binomial-normal

Prévia do material em texto

Material didático – Profa. Dra. Adriana Barbosa Santos 
 
Exercícios: modelos de distribuições de probabilidade binomial e normal 
 
1. Uma remessa de 800 estabilizadores de tensão é recebida pelo controle de qualidade de uma empresa. São inspecionados 
20 aparelhos da remessa, que será aceita se ocorrer no máximo um defeituoso. Há 80 defeituosos no lote. Qual a 
probabilidade de o lote ser aceito? 
2. Numa cidade, é selecionada uma amostra de 60 adultos e a esses indivíduos é pedido para opinarem se são a favor ou contra 
determinado projeto. Como resultado obtido, observou-se 40 a favor. Se na realidade as opiniões pró e contra são igualmente 
divididas, qual é a probabilidade de ter obtido tal resultado? 
3. Seja 0,2 a probabilidade de o nível de poluição do ar em certa região ultrapassar o limite de segurança. Qual a probabilidade 
de tal ocorrência 7 dias em um mês de 30 dias? Qual o número médio de dias “insalubres”em um mês de 30 dias? 
4. Os carros chegam independentemente a um cruzamento. Supondo que em média, 25% dos carros virem à esquerda e que a 
pista de virada tenha capacidade para 5 carros, qual a probabilidade de a capacidade da pista de virada ser atingida, quando 
10 carros ficam retidos por um sinal vermelho? 
5. A probabilidade de um bem sucedido lançamento de foguete é igual a 0,8. Suponha que tentativas de lançamento sejam 
feitas até que tenham ocorrido 3 lançamentos bem sucedidos. Qual é a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam 
necessárias? E de menos de 6? 
6. Cinco casais compram 10 lugares consecutivos na mesma linha de um teatro. Sentam-se aleatoriamente. Calcule a 
probabilidade de que (a) sentem-se de modo que dois do mesmo sexo, não fiquem lado a lado (b) as mulheres sentem-se 
juntas. 
7. De um lote de produtos manufaturados, extraímos 100 ítens ao acaso; se 10% dos ítens são defeituosos, calcular a prob. de 
12 ítens serem defeituosos. Use aproximação normal. 
8. Um supermercado faz a seguinte promoção: o cliente, ao passar pelo caixa, lança um dado. Se sair face 6 tem um desconto 
de 30% sobre o total de sua conta. Se sair 5 o desconto é de 20%. Se ocorrer face 4 é de 10%, e se ocorrerem faces 1, 2 ou 
3 o desconto é de 5%. 
a. calcular a probabilidade de que num grupo de 5 clientes, pelo menos um consiga um desconto maior que 10% 
b. calcular a probabilidade de que o quarto cliente seja o primeiro a conseguir 30%. 
c. calcular o desconto médio concedido. 
9. Começamos a suspeitar quando um pesquisador de genética seleciona aleatoriamente um grupo de 20 recém-nascidos e 
obtém consistentemente 10 meninos e 10 meninas. O pesquisador explica que é comum obtermos 10 meninos e 10 meninas 
em tais casos. 
a. Selecionados aleatoriamente 20 recém-nascidos, quantas seqüências diferentes de sexo são possíveis? 
b. Qual é a probabilidade de 10 meninos e 10 meninas em 20 crianças selecionadas ao acaso? 
c. Com base nos resultados precedentes, você concorda com a alegação do pesquisador, que é comum se obter 10 
meninos e 10 meninas em uma escolha aleatória de 20 crianças? 
10. Suponha que T a duração até falhar de uma peça, seja normalmente distribuída com média igual a 90 horas e desvio-padrão 
de 5 horas. Quantas horas de operação deverão ser consideradas, a fim de se achar uma confiabilidade de 0,90; 0,95; 0,99? 
11. Suponha que n componentes, que funcionem independentemente, sejam ligados em série. Admita que a duração até falhar, 
de cada componente, seja normalmente distribuída, com média de 50 horas e desvio-padrão de 5 horas. (a) Se n=4, qual a 
probabilidade de que o sistema ainda esteja a funionar depois de 52 horas de operação?(b) Se n componentes forem 
instalados em paralelo, qual deverá ser o valor de n, para que a probabilidade de falhar durante as primeiras 55 horas seja 
aproximadamente igual a 0,01? 
12. O tempo gasto no crescimento de uma massa de pão de batata é uma v.a. normalmente distribuída com duração média de 
30 minutos e desvio padrão de 3 min. Dez amostras da massa de pão de batata são colocadas a descansar ao mesmo tempo. 
Determine: a) qual a probabilidade de pelo menos uma amostra gastar mais de 35 minutos para crescer?b) qual o número 
médio de amostras que gastam mais de 35 minutos para crescer? c) qual a probabilidade de nenhuma amostra gastar menos 
que 22 minutos para crescer? 
13. Suponhamos que o vão de uma porta em construção deve ser utilizado por um tipo de pessoas cujas alturas são normalmente 
distribuídas com média 1,80 m e desvio padrão de 8 cm. Qual a altura mínima do vão da porta para determinar que não mais 
de 2% das pessoas batam com a cabeça na porta? Se o vão da porta tiver 1,90 m de altura, que porcentagem da população 
baterá com a cabeça na porta caso não se abaixe? Encontre os quartis para a altura das pessoas. 
14. Suponha que em um processo de secagem de uvas são utilizadas uvas cuja distribuição é aproximadamente normal com 
média 3,3cm e desvio padrão de 0,3cm. Uma amostra de 50 uvas é selecionada ao acaso e classificada antes de submetidas 
ao processamento da seguinte forma: normal: cujo diâmetro chega até 3,8cm e extra: para uvas com diâmetro acima de 
3,8cm. Determine: (a) qual a probabilidade de serem encontradas pelo menos duas uvas de tamanho extra na amostra? (b) 
se o custo para processar uma batelada de 50 uvas de tamanho normal for de R$2,00 e no caso da extra for de R$2,40, qual 
o custo médio no processamento da batelada? 
15. Numa fábrica, a máquina 1 produz por dia o dobro de peças que a máquina 2. Sabe-se que 4% das peças fabricadas pela 
máquina 1 tendem a ser defeituosas, enquanto 7% de defeituosas são produzidas pela máquina 2. A produção diária das 
máquinas é misturada. Extraída uma amostra aleatória de 20 peças, qual é a probabilidade de que essa amostra contenha: a) 
duas peças defeituosas? b) de duas a quatro defeituosas? 
16. Um industrial tem duas alternativas para a venda de seu produto, que é fornecido em lotes de 500 peças cada. a) O comprador 
A, que paga R$8,00 por peça e não exige nenhum ensaio. b) O comprador B, que, para cada lote recebido, retira uma amostra 
de 10 peças ao acaso e as examina: se todas forem perfeitas, paga R$5000,00 pelo lote; se entre 10 houver uma defeituosa, 
paga R$4000,00 pelo lote; e se entre as 10 houver duas ou mais peças defeituosas, paga apenas R$2500,00 pelo lote. Sabendo 
o industrial ser de 10% a porcentagem de peças defeituosas que produz, qual a melhor alternativa para a venda de seu 
produto? 
17. A probabilidade de um atirador A acertar um alvo é 1/2. A probabilidade de um atirador B acertar o alvo é 1/3. Se cada um 
deles dispara 5 tiros, qual a probabilidade a) de o atirador A não acertar nenhum tiro? b) de o alvo não ser atingido por 
nenhum deles? c) de um único tiro acertar o alvo? 
18. Deseja-se verificar a afirmação de que a porcentagem de cinzas contidas em carvão, produzido por uma certa empresa, 
segue a distribuição normal. Os dados apresentados a seguir representam a quantidade percentual de cinzas encontradas em 
250 amostras de carvão analisadas em laboratório. Verifique se a suposição de de que os dados seguem uma distribuição 
aproximadamente normal parece válida. 
Cinza(%) 9,5-10,5 10,5-11,5 11,5-12,5 12,5-13,5 13,5-14,5 14,5-15,5 15,5-16,5 16,5-17,5 17,5-18,5 
Freq. 3 18 38 51 70 42 28 12 5