A1 Cálculo numérico

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Atividade 01 
Cálculo Numérico Computacional 
 
 
 
Resolução 
 
O tempo que o objeto leva para atingir o sol o é obtido quando a sua altura é 
equivalente a zero, ou seja, S(t) = 0. Portanto, esse tempo é encontrado 
quando calculamos a raiz da função S(t) para t > 0. 
Iremos encontrar esse tempo utilizando o método gráfico para isolar a raiz e o 
método da bisseção para refinamento do valor dentro da precisão esperada. 
Substituindo os valores apresentado na função, temos: 
 
S(t) = 𝑆0− 𝑚.𝑔𝑘 . 𝑡  +
𝑚2.𝑔
𝑘2
. (1− 𝑒 −𝑘.𝑡
𝑚
) 
S(t) = 40−2. 9,81
0,6
 . 𝑡  +   22.  9,81 
0,62
 . (1 − 𝑒 −0,6. 𝑡
2
) 
 
S(t) = 40 − 32,7 .  𝑡  +  109 . (1− 𝑒 −0,3.𝑡) 
S(t) = 149 − 32,7.  𝑡 − 109 . 𝑒    − 0,3. 𝑡 
 
O primeiro passo na aplicação do método do gráfico é substituir a função S(t) 
por duas outras funções g(t) e h(t), de modo que: 
 S(t) = g(t) - h(t) 
 
Sendo assim, temos: 
 𝑆(𝑡) 149 − 32,7 .  𝑡 − 109 .𝑒−0,3. 𝑡 
 𝑔(𝑡) = 149− 32,7. 𝑡 
 ℎ(𝑡) = 109.  𝑒 −0,3. 𝑡 
 
Montando o gráfico das duas funções: 
 
 
 
 
A raiz da função S(t) é obtida no ponto do eixo t para o qual g(t) = h(t). 
No gráfico, é possível observar que esse ponto está situado entre 3,0 e 3,5 
segundos. 
O segundo passo é aplicar o método da bisseção para refinar o valor de t para 
o qual S(t) =0. 
Para calcular a quantidade de iterações que devemos fazer para atingir um 
erro menor que 0,001, temos: 
 𝑛 ≥ 𝐼𝑛(
𝑏−𝑎
𝐸
)
𝐼𝑛2
− 1 
 
Onde: 
n - número de iterações 
b – valor superior de t, equivalente a 3,5 
a – valor inferior de t, equivalente a 3,0 
e – valor de erro equivalente a 0, 001 
 
Substituindo os valores: 
 𝑛 ≥
𝐼𝑛(
3,5−3,0
0,001
)
𝐼𝑛2
−1 →  𝑛 ≥
𝐼𝑛(
0,5
0,001
)
𝐼𝑛2−
−1  →  𝑛 ≥
𝐼𝑛
1000
2
𝐼𝑛2
− 1 
 𝑛 ≥ 𝐼𝑛 500
𝐼𝑛 2
− 1 →  𝑛 ≥ 7,96 
 
Portanto, para chegarmos ao resultado da raiz da função S(t) com erro de 
0,001, precisamos calcular no mínimo 8 iterações. 
 A planilha abaixo apresenta os cálculos das iterações até o resultado desejado: 
 
 
Portanto, o resultado para o cálculo da raiz com erro de 0,001 é equivalente 
3,32910. Esse é o tempo que o objeto leva para atingir o solo quando 
abandonado a 40 m de altura.