Cálculo Integral Avaliação On-Line 2 (AOL 2) - Questionário

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QUESTÃO 1 
No estudo de funções compostas, percebemos que é possível a imagem de uma função ser o domínio de 
outra, e a notação que temos para descrever esse tipo de funções é H(x) = f(g(x)). Vimos ao longo do 
curso que existe uma regra para derivar esse tipo de função, chamada regra da cadeia, em que derivamos 
f(g(x)), considerando o argumento g(x) constante, e multiplicamos pela derivada de g(x), isto é, H’(x) = 
f’(g(x))*g’(x). 
Dadas as funções f(x) = sen(5x+2) e g(x) = 3cos(2x+5) e utilizando seus conhecimentos sobre derivadas 
de funções circulares, analise as afirmativas a seguir: 
I. A derivada de g(x) é igual a 6sen(2x+5). 
II. A função H(x) = z(w(x)), onde z(x) = sen(x) e w(x) = cos(2x), tem derivada H’(x) = 
−sen(2x)*cos(cos(2x)). 
III. A derivada de f(x) é igual a 5sen(5x+2)*cos(x). 
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a −6sen(2x)*cos(3cos(2x) + 5). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
RESPOSTA: I e IV. 
 
QUESTÃO 2 
Ter pleno conhecimento do limite fundamental trigonométrico e de como aplicá-lo através de 
manipulações das expressões matemáticas pode salvar muito tempo durante a resolução de exercícios, já 
que nem sempre é prático deduzir todos os resultados decorrentes da manipulação de funções 
trigonométricas, de forma que este limite e a regra de L’Hospital servem como importantes ferramentas 
para resolver limites que recorrem em indeterminações do tipo 0/0 ou infinito/infinito em poucos 
passos. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental trigonométrico e a 
regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir. 
I. O limite de tg(x²)/x, quando x tende a zero, é igual a zero. 
II. A derivada de sen(5x)cos(3x) é 5cos(3x)cos(5x) − 3sen(3x)sen(5x). 
III. O limite de sen(mx)/nx, quando x tende a zero, é igual a m/n. 
IV. A derivada de cos(5x)sen(3x) é 3cos(3x)cos(5x) − 5sen(3x)sen(5x). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
RESPOSTA: I, II e III. 
 
QUESTÃO 3 
A Regra de L’Hospital contribui para a solução de algumas categorias de indeterminações. Com essa 
regra tenta-se resolver o que não é solucionável apenas com a aplicação de um limite. Ela pode ser 
aplicada, também, inúmeras vezes, caso as indeterminações se mantenham, até o momento em que 
cessam. 
Considerando essas informações e com base em seus conhecimentos sobre a regra de L’Hospital, analise 
as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) Indeterminações do tipo 1/0 podem ser resolvidas por essa regra. 
II. ( ) Em determinações do tipo 0/0, pode-se utilizar a regra de L’Hospital. 
III. ( ) Em determinações do tipo infinito/infinito, pode-se utilizar a regra de L’Hospital. 
IV. ( ) A sua aplicação envolve um processo de integralização. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
RESPOSTA: F, V, V, F. 
 
QUESTÃO 4 
De acordo com Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a integral e a derivada são operações 
contrárias. As integrais indefinidas são extremamente importantes para a determinação da função 
primitiva F(x), que é obtida realizando a integração da função de interesse f(x), sendo que, da mesma 
forma, derivando-se a primitiva F(x), obtemos novamente a f(x). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de integrais definidas, analise as 
afirmativas a seguir. 
I. A propriedade define uma regra para integração de polinômios. 
II. As integrais indefinidas podem delimitar várias famílias de respostas para o problema de função 
primitiva. 
III. Uma integral indefinida é delimitada a partir de uma função primitiva. 
IV. é um exemplo de integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
RESPOSTA: I, II e III. 
 
QUESTÃO 5 
A regra de L’Hospital é muito utilizada para tratar de alguns limites específicos. Ela auxilia no 
entendimento de algumas funções e na eliminação de inconsistências, que ocorrem em casos onde, ao 
substituir os valores de x de uma função pelo valor ao qual x tende no cálculo do limite, encontramos 
expressões da forma 0/0, por exemplo. 
Considerando essas informações e os estudos acerca da definição da regra de L’Hospital e suas 
propriedades, analise as afirmações a seguir: 
I. Ela pode ser aplicada inúmeras vezes sobre uma razão se a indeterminação 0/0 ou infinito/infinito 
ainda estiver valendo. 
II. Existem funções que têm a indeterminação, mas o L’Hospital não as resolve. 
III. A regra é aplicada por um processo de derivação. 
IV. L’Hospital elimina quaisquer indeterminações. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
RESPOSTA: I, II e III. 
 
QUESTÃO 6 
Ao estudar cálculo diferencial e integral, vemos que essas duas operações são inversas. Ou seja, tendo 
uma função f(x), a integral de sua derivada f’(x) é a própria f(x). A esta constatação damos o nome de 
Teorema Fundamental do Cálculo. Já fisicamente, a derivada significa uma taxa de variação, ou seja, 
um coeficiente angular de uma reta tangente à curva em um dado ponto da função, enquanto a integral 
representa a área sob a curva do gráfico da função em um intervalo definido. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema Fundamental do Cálculo e as 
propriedades de derivação e integração, analise as afirmativas a seguir. 
I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x² + sen(x) é igual a 4e^(2x) + 6 − sen(x). 
II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x³ + 2 e, após isso, derivarmos a expressão obtida por 9 
vezes, obtemos uma nova função que intercepta o gráfico na origem. 
III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x). 
IV. A integral da função f(x) = x² + 2x + 1 é igual a x³ + 2x² + x. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
RESPOSTA: I, II e III. 
 
QUESTÃO 7 
O cálculo está muito associado com a ideia de zero e do infinito e, para lidar com esses conceitos, 
muitas vezes faz-se uso de instrumentos e temas sofisticados. O próprio limite é um desses conceitos 
referenciados, pois consegue explorar com perfeição a ideia de proximidade e, com isso, proporciona 
inúmeros ganhos ao conhecimento humano, assim como o conceito e instrumento matemático chamado 
de diferencial. 
Considerando essas informações e os estudos sobre o conceito de diferencial, pode-se afirmar que ele é 
relevante porque: 
RESPOSTA: está relacionado com a ideia de infinitésimo. 
 
QUESTÃO 8 
O estudo do Cálculo fornece ferramentas matemáticas importantes para inúmeras áreas do 
conhecimento, principalmente a Física. Ele auxilia no estudo das leis horárias que descrevem 
movimentos de partículas e corpos, possibilitado a integração e derivação de algumas funções, de modo 
a propiciar o descobrimento de uma nova informação. 
Considere que a derivada da equação horária do movimento S’(t) é igual à equação horária da 
velocidade v(t), e a derivada segunda da equação horária do movimento S’’(t) é a equação horária da 
aceleração a(t). De acordo com essas informações e com seus conhecimentos sobre derivação, analise as 
afirmativas a seguir: 
I. A derivada de f(x)*g(x) é igual a 2sen(2x) − cos(x). 
II. A derivada de h(x) é h’(x) = sen(2x). 
III. f’(x) = −cos(x), pois a derivada de cos(x) é −sen(x). 
IV. A derivada de i(x) é i’(x) = 3x² + 2sen(2x) + 9sen(3x). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
RESPOSTA: I, III e IV. 
 
QUESTÃO 9 
O estudo das derivadas permitiu a compreensão de como se dá a inclinação de uma reta tangente a uma 
curva em um determinado ponto e qual a taxa de variação instantânea referente a ele. Somado a isso, em 
algumas situações é preferível que, ao se saber a derivada de uma função desconhecida, realize-se a 
operação inversa a ela, para se descobrir a função que a gerou, chamada função primitiva ou 
antiderivada. 
Considerando essas informações e tendo em vista o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas e 
antiderivadas, analise as afirmativas a seguir. 
I. Se uma função F’(x)= f(x), diz-se que F(x) é uma antiderivada de f(x). 
II. Tomando determinada função, pressupõe-se que esta função tem uma antiderivada. 
III. é uma representação notacional de uma integral indefinida. 
IV. é uma propriedade de uma integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
RESPOSTA: I e III. 
 
QUESTÃO 10 
O conhecimento acerca dos métodos de derivação é muito útil para encontrar retas tangentes e taxas de 
variações. Derivar funções trigonométricas é fundamental para o prosseguimento dos estudos no 
Cálculo, já que existem diversas aplicações reais dos conceitos aprendidos nesta disciplina, como na 
modelagem de sistemas harmônicos simples e de correntes alternadas, por exemplo. 
Considerando essas informações e com base nos seus conhecimentos acerca das derivadas 
trigonométricas, associe as funções a seguir com suas respectivas características: 
1) f(x) = sen(x). 
2) f(x) = cos(x). 
3) f(x) = tg(x). 
4) f(x) = sec(x). 
( ) Sua derivada segunda é f(x)*(-1). 
( ) Sua derivada é 
( ) Sua derivada terceira é sen(x). 
( ) Sua derivada é sec²(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
RESPOSTA: 1, 4, 2, 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
ÁVILA, G. Análise Matemática para Licenciatura. 3ª edição revista e ampliada, Edgar Blucher, São 
Paulo, 2006. 
 
BOYER, C. B. História da Matemática; 3ª edição, Edgar Blucher, São Paulo, 2010. 
 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Vol. 1; 5ª edição, Livros Técnicos e Científicos Editora 
S.A., Rio de Janeiro, 2002. 
 
FLEMING, D. M. & GONÇALVES, M. B. Cálculo A. Vol. 1; 6ª edição, Pearson Prentice Hall, São 
Paulo, 2007. 
 
GRANVILLE, W. A.; SMITH, P. F. & LONGLEY, W. R. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. 
Âmbito Cultural Edições Ltda, Rio de Janeiro, 1961. 
 
STEWART, J. Cálculo. Vol. 1; 6ª edição, Cengage Learning, São Paulo, 2009. 
 
SWOKOWSKI, E. W. Um Curso de Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1; 2ª edição, McGrawHill 
Ltda, São Paulo, 1994.