Atividade A1 Cálculo Computacional

Prévia do material em texto

Rodrigo Fernandes de Oliveira 
Eng. Mecânica 
Cálculo numérico computacional 
 
Atividade 01 
 
RESOLUÇÃO: 
O tempo que o objeto leva para atingir o solo é obtido quando a sua 
altura é equivalente a zero, ou seja, S(t) = 0. Portanto, esse tempo é encontrado quando 
calculamos a raiz da função S(t) para t > 0. Iremos encontrar esse tempo utilizando o 
método gráfico para isolar a raiz e o método da bisseção para refinamento do valor dentro 
da precisão esperada. Substituindo os valores apresentado na função, temos: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 ) 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 ) 
 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) 
O primeiro passo na aplicação do método do gráfico é substituir a 
função (t) por duas outras funções g(t) e h(t), de modo que: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
Sendo assim, temos: 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
Montando o gráfico das duas funções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A raiz da função S(t) é obtida no ponto do eixo t para o qual 
g (t) = h(t). No gráfico, é possível observar que esse ponto está situado entre 3,0 e 3,5 
segundos. 
O segundo passo é aplicar o método da bisseção para refinar 
o valor de t para o qual S(t) =0. Para calcular a quantidade de iterações que devemos 
fazer para atingir um erro menor que 0,001, temos: 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
Onde: 
n – Número de interações 
b – Valor superior de t, equivalente a 3,5; 
a – Valor inferior de t, equivalente a 3,0; 
E – Valor do erro, equivalente a 0,001. 
 
Substituindo os valores: 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 (
 
 
)
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, para chegarmos ao resultado da raiz da função S(t) com 
erro de 0,001, precisamos calcular no mínimo 8 iterações. A planilha abaixo apresenta os 
cálculos das iterações até o resultado desejado: 
n a c tn S(tn) En 
0 3,00 3,50 3,25000 1,61103 - 
1 3,25 3,50 3,375 - 0,96324 0,12500 
2 3,25 3,38 3,31250 - 0,33099 - 0,06250 
3 3,31 3,38 3,34375 - 0,31437 0,03125 
4 3,31 3,34 3,32813 0,00875 - 0,01563 
5 3,33 3,34 3,33594 - 0, 15270 0,00781 
6 3,33 3,34 3,33203 - 0,07195 - 0,00391 
7 3,33 3,33 3,33008 - 0,03159 - 0,00195 
8 3,33 3,33 3,32910 - 0,01142 - 0,00098 
 
 
Portanto, o resultado para o cálculo da raiz com erro de 
0,001 é equivalente a 3,32910. Esse é o tempo que o objeto leva para 
atingir o solo quando abandonado a 40 m de altura.