurança para o critério de Von Mises 
 
Observações: 
É importante observar que a teoria da Energia de Distorção não provoca alteração se 
adicionarmos tração ou compressão hidrostática ( 1 = 2 = 3). Isto se deve ao fato de apenas 
as diferenças de tensões ( 1 - 2), ( 2 - 3), ( 3 - 1), estão envolvidas nas expressões regentes 
deste critério. Pensando num círculo de Mohr tem-se: 
20 
 
 
Figura 20 - Análise Gráfica da Influência de Compressão Hidrostática 
 
Se as tensões principais começarem a variar há perigo do material sair da zona de 
segurança, pois ao estado hidrostático somou-se um estado desviatório de tensão. Obs.: 
Algebricamente está se somando uma constante a cada uma das tensões existentes, o que não 
altera o valor crítico de escoamento. 
Como visto, na equação com ( 1, 2, 3) no espaço tridimensional, a superfície de 
escoamento é um cilindro cujo eixo tem os cossenos, diretores iguais a . Assim, 
considerando-se: {e1,e2,e3} - base de um espaço vetorial, vetores unitários 1.i., t o vetor total 
de tensões: t ( 1, 2, 3), portanto: 
t= 1e1+ 2e2+ 3e3 
 
 
Figura 21 - Representação Gráfica dos Vetores de Tensão 
 
E n: vetor unitário com os cossenos diretores: 
cos =cos =cos cos2 +cos2 +cos2 =1 
 
21 
 
h: parcela hidrostática 
d: afastamento do vetor total 
d=t-h 
 
Obs.: 
a1.a2= a1 . a2 cos 
a1=(x1,x2,x3) 
a1 = x12+x12+x12 
 
Sendo: 
d = ij=tensão desviatória 
 n=cos e1+cos e2+cos e3 
cos = cos = cos =cos 
 n = cos e1+e2+e3 
n = n.n=cos ( 3)=1 cos =
1
3
=
3
3
 
 
A próxima figura mostra tal situação: 
 
Figura 22 - Representação Tridimensional do Critério de Von Mises 
 
A figura em questão nada mais é que a interpretação deste cilindro com o plano 1-
2. Outro fato importante é que o critério de Tresca está contido na elipse de escoamento do 
critério da energia da distorção. 
Pode-se também observar que a condição de escoamento deste critério é outro 
invariante das tensões. Este critério é denominadoCondição de Escoamento de Huber-
Hencky Mises ou simplesmente Von Mises. 
Caso prático: 
Da condição: 
( 1- 2)
2+( 2- 3)
2+ 3- 1
2 2 esc
2 
 
Para o seguinte estado de tensão (caso plano com 3 = 0), resulta: 
22 
 
1
2
=
2
+
2
4
+ 2 
x= y xy= (viga) 
 
Chamando x esc ou para certos casos i adm, sendo i a tensão ideal que é 
comparada com a tensão de ruptura à tração simples ou à tensão admissível, tem-se: 
1= 2+3
2 
 
Caso de uma viga: 
Exemplo comparativo com outros critérios. Seja =5,2 kN/cm2, =7,5 kN/cm2, 
adm= =14 kN/cm2 pelo critério da energia de distorção. 
i= 5,2
2+3×7,52=14,0 kN/cm2 
 
Nota-se que 1 = adm, ou seja, está no limite! 
Conclui-se que este critério para materiais dúcteis é bem refinado, quando comparado 
com os anteriores. 
2.2.4 Esquema de Comparação entre as Teorias/Outros Critérios 
 
Para um ensaio padrão de um cilindro de parede fina, solicitado por pressão interna e 
tração, composto de ferro fundido, cobre e alumínio, tem-se a representação gráfica dos 
critérios apresentada na figura abaixo. 
 
Figura 23 - Representação Gráfica de todos os Critérios Apresentados 
 
Nota-se que existe uma adequação dos materiais não dúcteis e dúcteis as teorias 
vistas. 
23 
 
Outros materiais como concreto, fogem ao escopo deste curso, que seguem teoria de 
Griffith (1920) (teoria da falha das microfissuras). Argamassa armada e madeira (Teoria de 
Weibull) não serão aqui analisadas. 
2.2.5 Critério de Nadai 
 
Foi proposto por Nadai (1925) uma extensão do critério da Energia de Distorção para 
materiais que tenham ft fc. Introduzindo-se a relação , a tensão ideal i a ser 
comparada com a resistência à tração fica: 
( 1- 2)
2+( 2- 3)
2+ 3- 1
2 +2( -1)( 1+ 2+ 3) i i
2 
 
Para: 
t=4kN/cm
2 e c=8kN/cm
2 e Q=1/2 ferro fundido 
1=3kN/cm
2 e 2=-4kN/cm
2 e 3=0 
 
Fornece: 
1=4,06 kN/cm
2 
 
Que comparado com: 
t=4 kN/cm
2 
 
Resulta num critério menos pessimista que o de Coulomb. 
3. Exemplos 
 
Exemplo 01 - Um determinado material segue o critério da energia de distorção e tem os 
seguintes valores para as constantes elásticas: E = 2.000 kN/cm2 e = 0,4. Uma carga axial 
de 1000 kN atuando sobre um corpo de prova cilíndrico de 20 cm de diâmetro apresenta uma 
segurança para 3 colocando o corpo de prova dentro de um cilindro, rígido, vazado, com 
diâmetro interno de (20 + ) cm. Qual é o máximo que se pode admitir? 
 
Solução: 
Inicialmente o CP recebe 1000 kN sem estar envolvido pelo cilindro rígido de forma 
que só atuam tensões axiais (segundo o eixo x). 
24 
 
 
Figura 24 - Corpo de prova: dimensões e carregamento 
 
A=
D2
4
=
202
4
=315cm2 
x=-
1000
315
=-3,2 kN/cm2 
 
Como só atua x então: 
1 2=0 e 3= x= -3,2 kN/cm
2 
 
Aplicando-se nestas condições a expressão de i tem-se: 
i
1
2 3
-0 2= 3
2
2
=3,2
2
2
2,3 kN/cm2 
 i (ruptura)= i i (ruptura)=1,85×2,3 4,2 kN/cm
2 
 
Como se pretende aumentar essa segurança para =3, após colocação do C.P. no 
cilindro, a tensão ideal de ruptura, nessa nova situação deverá ser: 
i (ruptura)=3×2,3 6,9 kN/cm
2 
 
Para isto, o C.P., axialmente comprimido e encostado nas paredes internas do cilindro, 
deverá deslocar-se de , sofrendo deformações y e z iguais. As tensões, no contato entre o 
corpo e o cilindro, por uma vez, serão também iguais. Desta forma: 
z= y=
1
E z
- ( x+ y) = 20
 
 
Com: 
25 
 
x=3,2 kN/cm
2, E=2000 kN/cm2 e =0,4 
100= z-0,4(-3,2+ z) 
z=
100 -1,28
0,6
=166,7 -2,13 
 
Portanto: 
1= 2=166,7 -2,13 
i=6,9
1
2
(0)2+2×(166,7 -2,13+3,2) 
 
Observa-se que para qualquer maior que o valor acima fará a tensão ideal do C.P. 
supere a segurança de 300% ultrapassando a tensão ideal de ruptura. 
 
Exemplo 02 - Verificar a segurança na seção do engastamento nos pontos 1 e 2. O material 
segue o critério da energia de distorção com adm = 1,4 kN/cm2. 
 
Figura 25 - Viga e seção transversal (metade da seção) 
 
Solução: 
Diagramas de cortante e momento fletor: 
 
Figura 26 - Diagramas de V e M 
 
Verificações: 
Ponto 1 
=
VS
bI
=0 
x=
M
I
y=
560
5080
12,7=1,40 kN/cm2 
 
i 
26 
 
1= 2+3
2= 1,402=1,40 kN/cm2 
 
Portanto, o ponto 1 é admissível, ou seja, em segurança segundo esse critério. 
 
Ponto 2 
S=(11,62+0,54)×(1,08×11,8)=154,96 cm3 
=
14×154,96
0,79×5080
=0,54 kN/cm2 
x=
560
5080
11,62=1,28 kN/cm2 
i= 1,28
2+3×0,542=1,54 kN/cm2> adm 
 
Portanto no ponto 2 há ruptura! 
Observação: Vamos calcular o valor da carga F para que não ocorra ruptura. 
V=F e M=40F 
x=
40F
5080
11,62=0,0915 kN/cm2 
=
P×154,96
0,79×5080
=0,0386F kN/cm2 
i= (0,0915F)
2+3×(0,0386F)2=1,40 
F=12,4kN 
 
Exemplo 03 - Os parâmetros que definem a região sem ruptura de um material que segue o 
critério de Coulomb são: 
Coesão: c = 5 kN/cm2 
Ângulo de atrito interno: = 20 
 
Sendo dadas as seguintes tensões de compressão: 
p1=14 kN/cm
2 e p2=80 kN/cm
2 
 
Verificar se o estado de tensão abaixo é de segurança ou não? 
27 
 
 
Figura 27 - Figura Representativa dos Dados do Problema 
 
Solução: 
O estado de tensão será um estado de tensão com segurança se o círculo de Mohr de 
maior diâmetro, correspondente ao mesmo estado de tensão na pior das hipóteses tangenciar 
a envoltória de Coulomb. Caso o círculo saia desta região não estará em segurança. Portanto, 
deve-se verificar o encontro do círculo com a envoltória, se é tangente ou secante. O maior 
círculo de Mohr será de diâmetro. Para o estado de tensão dado tem-se: 
 
 
 
Figura 28 - Representação da Reta da Envoltória e da Circunferência 
 
Outra forma de resolução é por meio da equação da reta da envoltória e da 
circunferência. 
P1 
P2 
28 
 
 
Equação da reta da envoltória 
=a +b 
 
Para descobrir o termo a: 
=0 = c=5 b=5 
 
Para descobrir o termo b: 
tg 20°=
5
d
d=
5
tg 20°
=13,74 
a=-tg20°=-0,37 
 
Assim, a equação fica: 
 =-0,364 +5 (1) 
 
Equação da circunferência 
( -c)2+( - 0)
2=R2 
0=R+ 1 
R=
80-14
2
=33 
0=0 
C=14+33=47 
 ( +47)2+ 2=332 (2) 
 
Substituindo-se 1 em 2, tem-se: 
1,13 2+90,4 +1145=0 
 
Verifica-se agora se este polinômio tem raízes reais ou não. Isto se faz pelo valor de 
=b2-4ac. 
 Se < 0 não tem raízes reais, as curvas não se interceptam e conclui-se que o 
estado de tensão é admissível; 
 Se = 0 tem apenas uma raiz real e implica que as curvas se tangenciam e o 
estado de tensão está na eminência de provocar ruptura; 
 Se > 0 tem duas raízes reais, as curvas se interceptam e o estado de tensão não é 
admissível. 
Neste caso: 
=2980>0 
 
Conclusão: Este estado de tensão romperá o material. 
 
Exemplo 04 - Qual o valor de i para o tubo de parede fina? 
29 
 
 
Figura 29 - Tubo de Parede Fina com Pressão 
 
Dados: 
P = pressão interna 
T < < R (1:10) 
 
Solução: 
i=
1
2
( 1- 2)
2+( 2- 3)
2+ 3- 1 2 
 
Tensão no Tubo: 
 
Figura 30 - Representação Gráfica do Equilíbrio de Forças 
 
dN=pdA
dA=Rd l
dN=pRld 
 
Projeção em y: 
dNy=dNsen 
dNy= en 
Ny= dNy
π
0
= pRlsen d
π
0
 
 Ny=prl -cos +cos0 
Ny=2pRl 
30 
 
ytl=
Ny
2
=
2pRl
2
 
 
Obs.: y é denominada tensão circunferencial. 
 
y=
pR
t
 
Nx=pA=p R
2 
 
 
Figura 31 - Tensões na Direção X 
 
 x(tRd )=2 Rt x
2π
0
 
x=
pR
2t
 
 
Obs.: x é denominada tensão longitudinal 
y> x 
 
 
Figura 32 - Estado Duplo de Tensão num ponto do Tubo 
1
2
=
x+ y
2
±
x- y
2
2
+ xy2 
31 
 
 
Neste caso: 
1= y 
2= x 
 
Análise 1 - Estado Plano de Tensões 
1= y 2= x e 3=0 
1=
1
2
( 1- 2)
2+ 12+ 22 
1=
1
2
2 1
2+2 1 2+2 2
2 
 
Análise 2 - Estado Triplo de Tensões 
i=
1
2
2p2R2
t2
-
2pR
t
×
pR
2t
+
2p2R2
4t2
 
i=
1
2
p2R2
t2
2-1+
1
2
=
1
2
3
2
p2R2
t2
 
i=
pR
2t
3 i=1,73
pR
2t
 
i= y 2= x 3= z=-p 
 
 
Figura 33 - Estado Triplo de Tensão num Ponto do Tubo 
 
i=
1
2
( 1- 2)
2+( 2- 3)
2+ 3- 1 2 
i=
1
2
pR
t
-
pR
2t
2
+
pR
2t
+p
2
+ p+
pR
t
2
 
32 
 
i=
1
2
p2R2
2t2
+
p2R2
t2
+2p2+
3p2R
t2
 
 
i=
1
2
3
2
p2R2
t2
+p2 
 
A parcela que diferencia o estado triplo é: 
F=p2 2+
3Rt
 
 
Se: 
R=10t F=p2 2+
3.10t
t
=32p2 
 
Portanto: 
i=
1
2
300
2
p2+32p2 = 91p2=9,54p 
 
Estado duplo: 
i=8,65p 
 
Conclusão: 
i,2
i,3
=
8,65p
9,54p
0,90 ou seja, 10% 
 
Estado Triplo Estado Duplo 
1
*=p
R
t
=10p 
=10p 
2
*=p
R
t
=5p 2
=5p 
3
*=-p 3=0 
 
33 
 
 
Figura 34 - Representação Gráfica das Tensões pelo Círculo de Mohr 
 
=1200 kgf/cm2=120 MPa 
 
Então: 
i,2=8,65p2 =1200 p2=138,8 kgf/cm
2 139 atm 
i,3=9,54p3 =1200 p3=125,8 kgf/cm
2 126 atm 
 
4. Bibliografia 
POPOV, E. G. - Introdução à Mecânica dos Sólidos. São: Editora Edgar Blumer Ltda, 1978. 
534p. 
SHIEL, F. - Introdução à Resistência dos Materiais. São Paulo: Harpetc & Row do Brasil, 
1984. 395p. 
ZAGOTTIS, D. de - Pontes e Grandes Estruturas: IV - Introdução da Segurança no Projeto 
Estrutural. São Paulo, Escola Politécnica - USP, 1978. 102p. 
UGURAL, A. C. e Fenster, S.K. - Advanced Strength and Applied Elasticity. New York: 
Ensevier Science Publishing Co., 1987. 471p.