EA513-NotasAula-11

Prévia do material em texto

EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 11 
 1 
Esta aula: 
! Dualidade, 
! Linearidade e Principio da Superposição. 
 
Dualidade 
 
Dois circuitos são ditos duais se as equações 
de malhas que caracterizam um deles têm a 
mesma forma matemática das equações nodais 
que caracterizam o outro. 
 
Dois circuitos são ditos duais exatos se cada 
equação de malha de um circuito é 
numericamente idêntica a uma das equações 
nodais do outro circuito. 
 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 11 
 2 
Consideremos o circuito, com um capacitor 
com tensão V10=Cv no instante 0=t . 
 
F8
Ω3
Ω5
H4V6cos2 t
2i1i
V10=Cv
F8
Ω3
Ω5
H4V6cos2 t
2i1i
V10=Cv
 
 
As equações de malha desse circuito são: 
t
dt
di
dt
dii 6cos2443 211 =−+ 
105
8
144
0
22
21 −=+++− ∫
t
idi
dt
di
dt
di
τ . 
 
Para obtermos as equações nodais que são 
exatas duais, substituímos as correntes de malha 
1i e 2i por duas tensões nodais 1v e 2v (com 
relação a uma dada referência): 
t
dt
dv
dt
dvv 6cos2443 211 =−+ (1) 
105
8
144
0
22
21 −=+++− ∫
t
vdv
dt
dv
dt
dv
τ (2) 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 11 
 3 
Vamos construir o circuito cujas equações 
nodais são iguais a essas: 
 
! Termo 13v : corresponde a um resistor de 
resistência Ω31 conectado entre o nó 1 e o 
nó de referência, 
! Termo t6cos2 : indica a presença de uma 
fonte de corrente conectada entre o nó 1 e o 
nó de referência, 
! Termo ∫
t
dv
0
28
1
τ : indutor de 8H conectado 
entre o nó 2 e o nó de referência. 
! Termo 15v : resistor de resistência Ω51 
conectado entre o nó 2 e o nó de referência, 
! Termo 10− : indica uma fonte de corrente de 
10 A saindo do nó 2, que representa a 
corrente do indutor no instante 0=t . 
! Termos comuns às duas equações 
dt
vvd
dt
dv
dt
dv )(444 2121 −=− : Correspondem 
a um capacitor de 4F conectado entre os nós 1 
e 2. 
 
 
 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 11 
 4 
Portanto, o circuito dual exato é: 
 
S3
S5
H8
F4
1v 2v
Ref
Li
S3
S5
H8
F4
1v 2v
Ref
Li
 
 
 
Uma outra forma de construir o circuito dual é 
como segue: 
! Associar a cada malha do circuito um nó 
(exceto o de referência) do circuito dual, 
! Desenhar um nó de referência, 
! Elementos que são comuns a duas malhas 
devem ser conectados entre os dois nós 
correspondentes, 
! Elementos que aparecem em apenas uma das 
malhas devem aparecer no circuito dual 
conectados entre o nó correspondente e o nó 
de referência. 
 
 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 11 
 5 
O circuito obtido pelo procedimento é: 
F8Ω3
Ω5
H4V6cos2 t
F4
S3
A6cos2 t
H8
S5
Referência
F8Ω3
Ω5
H4V6cos2 t
F4
S3
A6cos2 t
H8
S5
Referência
 
 
 
Note que a dualidade é definida com base em 
malhas e nós. Portanto, circuitos não planares 
não possuem duais. 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 11 
 6 
Dualidade – Resumo 
 
tensão corrente 
carga fluxo 
resistência condutância 
indutância capacitância 
curto-circuito circuito aberto 
série paralelo 
nó (exceto o de 
referência) malha 
nó de referência malha externa 
lei de Kirchhoff das 
tensões 
lei de Kirchhoff das 
correntes 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 11 
 7 
Linearidade e Superposição 
 
! Circuitos contendo fontes independentes, 
fontes lineares dependentes, resistores linear, 
capacitores linear e indutores linear são ditos 
lineares. 
 
! Tensões iniciais de capacitores e correntes 
iniciais de indutores devem ser tratadas como 
fontes independentes sob o ponto de vista do 
Princípio da Superposição. 
 
! Ou seja: na aplicação do Princípio de 
Superposição, cada valor inicial e tensão ou 
corrente deve ser colocado inativo por vez.