Cálculo Integral Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário

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1. Pergunta 1 
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As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo cálculo. É por meio delas que se tem 
uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimento de arcos de funções. 
De acordo com seu conhecimento acerca das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir e assinale V 
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) As integrais definidas de interesse para o cálculo de áreas entre curvas podem ser definidas em termos de 
subtrações ou soma de outras integrais. 
II. ( ) A fórmula representa o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de 
rotação em x. 
III. ( ) representa a fórmula para o cálculo do comprimento do arco de uma função. 
IV. ( ) pode ser utilizada para o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de 
rotação y. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
V, V, F, V. 
2. 
V, V, F, F 
3. 
F, F, V, F. 
4. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
5. 
V, F, V, V. 
2. Pergunta 2 
/1 
O método da integração por partes possui fundamental importância no que diz respeito à integração de funções 
mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em 
separar a função em duas partes, de preferência de forma que uma das expressões seja mais fácil de se derivar, e 
a outra, mais fácil de se integrar. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por partes, analise as 
asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a (e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + C. 
Porque: 
II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u = e^x e dv = cos(x)dx, de forma que 
du = (e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a função dada por partes, obtém-se outra expressão com uma integral 
parecida, e novamente é realizada a técnica de integração por partes. Após isso, se isola a integral cujo cálculo é 
desejado para encontrar a primitiva F(x) da função f(x). 
Agora, assinale a alternativa correta: 
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1. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
2. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
Resposta correta 
3. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
4. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
5. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
3. Pergunta 3 
/1 
A escolha de um método de integração para a resolução de uma determinada integral pauta-se na identificação 
dos integrandos presentes nas integrais, ou seja, identificar se eles se tornam mais fáceis de serem resolvidos 
por um método ou outro. Os métodos mais comuns para esse uso são os de substituições trigonométricas, 
frações parciais, integrais por partes e afins. 
Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as afirmativas a seguir: 
I. pode ser resolvida pelo método de frações parciais. 
II. pode ser resolvida pelo método de substituição u du. 
III. é solúvel pelo método das substituições trigonométricas. 
IV. pode ser resolvida pelo método de substituição trigonométrica 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e III. 
2. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
3. 
III e IV. 
4. 
II e IV. 
5. 
II, III e IV. 
4. Pergunta 4 
/1 
Os métodos de integração buscam auxiliar na resolução das integrais, em geral reescrevendo as integrais 
complexas em integrais mais simples e facilmente solucionáveis. 
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos métodos de integração, associe os itens a 
seguir com os significados descritos: 
1) Integração por partes. 
2) Integração por substituição trigonométrica. 
3) Integração por frações parciais. 
4) Integração por substituição u du. 
( ) Método de substituição mais simples, que pode ser utilizado em inúmeros casos de integrais. 
( ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções. 
( ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicais nos integrandos. 
( ) Utilizado para integração de funções racionais. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
2, 1, 3, 4. 
2. 
4, 1, 2, 3. 
Resposta correta 
3. 
1, 2, 3, 4. 
4. 
1, 2, 4, 3. 
5. 
3, 4, 2, 1. 
5. Pergunta 5 
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A integral definida possui diversas interpretações geométricas importantes. A mais simples é a da integral de 
uma função definida em um intervalo, que nos dá o valor da área da região sob a curva. Os intervalos de 
integração da integral definida podem ser manipulados para a resolução dessas integrais de outras maneiras. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral definida e com seus conhecimentos acerca 
dos diversos métodos de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para 
a(s) falsa(s). 
I. ( ) A área delimitada pela curva f(x) = 1/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2. 
II. ( ) Mesmo que a função não seja convergente, é possível calcular sua área dividindo o intervalo em 
subintervalos. 
III. ( ) A área delimitada pela curva h(x) = 2/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2. 
IV. ( ) A força em um deslocamento de 100m é dada por f(x) = x - 50. Sabendo que o trabalho dessa força é 
dado pela integral da força vezes o deslocamento, pode-se dizer que o trabalho dessa força é nulo para esse 
deslocamento. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, F, V. 
Resposta correta 
2. 
V, V, F, F. 
3. 
F, F, V, F. 
4. 
F, V, F, V. 
5. 
V, F, F, F. 
6. Pergunta 6 
/1 
O método da integração trigonométrica possui fundamental importância no que diz respeito à integração de 
funções mais complexas do que as habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em 
substituir um dos termos por uma função trigonométrica, para que se encontre alguma identidade que simplifica 
a expressão, possibilitando a sua integração. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por substituições 
trigonométricas, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A integral de 1/[x²√(x²+4)] é igual a √(x²+4)/4x + C, e pode ser calculada pelo método da substituição 
trigonométrica, por meio da substituição x = 2sec(w). 
Porque: 
II. Consideramos a regra da integração por substituição trigonométrica e com x = 2sec(w), temos que √(x²+4) = 
√[4sec²(w)+4] = √[4(sec²(w)+1), e como sec²(w) + 1 = tg²(w), √(x²+4) = 2tg(w). Substituindo na fórmula inicial 
e integrando, encontramos a expressão dada. 
Agora, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
Resposta correta 
2. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I 
3. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
4. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
5. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
7. Pergunta 7 
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Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os estudantes de Cálculo Integral. 
Esses métodos possibilitam a reescrita de algumas integrais que, sem eles, não seriam resolvidas. Um dos 
métodos importantes de integração é o método conhecido como frações parciais. 
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo com a 
sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método de integração: 
( ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveise efetuar os cálculos dessas integrais. 
( ) Reescrever o denominador da função racional em fatoração polinomial. 
( ) Substituir os valores nas integrais. 
( ) Fragmentar a fração racional em outras frações. 
( ) Encontrar os numeradores de cada uma dessas frações 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
5, 2, 3, 4, 1. 
2. 
3, 4, 2, 1, 5 
3. 
5, 1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
4. 
2, 1, 3, 4, 5. 
5. 
2, 4, 1, 5, 3. 
8. Pergunta 8Crédito total dado 
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As técnicas de integração servem para possibilitar a resolução do cálculo de uma integral indefinida, onde 
muitas vezes não há um passo direto para encontrarmos a primitiva F(x) de uma certa função f(x). Dessa forma, 
dependendo do arranjo algébrico dos termos de f(x), decidimos por diferentes técnicas de integração, como o 
método da substituição, o da integração por partes, o das frações parciais, e etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida pelo método de 
integração por partes e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integral da função f(x) = (x+1)³(x-1) só pode ser calculada pela regra da integração por partes, por se 
tratar do produto de duas funções. 
II. ( ) A técnica de integração por partes é dada pela seguinte fórmula: 
III. ( ) A primitiva de g(x) = ln(x) é G(x) = xln(x) - x + C. 
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = xsen(x) é aproximadamente igual a 6,28. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, V, F, V. 
2. 
F, F, V, F. 
3. 
V, V, F, F. 
4. 
V, F, F, V. 
5. 
F, V, V, V. 
Resposta correta 
9. Pergunta 9 
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Para a resolução de integrais, deve-se saber identificar qual método utilizar pela forma de seus integrandos, ou 
seja, pela forma das funções que estão dentro das integrais. Certos tipos de métodos só são aplicáveis a 
integrandos específicos, como é o caso do método de integração por substituições trigonométricas. 
De acordo com seus conhecimentos sobre o método de integração por substituições trigonométricas, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica. 
II. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica. 
III. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica. 
IV. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, F, V, F. 
2. 
V, V, F, F. 
3. 
F, V, F, V. 
4. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
5. 
V, F, F, V. 
10. Pergunta 10 
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O estudo dos métodos de integração é importante no uso das ferramentas do cálculo por nos possibilitar a 
encontrar uma função primitiva F(x) de uma certa função f(x). Além do método da substituição, outra técnica de 
integração importante é o da integração por partes, na qual tomamos uma função e a separamos em duas partes 
para acharmos sua integral indefinida. 
Considerando f(x) = u e g(x) = v, de forma que f’(x)dx = du e g’(x)dx = dv e de acordo com seus 
conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as afirmativas a seguir. 
I. A Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a derivação. 
II. Integrar por partes significa fazer a integral de u.dv igual a uv menos a integral de v.du. 
III. A técnica da integração por partes corresponde à Regra do Quociente para a derivação. 
IV. Assim como na derivação, existem regras que sempre garantem a obtenção da integral indefinida de uma 
função. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e II. 
Resposta correta 
2. 
II e IV. 
3. 
I, e IV. 
4. 
II e III. 
5. 
I, II e III.