Introdução ao Cálculo: Limites e Séries

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Cálculo I – Profa. Adriana Cherri 
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Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves 
Limites 
 
O problema da área 
As origens do cálculo remontam à Grécia antiga, pelo menos 2.500 anos atrás, 
quando áreas eram calculadas utilizando o chamado “método da exaustão”. Naquela 
época, os gregos já sabiam encontrar a área de qualquer polígono dividindo-o em 
triângulos e, em seguida, somando as áreas obtidas. 
 
 
 
Para encontrar a área de uma figura curva, o método da exaustão consistia em 
inscrever e circunscrever a figura com polígonos e então aumentar o número de lados 
deles. 
 
 
Se An é a área do polígono inscrito com n lados, à medida que aumentamos n, An 
ficará cada vez mais próxima da área do círculo. Dizemos então que a área do círculo é o 
limite das áreas dos polígonos inscritos, e escrevemos 
 
𝐴 = lim
𝑛→∞
𝐴𝑛 
 
Entretanto, os gregos não usaram explicitamente os limites. 
 
Limite de uma sequência 
O segundo paradoxo de Zenão (filósofo grego – V a.C) diz respeito a uma corrida 
entre o herói grego Aquiles e uma tartaruga para a qual foi dada uma vantagem inicial. 
Zenão argumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga se ele começasse em uma 
posição a1 e a tartaruga em t1, quando ele atingisse o ponto a2 = t1 a tartaruga estaria 
adiante, em uma posição t2. No momento em que Aquiles atingisse a3 = t2, a tartaruga 
estaria em t3. Esse processo continuaria indefinidamente, e, dessa forma, aparentemente a 
tartaruga estaria sempre a frente! Todavia, isso desafia o senso comum. 
 
 
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Uma forma de explicar esse paradoxo usa a ideia de sequência. As posições 
sucessivas de Aquiles e da tartaruga são respectivamente (a1, a2, a3, ...) e (t1, t2, t3, ...), 
conhecidas como sequências. 
Em geral, uma sequência {an} é um conjunto de números escritos em uma ordem 
definida. A sequência {1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
, … } pode ser descrita pela fórmula 𝑎𝑛 =
1
𝑛
. 
Podemos visualizar essa sequência marcando seus termos sobre uma reta real. 
 
 
 
Observe que os termos da sequência an = 1/n tornam-se cada vez mais próximos de 
0 à medida que n cresce. De fato, podemos encontrar termos tão pequenos quanto 
desejarmos, bastando tomarmos n suficientemente grande. Dizemos então que o limite da 
sequência é 0 e indicamos isso por: 
lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0 
 
Em geral, a notação lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 é usada se os termos an tendem a um número L 
quando n torna-se grande. 
As posições sucessivas de Aquiles e da tartaruga formam as sequências {an} e {tn}, 
em que an < tn para todo n. Podemos mostrar que ambas as sequências têm o mesmo 
limite: 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝑝 = lim
𝑛→∞
𝑡𝑛 
 
É precisamente nesse ponto p que Aquiles ultrapassa a tartaruga. 
 
Soma de uma série 
Outro paradoxo de Zenão diz: “Uma pessoa em certo ponto de uma sala não pode 
caminhar até a parede. Para tanto ela deveria percorrer metade da distância, depois a 
metade da distância restante, e então novamente a metade da distância que restou e assim 
por diante, de forma que o processo pode ser sempre continuado e não terá um fim”. 
 
 
 
Como naturalmente sabemos que, de fato, a pessoa pode chegar até a parede, isso 
sugere que a distância total possa ser expressa como a soma de infinitas distâncias cada 
vez menores: 
1 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ ⋯ +
1
2𝑛
+ ⋯ 
 
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Se sn é a soma dos n primeiros termos da série. Temos: 
 
𝑠1 =
1
2
= 0,5 
𝑠2 =
1
2
+
1
4
= 0,75 
𝑠3 =
1
2
+
1
4
+
1
8
= 0,875 
𝑠4 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
= 0,9375 
𝑠5 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
= 0,96875 
... 
𝑠10 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ⋯ +
1
1024
≈ 0,99902344 
... 
𝑠16 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ⋯ +
1
216
≈ 0,99998474 
 
À medida que somamos mais e mais termos, as somas parciais ficam cada vez mais 
próximas de 1. Logo, é razoável dizer que a soma da série infinita é 1. A razão de a soma 
da série ser 1 é que 
 
lim
𝑛→∞
𝑠𝑛 = 1 
 
Entretanto, Zenão argumentava que não fazia sentido somar um número infinito de 
números. 
Porém, há situações em que fazemos implicitamente somas infinitas. Por exemplo, 
na notação decimal, o símbolo, 0, 3̅ = 0,3333 … significa 
 
3
10
+
3
100
+
3
1000
+
3
10000
+ ⋯ 
 
O problema da tangente 
A palavra tangente vem do latim tangens, que significa “tocando”. Assim, uma 
tangente a uma curva é uma reta que toca a curva. Em outros termos, uma reta tangente 
deve ter a mesma direção que a curva no ponto de contato. 
Para um círculo, poderíamos dizer que a tangente é uma reta que intercepta o círculo 
uma única vez. 
 
 
 
Para as curvas mais complicadas essa definição é inadequada. Na figura a seguir, as 
retas, l e t, passam pelo mesmo P em uma curva C. A reta l intersecta (cruza) C somente 
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uma vez, mas certamente não se parece com uma tangente. A reta t, parece ser uma 
tangente, mas intercepta C duas vezes. 
 
 
 
Para compreendermos o problema da tangente, vamos encontrar uma equação da 
reta tangente à parábola y = x2 no ponto que P (1, 1). 
 
Solução: 
Podemos encontrar uma equação da reta tangente t se soubermos sua inclinação m. 
A dificuldade está no fato de conhecermos somente o ponto P, em t, quando precisamos 
de dois pontos para calcular a inclinação. 
Para calcular uma aproximação de m escolhemos um ponto próximo Q (x, x2) sobre 
a parábola e calculamos a inclinação mPQ da reta secante PQ. 
(a palavra secante vem do latim secans, significando corte, é uma linha que corta (intersecta) uma curva 
mais de uma vez.) 
 
 
 
Escolhendo x ≠ 1 para que Q ≠ P, temos 𝑚𝑃𝑄 =
𝑥2−1
𝑥−1
 
 
As tabelas mostram os valores de mPQ para vários valores de x próximos a 1. 
 
x mPQ 
2 
1,5 
1,1 
1,01 
1,001 
1,0001 
3 
2,5 
2,1 
2,01 
2,001 
2,0001 
 
 
 
 
 
x mPQ 
0 
0,5 
0,9 
0,99 
0,999 
0,9999 
1 
1,5 
1,9 
1,99 
1,999 
1,9999 
 
 
 
Quanto mais próximo Q estiver de P, mais próximo x estará de 1 e mPQ estará 
próximo de 2. Isso sugere que a inclinação da reta tangente t deve ser m = 2. 
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Supondo que a inclinação da reta tangente seja 2, podemos escrever a equação da 
tangente no ponto (1, 1) como: 
y – 1 = 2(x – 1) ou y = 2x – 1 
 
Dizemos que a inclinação da reta tangente é o limite das retas secantes. 
Simbolicamente escrevemos: 
 
lim
𝑄 → 𝑃
𝑚𝑃𝑄 = 𝑚 e lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
= 2 
 
Graficamente, podemos observar quando Q se aproxima de P pela direita: 
 
 
 
E pela esquerda: 
 
 
 
O problema da velocidade 
Suponha que uma bola é solta a partir do ponto de observação no alto de uma torre, 
450 m acima do solo. Encontre a velocidade da bola após 5 segundos (no instante 5). 
 
Solução: 
Desprezando a resistência do ar, a distância percorrida por qualquer objeto em 
queda livre é proporcional ao quadrado do tempo de queda. Se a distância percorrida após 
t segundos for chamada s(t) e medida em metros, então: 
 
s (t) = 4,9t 2 
 
A dificuldade em encontrar a velocidade após5 segundos está em tratarmos de um 
único instante de tempo (t = 5), ou seja, não temos um intervalo de tempo. 
Se aproximarmos a quantidade desejada calculando a velocidade média sobre o 
breve intervalo de tempo de um décimo de segundo, a partir de t = 5 até t = 5,1, temos: 
 
Δ𝑚 =
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
⟹
𝑠(5,1) − 𝑠(5)
0,1
=
4,9(5,1)2 − 4,9(5)2
0,1
= 49,49 𝑚/𝑠 
 
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Resultados de cálculos da velocidade média em períodos de tempo cada vez 
menores: 
 
Intervalo de tempo Velocidade média (m/s) 
5 ≤ t ≤ 6 
5 ≤ t ≤ 5,1 
5 ≤ t ≤ 5,05 
5 ≤ t ≤ 5,01 
5 ≤ t ≤ 5,001 
53,9 
49,49 
49,245 
49,049 
49,0049 
 
À medida que encurtamos o período do tempo, a velocidade média fica cada vez 
mais próxima de 49 m/s. 
A velocidade instantânea quando t = 5 é definida como o valor limite dessas 
velocidades médias em períodos de tempo cada vez menores, começando em t = 5. 
Logo, a velocidade (instantânea) após 5 segundos é v = 49 m/s. 
 
 
Limite de uma função – noções intuitivas 
 
Seja f (x) = x2 – x + 2. Analisando o comportamento da função para valores de x 
próximos de 2, temos: 
 
x mPQ 
1 
1,5 
1,8 
1,9 
1,95 
1,99 
1,995 
1,999 
2,000000 
2,750000 
3,440000 
3,710000 
3,852500 
3,970100 
3,985025 
3,997001 
 
x mPQ 
3,0 
2,5 
2,2 
2,1 
2,05 
2,01 
2,005 
2,001 
8,000000 
5,750000 
4,640000 
4,310000 
4,152500 
4,030100 
4,015025 
4,003001 
 
 
 
Pelas tabelas e pelo gráfico de f, vemos que quanto mais próximo x estiver de 2 (de 
qualquer lado de 2, esquerda ou direita), mais próximo f(x) estará de 4. Ainda, podemos 
tornar os valores de f (x) tão próximos de 4, quanto quisermos, ao tornar x suficientemente 
próximo de 2. 
Expressamos isso dizendo que “o limite da função f (x) = x2 – x + 2 quando x tende a 
2 é igual a 4”, ou seja: 
 
lim
𝑥 → 2
(𝑥2 − 𝑥 + 2) = 4 
 
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Intuitivamente, dizemos que “o limite de f (x), quando x tende a a, e igual a L”, se é 
possível tornar f (x) arbitrariamente próximo de L, desde que tomemos valores de x ≠ a, 
porém, suficientemente próximos de a. Então, escrevemos: 
 
lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
No cálculo de um limite, considerar x  a significa que ao procurar o limite de f (x) 
quando x tende a a, nunca consideramos x = a. Na verdade, f (x) não precisas sequer estar 
definida quando x = a. A única coisa que importa é como f está definida próximo de a. 
 
Exercícios: 
1) Estime o valor de lim
𝑥 → 1
𝑥−1
𝑥2−1
. 
 
 
 
 
 
 
 
2) Estime o valor do limite de 𝑔(𝑥) = {
 
𝑥−1
𝑥2−1
, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1
2, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1
. 
 
 
 
3) Estime o valor do limite de 𝑔(𝑡) = {
 0, 𝑠𝑒 𝑡 < 0
1, 𝑠𝑒 𝑡 ≥ 0
. 
 
 
 
 
 
 
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Limites laterais 
Dizemos que o limite à esquerda de ƒ(x) quando x tende a a (ou o limite de ƒ(x) 
quando x tende a a pela esquerda) é igual a L se pudermos tornar os valores de f (x) 
arbitrariamente próximos de L, para x suficientemente próximo de a e x menor que a. 
Escrevemos: 
lim
𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
Analogamente, se for exigido que x seja maior que a, obteremos “o limite à direita 
de ƒ(x) quando x tende a a é igual a L”, e escrevemos: 
 
lim
𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
A notação “x  0–” indica que estamos considerando somente valores de t menores 
que 0. Da mesma forma, “t  0+” indica que estamos considerando somente valores de t 
maiores que 0. 
 
 
 lim
𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 lim
𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
Considerando os limites laterais, temos que lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 se e somente se 
lim
𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim
𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿. 
 
Exercício: 
Utilize o gráfico da função g(x) para estabelecer os valores (caso existam) dos 
limites: 
a) lim
𝑥 → 2−
𝑔(𝑥) 
b) lim
𝑥 → 2+
𝑔(𝑥) 
c) lim
𝑥 → 2
𝑔(𝑥) 
d) lim
𝑥 → 5−
𝑔(𝑥) 
e) lim
𝑥 → 5+
𝑔(𝑥) 
f) lim
𝑥 → 5
𝑔(𝑥) 
 
 
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Limites infinitos 
Definição: Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em 
a. Então 
lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = ∞ 
 
significa que podemos fazer os valores de f (x) ficarem arbitrariamente grandes tomando x 
suficientemente próximo de a, mas não igual a a. 
 
 
Definição: Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em 
a. Então 
lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = −∞ 
 
significa que os valores de f(x) podem ser arbitrariamente grandes, porém negativos, 
tomando x suficientemente próximo de a, mas não igual a a. 
 
 
 
Definições similares são dadas no caso de limites laterais: 
 
lim
𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = ∞ lim
𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = ∞ 
lim
𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = −∞ lim
𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = −∞ 
 
 
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Definição: A reta x = a e chamada assíntota vertical da curva y = f (x) se pelo menos 
uma das seguintes condições estiver satisfeita: 
lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = ∞ lim
𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = ∞ lim
𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = ∞ 
lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = −∞ lim
𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = −∞ lim
𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = −∞ 
A função tg (x) possui várias assíntotas verticais. 
 
 
 
Exercício: 
Encontre lim
𝑥 → 3+
2𝑥
𝑥−3
 e lim
𝑥 → 3−
2𝑥
𝑥−3
. Verifique se existe assíntota vertical. 
 
 
Cálculo dos Limites 
Propriedades operatórias 
 
Seja c uma constante e suponha que lim ( )
x a
f x

 e lim ( )
x a
g x

 existem. Então: 
a)  lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x
  
   ] 
b) lim ( ) lim ( )
x a x a
cf x c f x
 
 
c)  lim ( ). ( ) lim ( ).lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x
  
 
d) 
lim ( )( )
lim , desde que lim ( ) 0
( ) lim ( )
x a
x a x a
x a
f xf x
g x
g x g x

 

 
  
 
 
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e) lim
𝑥 → 𝑎
𝑐 = 𝑐 
f) lim
𝑥 → 𝑎
𝑥 = 𝑎 
g)  lim ( ) lim ( ) para qualquer inteiro positivo 
n
n
x a x a
f x f x n
 
 
 
 
h) 
lim ( ) lim ( ), se lim ( ) 0 e inteiro ou 
 se lim ( ) 0 e é um número inteiro positivo ímpar
n n
x a x a x a
x a
f x f x f x n
f x n
  

 

 
i)  lim ln ( ) ln[lim ( )], se lim ( ) 0
x a x a x a
f x f x f x
  
  
j)  lim cos ( ) cos lim( ( ))
x a x a
f x f x
 
 
 
 
k)  lim ( ) lim( ( ))
x a x a
sen f x sen f x
 
 
 
 
l) 
lim ( )
( )lim x a
f x
f x
x a
e e 

 
 
Propriedade de substituição direta: Se f for uma função polinomial ou racional e a 
estiver no domínio de f, então: 
lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
 
Exercícios 
1) Use as Propriedades dos Limites e os gráficos de f e g para calcular os seguintes 
limites, se eles existirem. 
a) lim
𝑥 → −2
[𝑓(𝑥) + 5𝑔(𝑥)] b)lim
𝑥 → 1
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] c) lim
𝑥 → 2
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 
 
 
 
 
 
2) Encontre os limites: 
a) lim
𝑥 → 2
(3𝑥2 − 5𝑥 + 2) 
 
 
 
 
b) lim
𝑥 → 5
(2𝑥2 − 3𝑥 + 4) 
 
 
 
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c) lim
𝑥 → −1
𝑥2+2𝑥−3
4𝑥−3
 
 
 
 
 
d) lim
𝑥 → 5
√3𝑥2 − 4𝑥 + 9
3
 
 
 
 
 
Expressões Indeterminadas 
 São expressões que, a priori, nada pode-se afirmar sobre o valor de seus limites. 
Neste caso, é necessário um trabalho algébrico para transformar a expressão em uma 
equivalente a ela e, para a qual, seja possível o cálculo do limite. 
 
• Forma indeterminada do tipo 
𝟎
𝟎
: ocorre se tivermos um limite da forma lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, 
em que f (x)  0 e g (x)  0 quando x  a. 
• Forma indeterminada do tipo 
∞
∞
: ocorre quando temos um limite da forma 
lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, em que f (x)  ∞ (ou - ∞) e g (x)  ∞ (ou -∞) quando x  a. 
• Forma indeterminada do tipo 0×∞: ocorre quando temos um limite da forma 
lim
𝑥 → 𝑎
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)], em que lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 0 e lim
𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥) = ∞ (ou -∞) quando x  a. 
• Forma indeterminada do tipo ∞ - ∞: ocorre quando temos um limite da forma 
lim
𝑥 → 𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)], em que lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = ∞ e lim
𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥) = ∞ quando x  a. 
• Forma indeterminada do tipo 00, ∞0, 1∞: essas indeterminações surgem do limite 
lim
𝑥 → 𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥), quando x  a. 
 
Exercícios 
1) Encontre os limites: 
a) lim
𝑥 → 1
𝑥2−1
𝑥−1
 
 
 
 
b) lim
𝑥 → 3
𝑥2−9
𝑥−3
 
 
 
 
c) lim
𝑥 → 9
√𝑥−3
𝑥−9
 
 
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d) lim
𝑥 → −2
𝑥3−3𝑥+2
𝑥2− 4
 
 
 
 
 
 
e) lim
ℎ → 0
(𝑥+ℎ)2−𝑥2
ℎ
 
 
 
 
 
 
f) lim
𝑡 → 0
√𝑡2+9−3
𝑡2
 
 
 
 
 
 
Teorema: Se n > 0 é um número racional, tal que xn seja definida para todo x, então: 
 
lim
𝑥 → 0+
 
 1
 𝑥𝑛 
= ∞ e lim
𝑥 → 0−
 
 1
 𝑥𝑛 
= {
∞, se 𝑛 é par
−∞, se 𝑛 é ímpar
 
 
Exercício: 
Encontre lim
𝑥 → 0+
1
𝑥2
 e lim
𝑥 → 0−
2𝑥2
𝑥5
. 
 
 
 
 
 
 
Teorema: lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 se e somente se lim
𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim
𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿. 
 
Exercícios 
1) Mostre que lim
𝑥 → 0
|𝑥| = 0 
 
 
 
 
 
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2) Demonstre que lim
𝑥 → 0
|𝑥|
𝑥
 não existe. 
 
 
 
 
 
 
3) Se 𝑓(𝑥) = { √𝑥 − 4, 𝑠𝑒 𝑥 > 4
8 − 2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 4
, determine se lim
𝑥 → 4
𝑓(𝑥) existe. 
 
 
 
 
 
 
4) Se 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 2
2, 𝑠𝑒 𝑥 = 2
9 − 𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
, determine se lim
𝑥 → 2
𝑓(𝑥) existe. 
 
 
 
 
 
 
5) Se 𝑓(𝑥) = {
|𝑥−5|
𝑥−5
, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 5
5, 𝑠𝑒 𝑥 = 5
, determine se lim
𝑥 → 5
𝑓(𝑥) existe. 
 
 
 
 
 
 
6) Verifique se o limite lim
𝑥 → 3
(1 + √𝑥 − 3) existe. 
 
 
 
44 
Cálculo I – Profa. Adriana Cherri 
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Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves 
Teorema: Se f (x) ≤ g(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e os 
limites de f e g existem quando x tende a a, então 
 
lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) ≤ lim
𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥) 
 
 
Teorema do confronto: Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de a (exceto 
possivelmente em a) e lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = lim
𝑥 → 𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐿, então, lim
𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 
 
 
 
Exercício: 
Mostre que lim
𝑥 → 0
𝑥2𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição de Limites 
 
A definição intuitiva de limite é inadequada para alguns propósitos, pois, frases 
como “x está próximo de a” e “f (x) aproxima-se cada vez mais de L” são vagas. 
Para chegar à definição precisa de limite, considere a função: 
 
𝑓(𝑥) = {
2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 3
6, 𝑠𝑒 𝑥 = 3
 
 
45 
Cálculo I – Profa. Adriana Cherri 
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É intuitivamente claro que quando x está 
próximo de 3, mas x ≠ 3, então f (x) está 
próximo de 5 e, sendo assim, 
 
lim
𝑥 → 3
𝑓(𝑥) = 5. 
 
 
Para obter informações mais detalhadas sobre como f(x) varia quando x está próximo 
de 3, fazemos a seguinte pergunta: Quão próximo de 3 deve estar x para que f (x) difira de 
5 por menos que 0,1? 
 
A distância de x a 3 é |x – 3| e a distância de f(x) a 5 é |f (x) – 5|, logo, o problema 
consiste em achar um número  tal que 
 
|f(x) – 5| < 0,1 se |x – 3| <  mas x ≠ 3 
 
Como |x – 3| > 0 e x ≠ 3, uma formulação equivalente do problema é achar um 
número  tal que 
|f(x) – 5| < 0,1 se 0 < |x – 3| <  
 
Se assumirmos  = (0,1)/2, então: 
 
0 < |x – 3| < (0,1)/2 = 0,05, então |f (x) – 5| = | (2x – 1) – 5 | 
 = |2x – 6| = 2| x – 3 | < 2(0,05) = 0,1 
 
Ou seja, 
|f (x) – 5| < 0,1 se 0 < |x – 3| < 0,05. 
 
Assim, uma resposta para o problema é  = 0,05; isto é, se x estiver a uma distância 
de no máximo 0,05 de 3, então f ( x) estará a uma distância de no máximo 0,1 de 5. 
 
|f(x) – 5 | < ε se 0 < |x – 3 | <  = ε/2 
 
Observe que 0 < |x – 3|<  pode ser reescrita como 3 –  < x < 3 +  (x  3), assim 
como |f (x) – 5| < ε por 5 – ε < f (x) < 5 + ε. 
 
Definição: Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número 
a, exceto possivelmente no próprio a. Então dizemos que o limite de f (x) quando x 
tende a a é L, e escrevemos 
 
46 
Cálculo I – Profa. Adriana Cherri 
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lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
se para todo numero ε > 0 houver um número  > 0 tal que 
seMM0 < |x – a| <  então |f(x) – L| < ε 
 
Podemos também reformular esta definição em termos de intervalos, observando 
que a desigualdade |x – a| <  é equivalente a – < x – a < , que pode ser escrita como 
a –  < x < a + . Além disso, 0 < |x – a| é válida se, e somente se, x – a  0, isto é, x  a. 
Analogamente, a desigualdade |f(x) – L| < ε é equivalente ao par de desigualdades 
L – ε < f(x) < L + ε. 
Portanto, em termos de intervalos, a definição pode ser enunciada como: 
 
 
Pela definição de limite, se for dado qualquer intervalo pequeno (L – ε, L + ε) em 
torno de L, então podemos achar um intervalo (a – , a +  ) em torno de a, tal que f leve 
todos os pontos de (a – , a + ) (exceto possivelmente a) para dentro do intervalo 
(L – ε, L + ε). 
 
 
 
Graficamente, temos: 
 
 
Se lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, então podemos achar um número  > 0 tal que, limitando x ao 
intervalo (a – , a +  ) e x  a, a curva y = f(x) ficará entre as retas y = L – ε e y = L + ε. 
Se um destes  tiver sido encontrado, então qualquer outro  menor também servirá. 
 
lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 se para todo ε > 0 (não importa quão pequeno ε for) podemos 
achar  > 0 tal que, se x estiver no intervalo aberto (a – , a + ) e x  a, então 
f (x) estará no intervalo aberto (L – ε, L + ε). 
47 
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Exercício 
1) Seja f(x) = 2x + 1. Determine o intervaloque x deve pertencer, de modo que f(x) 
assuma valores com afastamento máximo de 0,001 de L = 3 quando a = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Mostre que lim
𝑥 → 3
(4𝑥 − 5) = 7. 
 
 
 
 
 
 
48 
Cálculo I – Profa. Adriana Cherri 
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3) Mostre que lim
𝑥 → 1
(5𝑥 + 1) = 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição de Limites Laterais 
 
As definições intuitivas de limites laterais podem ser reformuladas com mais 
precisão da seguinte forma. 
 
Definição de limite à esquerda: 
 
lim
𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 
se para todo número ε > 0 houver um número correspondente  > 0 tal que 
 
se a –  < x < a então |f (x) – L| < ε 
 
Definição de limite à direita: 
 
lim
𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 
se para todo número ε > 0 houver um número correspondente  > 0 tal que 
 
se a < x < a +  então |f (x) – L| < ε 
 
 
Definição de Limites Infinitos 
 
Os limites infinitos podem também ser definidos de maneira precisa. 
 
Definição: Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número 
a, exceto possivelmente no próprio a. Então 
 
lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = ∞ 
 
49 
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significa que, para todo número positivo M, há um número positivo  tal que 
 se 0 < |x – a| <  então f (x) > M 
 
 
 
Definição: Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número 
a, exceto possivelmente no próprio a. Então 
 
lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = − ∞ 
 
significa que, para todo número negativo N, há um número positivo  tal que 
 se 0 < |x – a| <  então f (x) < N 
 
 
 
 
Limites no Infinito 
 
Seja 𝑓(𝑥) =
𝑥2− 1
𝑥2+ 1 
. Vamos analisar o comportamento da função f quando x assume 
valores arbitrariamente grandes (positivos ou negativos). 
 
x f(x) 
 
 
 
± 0 
± 1 
± 2 
± 3 
± 4 
± 5 
± 10 
± 50 
± 100 
± 1000 
-1 
0 
0,600000 
0,800000 
0,882353 
0,923077 
0,980198 
0,999200 
0,999800 
0,999998 
 
50 
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Quanto maior o valor de x, mais próximos de 1 ficam os valores de f(x). De fato, 
temos a impressão de que podemos tornar os valores de f (x) tão próximos de 1 quanto 
quisermos se tonarmos um x suficientemente grande. Essa situação é expressa 
simbolicamente escrevendo 
lim
𝑥 → ∞
𝑥2 − 1
𝑥2 + 1 
= 1 
 
Em geral, usamos a notação lim
𝑥 → ∞
𝑓(𝑥) = 𝐿, para indicar que os valores de f (x) ficam 
cada vez mais próximos de L à medida que x fica maior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 
Encontre lim
𝑥 → ∞
 
 1
 𝑥 
 e lim
𝑥 → −∞
 
 1
 𝑥 
. 
 
 
 
Teorema: Se n > 0 é um número racional, tal que xn seja definida para todo x, então: 
 
lim
𝑥 → ∞
 
 1
 𝑥𝑛 
= 0 e lim
𝑥 → −∞
 
 1
 𝑥𝑛 
= 0 
 
Exercício 
Encontre os limites: 
a) lim
𝑥 → ∞
 
 3𝑥2−𝑥−2
 5𝑥2+4𝑥+1
 
 
 
 
51 
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b) lim
𝑥 → ∞
 
 2𝑥−5
 𝑥+8
 
 
 
 
 
c) lim
𝑥 → −∞
 
 2𝑥3−3𝑥+5
 4𝑥5−2
 
 
 
 
 
Definição: A reta y = L é chamada assíntota horizontal da curva y = f (x) se 
 
lim
𝑥 → ∞
 𝑓(𝑥) = 𝐿 ou lim
𝑥 → −∞
 𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
Exercícios 
1) Determine a assíntota horizontal da função 𝑓(𝑥) = √2𝑥2 + 1 − 𝑥. 
 
 
 
 
 
 
2) Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função 𝑓(𝑥) =
 √2𝑥2+1
 3𝑥−5
: 
 
 
 
 
 
 
 
52 
Cálculo I – Profa. Adriana Cherri 
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3) Calcule lim
𝑥 → 0−
𝑒
1
𝑥 
 
 
 
 
 
4) Calcule lim
𝑥 → ∞
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 
 
 
 
 
Limites Infinitos no Infinito 
 
Para indicar que os valores de f (x) tornam-se grandes quanto x se torna grande, 
usamos a notação lim
𝑥 → ∞
𝑓(𝑥) = ∞. Significados análogos são dados pelos símbolos: 
 
lim
𝑥 → −∞
𝑓(𝑥) = ∞ lim
𝑥 → ∞
𝑓(𝑥) = −∞ lim
𝑥 → −∞
𝑓(𝑥) = −∞ 
 
Exercícios 
Encontre os limites: 
a) lim
𝑥 → ∞
𝑥3 
 
 
 
b) lim
𝑥 → −∞
𝑥3 
 
 
 
c) lim
𝑥 → ∞
(𝑥2 − 𝑥) 
 
 
 
 
d) lim
𝑥 → ∞
𝑥2+𝑥
3−𝑥
 
 
 
 
 
53 
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Definição: Seja f uma função definida em algum intervalo (a, ∞). Então lim
𝑥 → ∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 
significa que para todo  > 0 existe um correspondente número N tal que 
se x > N MMentãoMM|f (x) – L| <  
 
Graficamente: 
 
 
 
Definição: Seja f uma função definida em algum intervalo (-∞, a). Então lim
𝑥 → −∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 
significa que para todo  > 0 existe um correspondente número N tal que 
se x < N MMentãoMM|f (x) – L| <  
 
Graficamente: 
 
 
 
Exercícios 
Use a definição para mostrar que lim
𝑥 → ∞
1
𝑥
= 0. 
 
 
 
 
 
 
 
Definição (limite infinito no infinito): Seja f uma função definida em algum intervalo 
(a, ∞). Então lim
𝑥 → ∞
𝑓(𝑥) = ∞ significa que para todo positivo M existe um correspondente 
número positivo N tal que 
se x > N MMentãoMMf (x) > M 
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Graficamente: 
 
 
 
Limites Fundamentais 
 
Os limites fundamentais são utilizados para a solução de inúmeros problemas. 
 
 
 
 
Exercícios: 
Encontre os limites: 
a) lim
𝑥 → 0
𝑠𝑒𝑛 9𝑥
𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) lim
𝑥 → 0
 
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 
 
 
 
 
 
 
c) lim
𝑥 → 0
𝑡𝑔 𝑥
𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
lim
𝑥 → 0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1 
55 
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Exercício: 
Encontre lim
𝑥 → ∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑎𝑥+𝑏
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
1) Utilize limites laterais para mostrar que lim
𝑥 → 0
(1 + 𝑥)
1
𝑥 = 𝑒 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine lim
𝑡 → 0
 𝑙𝑛(1 + 𝑡)
1
𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
 
lim
𝑥 → ±∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
= 𝑒 
lim
𝑥 → 0
(1 + 𝑥)
1
𝑥 = 𝑒 
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Exercícios: 
Encontre os limites: 
a) lim
𝑥 → 0
𝑎𝑥−𝑏𝑥
𝑥
 
 
 
 
 
 
 
b) lim
𝑥 → 2
 
5𝑥− 25
𝑥 − 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) lim
𝑥 → 0
 
23𝑥− 1
3𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Continuidade 
 
O limite de uma função quando x ao tende a a pode muitas vezes ser encontrado 
simplesmente calculando o valor da função em a. Funções com essa propriedade são 
chamadas de contínuas em a. 
Um processo contínuo é aquele que ocorre gradualmente, sem interrupções ou 
mudanças abruptas. 
 
Definição: Uma função f é contínua em um número a se 
 
lim𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
lim
𝑥 → 0
𝑎𝑥 − 1
𝑥
= ln 𝑎 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) 
57 
Cálculo I – Profa. Adriana Cherri 
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Esta definição requer três verificações para a continuidade de f em a: 
 
1. f (a) está definida (isto é, a está no domínio de f ); 
2. lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) existe; 
3. lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). 
 
Geometricamente, podemos pensar em uma função contínua em todo número de um 
intervalo, como uma função cujo gráfico não se quebra. 
 
 
 
No gráfico, há uma descontinuidade quando a = 1, pois, nesse ponto, o gráfico tem 
um buraco, ou seja, em 1 f (1) não está definida. 
O gráfico também tem uma quebra em a = 3. A razão para a descontinuidade nesse 
ponto é que f (3) está definida, mas limx3 f (x) não existe (os limites esquerdo e direito 
são diferentes). Logo f é descontínua em 3. 
Em a = 5 a função está definida e limx5 f (x) existe (pois o limite esquerdo e o 
direito são iguais), porém, lim
𝑥 → 5
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(5). Logo f é descontínua em 5. 
 
Exercícios 
Verifique se as funções são contínuas: 
a) 𝑓(𝑥) = 
𝑥2−𝑥−2
𝑥−2
 
 
 
 
 
 
b) 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 < 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
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c) 𝑓(𝑥) = {
𝑥3 − 5𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
𝑥 − 2, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 𝑓(𝑥) = {
𝑥3 − 5𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 1
2 − 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
Cálculo I – Profa. Adriana Cherri 
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f) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥2+1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Uma função f e contínua à direita em um número a se 
 
lim
𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
 
e f e contínua à esquerda em a se 
 
lim
𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
 
Definição: Uma função f e contínua em um intervalo se for contínua em todos os 
números do intervalo. 
 
Teorema: Se f e g forem contínuas em a e se c for uma constante, então as seguintes 
funções também são contínuas em a: 
1. f + g 
2. f – g 
3. cf 
4. fg 
5. 
𝑓
𝑔
 se g(a) ≠ 0 
 
Teorema: 
(a) Qualquer polinômio é contínuo em toda a parte; ou seja, é contínuo em ℝ = (-∞, ∞). 
(b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida, ou seja, é contínua 
em seu domínio. 
 
Exercício 
Encontre lim
𝑥 → −2
𝑥3+2𝑥2−1
5−3𝑥
. 
 
 
 
 
 
 
60 
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Teorema: Se g for contínua em a e f em g(a), então a função composta f  g dada por 
(f  g)(x) = f (g(x)) é contínua em a. 
 
Exercício 
Verifique se a função sen(x2) é contínua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema do valor intermediário: Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado 
[a, b] e seja N um número qualquer entre f (a) e f (b), em que f (a) ≠ f (b). Então existe um 
número c em (a, b) tal que f (c) = N. 
 
O Teorema do Valor Intermediário afirma que uma função contínua assume todos os 
valores intermediários entre os valores da função f (a) e f (b). 
Nos gráficos podemos observar que o valor N pode ser assumido uma ou mais 
vezes. 
 
 
 
Exercício 
Mostre que existe uma raiz da equação 4x3 - 6x2 + 3x – 2 = 0 entre 1 e 2.