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ROTEIRO DE PRÁTICA Tema Estudo do Produto Escalar e Produto Vetorial no GeoGebra Unidade 01 Disciplina (s) Álgebra Linear Computacional Data da última atualização 03/02/2020 Nome do Aluno Renato Gonçalves Silveira Junior I. Instruções e observações LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 1. É importante o conhecimento prévio do conteúdo sobre vetores, produto escalar e produto vetorial. 2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 3. II. Materiais Descrição Quantidade Software GeoGebra 3D Online Roteiro da prática 1 Calculadora científica 1 III. Introdução A compreensão dos conceitos, bem como a execução dos cálculos, que envolvem os temas Produto Escalar e Produto Vetorial são de suma importância aos estudantes e profissionais das Engenharias/Ciências. Tal importância surge da grande variedade de aplicações desses produtos nas diversas disciplinas e na modelagem de problemas típicos dessas áreas. Entre outras aplicações, podemos citar: Cálculo de ângulos, áreas e volumes. Determinação do momento de uma força. Trabalho realizado por uma força. Fluxo de água através de uma mangueira. Nessa atividade, você utilizará o software GeoGebra (https://www.geogebra.org/) para determinação do ângulo e do produto vetorial entre dois vetores, além do cálculo da área de um triângulo. IV. Objetivos de Aprendizagem Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de determinar o ângulo e o produto vetorial entre dois vetores, bem como calcular a área de um triângulo a partir do produto vetorial. Utilizar o software GeoGebra para determinação do ângulo e do produto vetorial entre dois vetores. Além disso, usando a ferramenta de medição, calcular a área de um triângulo. V. Experimento ETAPA 1: determinação do ângulo entre dois vetores PASSO 1: Esboce, no GeoGebra 3D, os vetores 𝑢 = (1,1,1) e �⃗� = (1,1,3). O Geogebra reconhece os vetores a partir de letras minúsculas. PASSO 2: Ainda usando o GeoGebra, insira três pontos no espaço, sendo eles a origem do sistema de coordenadas cartesianas e as extremidades dos vetores já representados: 𝐴 = (0,0,0), 𝐵 = (1,1,1) e 𝐶(1,1,3). Esses pontos servirão para identificarmos o ângulo entre os vetores 𝑢 e �⃗�, conforme PASSO 3 abaixo. PASSO 3: Usando a ferramenta de medição ÂNGULO , clique sequencialmente nos pontos 𝐵𝐴𝐶. Qual o ângulo apresentado? O ângulo encontrado foi de 29.5°, conforme imagem abaixo. PASSO 4: Calcule, usando a fórmula abaixo, o ângulo entre os vetores 𝑢 e �⃗� e compare o resultado com o valor encontrado no PASSO 3. 𝑢 ∙ �⃗� = |𝑢| |𝑣| cos (𝑢, �⃗�) 𝐜𝐨𝐬 ∝ = �⃗� ∙ �⃗� |�⃗�| |�⃗�| = (𝟏, 𝟏, 𝟏). (𝟏, 𝟏, 𝟑) √𝟏 + 𝟏 + 𝟏. 𝟏 + 𝟏 + 𝟑𝟐 = 𝟓 √𝟑𝟑 = 𝟎, 𝟖𝟕 𝐜𝐨𝐬 𝟏 𝟎, 𝟖𝟕 = 𝟐𝟗. 𝟓° O ângulo encontrado é o mesmo do Geogebra 29.5° ETAPA 2: determinação do produto vetorial PASSO 5: Calcule, no espaço abaixo, o produto vetorial entre os vetores 𝑢 e �⃗�. Cálculo do produto vetorial de �⃗� 𝒆 �⃗� 𝒘 = 𝒊 𝒋 𝒌 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 = 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 ⃗ − 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 ⃗ + 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 �⃗� = 𝟐⃗ − 𝟐⃗ + 𝟎�⃗� = 𝒘 = (𝟐, −𝟐, 𝟎) PASSO 6: Usando o GeoGebra, represente o vetor �⃗� = 𝑢 × 𝑣. Para isso, digite a função �⃗� = 𝑢 ⊗ �⃗�. Compare o resultado com o vetor determinado no PASSO 5. Observação: o operador ⊗ pode ser encontrado a partir do seguinte procedimento: O resultado é mesmo encontrado no cálculo por determinantes. PASSO 7: Usando o mesmo procedimento realizado nos PASSOS 2 e 3, identifique o ângulo entre os pares de vetores (𝑢, �⃗�) e (�⃗�, 𝑤). O resultado verificado era previsível? Por quê? Foram encontrados ângulos 90° para ambos pares de vetores, que era o resultado previsível já que todo produto vetorial, gera um vetor ortogonal aos de origem. ETAPA 3: determinação da área de um triângulo a partir do produto vetorial PASSO 8: Utilizando a ferramenta de esboço de polígonos , clique nos pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 para representar o triângulo 𝐴𝐵𝐶. PASSO 9: Identifique a área do polígono 𝐴𝐵𝐶, clicando na ferramenta de medição de área e, em sequência, no polígono representado. Qual o valor da área encontrada? A área encontrada foi de 1,41 PASSO 10: Utilize produto vetorial para comprovar o resultado encontrado no PASSO 9. Lembrete: 𝐴 = |𝑢 × 𝑣|. Utilizando o resultado de 𝒘 = �⃗�. �⃗� = (𝟐, −𝟐, 𝟎) Substituindo na fórmula temos: 𝑨 = 𝟏 𝟐 × (𝟐, −𝟐, 𝟎) = 𝟏 𝟐 × 𝟐, 𝟖𝟑 = 𝟏, 𝟒𝟏 Sendo assim comprovamos a área encontrada pelo Geogebra. VII. Referências PAULO WINTERLE. Vetores e geometria analítica, 2ed. Pearson 256 ISBN 9788543002392. SANTOS, Fabiano José dos. Geometria analítica. Porto Alegre ArtMed 2009 1 recurso online ISBN 9788577805037.
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