EA513-NotasAula-21

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EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 21 
 1 
Esta aula: 
! Sinais senoidais 
! Resposta forçada senoidal 
! Resposta à excitação exponencial 
 
Sinais senoidais 
Vamos tratar a partir de agora o caso em que as 
fontes de tensão ou corrente geram sinais 
senoidais. 
 
Propriedades dos sinais senoidais: 
 
tVtv m ωsen)( = 
mV é a amplitude 
tω é o argumento da função seno 
ω é a freqüência angular. 
 
Quando traçada em função de t, a função 
tVm ωsen tem um período T. Portanto 
 
πω 2=T . 
 
Em cada segundo, portanto, )(tv executa T1 
períodos: portanto, a freqüência é f = 1/T. 
Então: fπω 2= 
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 2 
)(tv
mV
mV−
π
)(tv
mV
mV−
2
T Tπ2 (rad/s)
tω t
)(tv
mV
mV−
π
)(tv
mV
mV−
2
T Tπ2 (rad/s)
tω t
 
 
 
Atraso e avanço: 
 
Forma mais geral: ( )θω += tVtv m sen)( 
 
em que θ é o ângulo de fase. 
 
)(tv
mV−
π π2 tω
( )tVm ωsen
( )θω +tVm sen
θ
)(tv
mV−
π π2 tω
( )tVm ωsen
( )θω +tVm sen
θ
 
 
 
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Note que, partindo do valor 0, o sinal 
( )θω += tVtv m sen)( atinge o valor máximo 
antes do sinal ( )tVtv m ωsen)( = . Daí, dizemos 
que ( )θω += tVtv m sen)( está adiantada de 
( )tVtv m ωsen)( = em θ radianos. 
 
Note que, é correto também dizer que 
( )tVtv m ωsen)( = está adiantada de 
( )θω += tVtv m sen)( em ( )θπ −2 radianos. 
 
Para comparar as fases de duas ondas senoidais, 
as seguintes condições devem ser válidas: 
• Ambas funções escritas como seno ou 
cosseno, 
• Ambas funções escritas com amplitudes 
positivas, 
• Ambas funções terem a mesma freqüência. 
 
Importante: relações entre seno e cosseno: 
( ) !
"
#
$
%
& +=
2
sencos πωω tt ( ) !
"
#
$
%
& −=
2
cossen πωω tt 
 
( ) ( )πωω ±=− tt coscos 
 
( ) ( )πωω ±=− tt sensen 
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Exemplo: Determinar a o atraso entre os sinais: 
( )ottx 105cos5)(1 +−= 
( )ottx 2105sen4)(2 += 
Solução: 
( )
( )
( )
( )
( )o
oo
o
oo
o
t
t
t
t
ttx
2805sen5
901905sen5
1905cos5
180105cos5
105cos5)(1
+=
++=
+=
++=
+−=
 
 
Portanto, )(1 tx está adiantada de )(2 tx 
o70 , que 
equivale à 24,0≈ s. 
0 1 2 3 4-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
t (s)
Am
pl
itu
de
0,24s
x1 x2
 
 
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Resposta Forçada a Funções Senoidais 
 
Vamos agora analisar um circuito RL série 
excitado por uma fonte de tensão senoidal. 
)(ti
R
L
tVtv ms ωcos)( =
)(ti
R
L
tVtv ms ωcos)( =
 
 
Aplicando a LKC, obtemos 
tVRi
dt
diL m ωcos=+ 
 
Procuramos aqui a expressão de )(ti que 
satisfaz tal equação diferencial. No entanto, 
estamos interessados agora apenas na 
componente forçada de )(ti . 
 
Note que: 
Se 0)( =dttdi , então tti ωcos)( ∝ 
Se 0)( =ti , então tdttdi ωcos)( ∝ . 
 
Podemos, portanto, concluir que )(ti deve ter a 
forma 
tItIti ωω sencos)( 21 += 
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Aplicando essa expressão de )(ti na equação 
diferencial, obtemos 
 
( ) ( ) 0cossen 1221 =−+++− tVRILItRILI m ωωωω
 
Como essa equação deve ser verdadeira para 
todo t, temos que fazer 
 
021 =+− RILI ω 
mVRILI =+ 12ω 
 
resultando em 
 
2221 LR
RVI m
ω+
= e 2222 LR
LVI m
ω
ω
+
= 
 
Portanto, finalmente temos 
 
t
LR
LVt
LR
RVti mm ω
ω
ω
ω
ω
sencos)( 222222 +
+
+
= (1) 
 
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Essa expressão não é muito fácil de ser 
visualizada. Vamos tentar escrever )(ti na 
forma ( )θω −tAcos . 
 
Determinação de A e θ 
Vamos começar usando a igualdade 
 
( ) tAtAtA ωθωθθω sensencoscoscos +=− (2) 
 
Igualando (1) e (2), chegamos às igualdades 
 
222cos LR
RVA m
ω
θ
+
= e 222sen LR
LVA m
ω
ω
θ
+
= . 
 
A razão entre ambos termos leva à 
 
→===
R
L
RV
LV
A
A
m
m ωωθ
θ
θ tan
cos
sen 
R
Lω
θ 1tan−= 
 
Por outro lado, a soma dos quadrados dos 
termos leva à 
( ) ( )2222
222
2222
22
2222 sencos
LR
VL
LR
VRAA mm
ω
ω
ω
θθ
+
+
+
=+
 
222 LR
VA m
ω+
= 
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Portanto: 
!
"
#
$
%
& −
+
= −
R
Lt
LR
Vti m ωω
ω
1
222
tancos)( 
 
Note que: 
! A amplitude de )(ti é proporcional à 
amplitude de )(tvs . 
! Chamamos Lω de reatância indutiva. 
! A corrente está atrasada da tensão do 
gerador em ( )RLωθ 1tan−= . 
! A defasagem varia de 0 a o90 : 
• Se 0=ω (tensão contínua), não há 
sentido em falar em fase. 
• Se 0=L (circuito resistivo), então 0=θ . 
• Se 0=R (indutor), então 090=θ . 
 
Portanto, em um indutor, se a convenção de 
elemento passivo estiver satisfeita, a corrente 
está atrasada da tensão em o90 . 
 
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Função forçante complexa 
 
Vamos encontrar um método alternativa de 
análise de circuitos com excitação senoidal, 
mas que empregue relações algébricas entre 
tensão e corrente. 
 
Vimos que uma fonte de uma tensão senoidal 
)(tvS provoca uma corrente )(ti , em algum 
ramo do circuito, de forma senoidal também. 
 
( )φω += tIti m cos)(
( )θω += tVtv mS cos)(
Rede 
genérica
( )φω += tIti m cos)(
( )θω += tVtv mS cos)(
Rede 
genérica
Rede 
genérica
 
 
Vamos agora atrasar a onda do gerador de 
tensão em o90 , ou seja 
 
( ) ( )θωθω +=−+ tVtV mom sen90cos 
 
Podemos esperar que a corrente )(ti observada 
também será atrasada em o90 , ou seja 
 
( ) ( )θωθω +=−+ tItI mom sen90cos . 
 
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Aplicando o princípio da linearidade, se 
multiplicarmos a tensão da fonte por j (isto é, 
por 1− ), teremos: 
 
Fonte: ( )θω +tjVm sen 
Resposta: ( )φω +tjVm sen . 
 
Portanto, temos a seguinte situação: 
 
( )φω +tjIm sen( )θω +tjVm sen Rede 
genérica
( )φω +tjIm sen( )θω +tjVm sen Rede 
genérica
Rede 
genérica
 
 
Aplicando o principio da sobreposição, temos 
 
Fonte: ( ) ( )θωθω +++ tjVtV mm sencos 
Resposta: ( ) ( )φωφω +++ tjVtV mm sencos . 
 
Ou, usando a Identidade de Euler: 
 
Fonte: ( )]exp[ θω +tjVm 
Resposta: ( )]exp[ φω +tjIm . 
 
 
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Vamos agora particularizar o circuito 
representado pelo bloco “Rede genérica”, 
supondo um circuito RL. Vamos supor que a 
entrada tenha a forma 
( )]exp[ θω +tjVm 
enquanto que a saída será na forma 
( )]exp[ φω +tjIm . 
 
Estamos, então, interessados em determinar os 
valores de mI e φ , em função de R, L, ω e mV . 
 
Empregando a equação diferencial do circuito 
RL (sem perda de generalidade, vamos fazer 
0=θ ), temos 
SvRidt
diL =+ 
ou 
( )
( ) ( )tjVtjRI
tjI
dt
dL
mm
m
ωφω
φω
exp]exp[
]exp[
=+
++
 
 
que resulta em 
 
( ) ( )
( )tjV
tjRItjLIj
m
mm
ω
φωφωω
exp
]exp[]exp[
=
+++
 
 
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Removendo o termo em comum tjωexp , temos 
 
m
j
m
j
m VeRIeLIj =+
φφω 
 
Rearranjando, 
LjR
VeI mjm ω
φ
+
= . 
 
Podemos claramente identificar: 
 
222 LR
VI mm
ω+
= e 
R
Lω
φ 1tan−−= 
 
Neste ponto, precisamos lembrar que as tensões 
e correntes do circuito são reais. De fato, 
 
{ } tVtjVtv mmS ωω cos]exp[Re)( == 
e 
( ){ } ( )φωφω +=+= tItjIti mm cos]exp[Re)( . 
 
Portanto, chegamos à 
 
!
"
#
$
%
& −
+
= −
R
Lt
LR
Vti m ωω
ω
1
222
tancos)( 
 
como já havíamos obtido.