pg CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Questão 1
Leibniz foi o matemático responsável por introduzir a notação das integrais definidas que capta a sua construção como um limite das somas de Riemann. Essa notação permitiu que o cálculo das integrais fosse mais simples. Com base em informações sobre o cálculo das integrais definidas, analise os itens que seguem:
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
Assinale a alternativa correta.
A)
 
Apenas os itens II e III estão corretos.
B)
 
Os itens I, II e III estão corretos.
C)
 
Apenas o item II está correto.
D)
 
Apenas o item I está correto.
E)
 
Apenas os itens I e II estão corretos.
Questão 2
O cálculo de integrais duplas em que a região R é do tipo circular é complicado em coordenadas cartesianas, visto que a descrição da região R em coordenadas cartesianas é um tanto quanto trabalhoso. Para regiões do tipo circular pode-se utilizar as coordenadas polares para descreve-las, tornando o processo de integração mais fácil. Logo é necessário fazer corretamente a mudança de coordenadas cartesianas para polares, quando estamos calculando integrais duplas, cujas regiões são mais facilmente descritas em coordenadas polares. Deseja-se calcular a integral dupla da função f(x) = x, sobre sobre a região D.  D é a região do primeiro quadrante contida pelo círculo
Assinale a alternativa que representa corretamente a integral dada em coordenadas polares.
A)
 
B)
 
C)
 
D)
 
E)
 
Questão 3
Uma função de duas variáveis f: R2 → R tem o domínio formado por todos os pontos (x, y) pertencentes ao plano R2, para os quais um valor da função z = f(x,y) pode ser calculado. Com base nessas informações analise a função a seguir
Assinale a alternativa que contém o domínio da função.
A)
 
B)
 
C)
 
D)
 
E)
 
Questão 4
Problemas que envolvam variação de duas ou mais variáveis podem ser analisados utilizando as derivadas parciais. O potencial elétrico no ponto (x,y) é dado por
onde V é dado em volts e x, y cm. Assinale a alternativa que contém a taxa de variação instantânea aproximada de V em relação a distância em (3,0) na direção do eixo x.
A)
 
-50/27.
B)
 
50/81.
C)
 
25/216.
D)
 
-50/81.
E)
 
50/27.
Questão 5
O gradiente de uma função f, é a função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais da função. Com base em informações sobre esse vetor, assinale a alternativa que contém o vetor gradiente da função f(x,y) = 3x + 2y.
A)
 
O vetor gradiente é (2, 3).
B)
 
O vetor gradiente é (0, 0).
C)
 
O vetor gradiente é (0, 2).
D)
 
O vetor gradiente é (3, 2).
E)
 
O vetor gradiente é (3x, 2y)
Questão 6
Em alguns casos resolver uma integral dupla em coordenadas cartesianas é demasiadamente complicado, assim podemos recorrer ao cálculo dessas integrais em coordenadas polares. Logo, é fundamental a identificação da região de integração e da função a ser integrada em coordenadas polares.
Deseja-se calcular a integral
onde D é a região do primeiro quadrante contida no círculo
Assinale a alternativa que representa corretamente a integral dada em coordenadas polares.
A)
 
B)
 
C)
 
D)
 
E)
 
Questão 7
A variação do lucro de uma empresa é dada pela função
Em que t é a dado em anos e L(t) em milhões de reais. Essa empresa passou por mudança na fabricação de algumas peças que gerou imediatamente um lucro de 2 milhões de reais. Com base nessas informações, assinale a alternativa que contém o lucro da empresa, em milhões, daqui a 5 anos.
A)
 
205.
B)
 
150.
C)
 
70.
D)
 
100.
E)
 
302.
Questão 8
A integração por mudança de variável é uma técnica que pode ser aplicada na resolução de problemas que envolvem integrais de funções de uma variável quando existir a possibilidade de associar o integrando a uma primitiva simples e sua derivada direta. Com base em informações analise os itens que seguem.
I- Para o cálculo da integral indefinida da função
pelo método de mudança de variável devemos considerar a função auxiliar 
II- Para o cálculo da integral indefinida da função
pelo método de mudança de variável devemos considerar a função auxiliar
III- Para o cálculo da integral indefinida da função
pelo método de mudança de variável devemos considerar a função auxiliar
Assinale a alternativa correta.
A)
 
Apenas o item I está correto.
B)
 
Apenas os itens II e III estão corretos.
C)
 
Apenas o item II está correto.
D)
 
Apenas os itens I e III estão corretos.
E)
 
Apenas o item III está correto.
Questão 9
Se temos um problema em que é definido uma função de duas variáveis reais e a região de integração podemos calcular a integral dupla correspondente. Considere a função f(x,y) = 4xy e a região retangular R = [0,1]x[1,2]. Assinale a alternativa que contém o resultado da integral dupla da função f(x,y) sobre a região R.
A)
 
5.
B)
 
2.
C)
 
3.
D)
 
4.
E)
 
1.
Questão 10
Além de auxiliar no cálculo de área de regiões sob curvas, as integrais de funções de uma variável real podem ser aplicadas para o cálculo de volume de sólidos de rotação. Assim faz-se necessário a identificação da função a ser integrada e da região de integração. Logo deseja-se determinar o volume da região R delimitada pela curva 
 quando rotacionada em torno do eixo X.
Assinale a alternativa que indica corretamente a integral que deve ser empregada para o cálculo do volume do sólido em questão.
A)
 
B)
 
C)
 
D)
 
E)
 
Questão 11
As integrais de funções de uma variável nem sempre podem ser resolvidas de forma imediata, assim faz-se necessário o uso de técnicas que facilite o processo de integração. Com base nessas técnicas de integração classifique os itens que seguem em verdadeiros (V) ou falsos (F).
( ) Para o cálculo da integral indefinida da função 
 pelo método de mudança de variável devemos considerar a função auxiliar
( ) Para o cálculo da integral indefinida da função
 
pelo método de mudança de variável devemos considerar a função auxiliar
 ( ) Para o cálculo da integral indefinida da função
pelo método de mudança de variável devemos considerar a função auxiliar
 Assinale a alterativa que contém a sequência correta.
A)
 
V-F-V.
B)
 
F-F-V.
C)
 
V-F-F.
D)
 
V-V-F.
E)
 
F-V-F.
Questão 12
Sabe-se que a variação do custo de um determinado produto em relação quantidade é dada pela função
Em que x é a quantidade produzida e C(x) o custo em reais. Considerando que caso não seja produzido nenhuma unidade o custo é de R$11,00, assinale a alternativa que contém o custo aproximado para se produzir 4 unidades desse produto. 
A)
 
R$ 104,60.
B)
 
R$ 64,60.
C)
 
R$ 44,00.
D)
 
R$ 300,00.
E)
 
R$ 200,60.