AD1-A1-2016-2-Gabarito

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Álgebra I
AD1 - Primeira Avaliação a Distância - Aulas 1 a 7
Questão 1: (2, 0 pontos) Identifique o erro na prova do teorema abaixo.
Teorema: A soma de quaisquer dois inteiros pares é igual a 4k para algum inteiro k.
Prova: Suponha que m e n são dois inteiros pares quaisquer. Pela definição de par m = 2k
para algum inteiro k e n = 2k para algum inteiro k. Por substituição, m+n = 2k+2k = 4k,
provando assim o resultado desejado.
Questão 2: (5, 0 pontos) Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove
as que julgar verdadeiras e exiba um contra exemplo para as falsas.
(a) (1, 0 ponto) Para todos inteiros n, 4 (n2 + n + 1)− 3n2 é um quadrado perfeito;
(b) (1, 0 ponto) Para todos inteiros n e m, se n−m é par então n3 −m3 é par.
(c) (1, 0 ponto) A soma de quatro números inteiros consecutivos não é diviśıvel por 4.
(d) (1, 0 ponto) Se um número natural é um quadrado perfeito, então possui uma quantidade
par de divisores naturais (Lembre-se que um número inteiro é um quadrado perfeito quando
sua raiz quadrada é um número inteiro).
(e) (1, 0 ponto) Um número natural é um quadrado perfeito se, e somente se, possui uma
quantidade ı́mpar de divisores naturais.
Questão 3:(1, 5 pontos) Ache a fórmula fechada para a soma
n∑
i=2
1
(i− 1) i
,
para todos os inteiros n ≥ 2 e prove o seu resultado por indução matemática.
Questão 4:(1, 5 pontos) Seja a sequência g0, g1, g2, ... definida como
g0 = 12
g1 = 29
gk = 5gk−1 − 6gk−2, ∀ inteiros k ≥ 2.
Prove por indução matemática que gn = 5 · 3n + 7 · 2n para todos os inteiros n ≥ 0.
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