1 2-Tipos especiais de funções e propriedades

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Considerando a importância central do conceito de função para os estudos e o desenvolvimento do Cálculo
Diferencial e Integral, estudaremos nesta webaula as categorias das funções exponenciais e logarítmicas, bem
como as funções inversas.
Classes de funções
Na construção de uma função, é indispensável a apresentação de três elementos: 
Domínio
Contradomínio
Lei de formação
Dependendo das características da lei de formação adotada, podemos incluir a função em diferentes categorias. 
Funções algébricas
Quando a lei é dada por meio de um polinômio, temos uma função polinomial, e no caso de a lei ser construída a
partir da aplicação de um número �nito de operações algébricas (adição, subtração, multiplicação, extração de
raiz etc.) sobre um polinômio, é possível construir uma função algébrica. 
Função exponencial
Uma função exponencial apresenta lei de formação dada por  , em que  , como é o caso de 
, por exemplo. Assim, a função exponencial é construída a partir de uma potência cuja base é constante
e a variável localiza-se em seu expoente. Dependendo do valor assumido pela base, a função exponencial pode
assumir diferentes comportamentos no que se refere à sua representação grá�ca. Porém, independentemente do
valor da base, com   sempre temos que  . 
Observe o grá�co a seguir:
Comportamento grá�co da função exponencial
Fonte: elaborada pelo autor.
f(x) = bx b > 0
f(x) = 2x
b > 0 b
0
= 1
Gra�camente, ao tomar uma função exponencial com base   , é possível construir uma função crescente, e se
a base for tal que  , a função exponencial será do tipo decrescente, sendo que, em ambos os casos, o eixo
b > 1
0 < b < 1
Cálculo Diferencial e Integral
Tipos especiais de funções e propriedades
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Saiba Mais
x comporta-se como uma assíntota horizontal para o grá�co da função exponencial. E uma terceira situação
consiste, no caso da função exponencial, na base ser constante e igual a 1, o que implica a de�nição de uma
função do tipo constante e igual a 1.
Se à lei de formação de uma função exponencial forem acrescidas constantes, podemos construir as chamadas
funções do tipo exponenciais, as quais apresentam a propriedade de suas leis de formação assumirem o formato
geral   , com a, b, c e k constantes reais.f(x) = a ⋅ bkx + c
Função Logarítmica
Uma função logarítmica consiste em uma função cuja lei de formação assume a forma  , com    e 
 , sendo seu domínio dado pelo conjunto     devido à impossibilidade de estudar o logaritmo de números
negativos ou nulos. E, de acordo com o valor assumido pela base, também podemos estudar o comportamento
grá�co da função logarítmica, de modo que se torna uma função crescente para     e decrescente para   
. Observe o grá�co a seguir:
Comportamento grá�co da função logarítmica
Fonte: elaborada pelo autor.
f(x) = logbx b > 0
b ≠ 1 R∗+
b > 1
0 < b < 1
Função inversa
Pela possibilidade de relacionar logaritmos a potências, pode-se estudar a relação existente entre funções
exponenciais e logarítmicas à luz do conceito de função inversa. Para que seja possível caracterizar uma função
inversa faz-se necessário, inicialmente, avaliar a bijetividade, isto é, se a função é simultaneamente injetiva e
sobrejetiva. Nesse estudo, para a injetividade precisamos avaliar se em todo o domínio da função, elementos
diferentes apresentam imagens distintas, e para a sobrejetividade devemos mostrar que o conjunto imagem da
função é igual ao seu contradomínio. Com esses dois conceitos, pode-se de�nir uma função bijetiva como uma
função injetiva e sobrejetiva simultaneamente, a qual tem, por de�nição, uma função inversa associada. Sendo
assim, considerando domínios e contradomínios convenientes, podemos associar as funções exponencial e
logarítmicas como uma inversa da outra. 
Comparação entre as funções exponencial e logarítmica natural
Fonte: elaborada pelo autor.
https://conteudo.colaboraread.com.br/202002/INTERATIVAS_2_0/CALCULO_DIFERENCIAL_E_INTEGRAL/U1/S2/index.html#
https://conteudo.colaboraread.com.br/202002/INTERATIVAS_2_0/CALCULO_DIFERENCIAL_E_INTEGRAL/U1/S2/index.html#
Um exemplo que podemos destacar é a relação existente entre as funções exponencial natural,  , e
logarítmica natural   , ambas adotando como base o número de Euler, e, as quais são
caracterizadas como inversas uma da outra, o que pode ser comprovado também analisando a composição entre
elas, implicando      para todo x nos domínios correspondentes, escolhido de forma
conveniente a garantir a bijetividade e a existência da função inversa.
f(x) = ex
g(x) = loge x = ln x
(f ∘ g) (x) = (g ∘ f) (x) = x
Finalizamos esta webaula estudando sobre as funções inversas que podem ser aplicadas em outros contextos, de
modo a possibilitar a investigação de relações existentes entre outros conjuntos de funções.