EP2-MD1-gabarito

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EP2 – Gabarito – Métodos Determińısticos I
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado na Aula 2 e nas páginas 144 e 145 da Aula 12, do Caderno
Didático.
Uma expressão matemática é uma combinação finita de números ou letras, as quais chamamos
de variáveis, que são ligadas por operações matemáticas, tais como, soma, diferença, multiplicação,
divisão, etc e que também envolvem chaves, colchetes e parênteses para indicar a ordem em que as
operações devem ser efetuadas. As expressões matemáticas podem ser numéricas, quando envolvem
apenas combinações de números ou algébricas, quando envolvem combinações de números e letras.
Na Aula 2 do Caderno Didático, você estudou as regras das operações com números naturais, inteiros
e racionais e, nos próximos exerćıcios, você praticará estas regras. Esteja especialmente atento à
ordem com que as operações devem ser realizadas.
Exerćıcio 1 Resolva as expressões numéricas abaixo. Lembre-se que as operações de multiplicação
e de divisão devem ser realizadas antes das operações de adição e subtração.
a) 5 + 7× (−3)× (−2)− (−4)× 5
b) (−16)÷ 4 + (−3)× (−2)
c) 12× 4÷ (−3)× 9
Solução:
a) 5 + 7× (−3)× (−2)− (−4)× 5 = 5 + 42− (−20) = 47 + 20 = 67
b) (−16)÷ 4 + (−3)× (−2) = −4 + 6 = 2
c) 12× 4÷ (−3)× 9 = 12× 4
−3
× 9 = 12× 4× 9
−3
= −12× 4× 3
1
= −144
Exerćıcio 2 Efetue as operações com frações, e obtenha o resultado na forma de uma fração irre-
dut́ıvel
a)
2
5
÷ 1
40
b)
−2
15
× 9
−11
c) −7
3
− 4
−5
d)
2
5
− 3
4
× 6
−5
Solução:
a)
2
5
÷ 1
40
=
2
5
× 40
1
=
2× 40
5× 1
=
2× 8
1× 1
= 16
Métodos Determińısticos I EP2 2
b)
−2
15
× 9
−11
=
(−2)× �
3
9
>
5
15 × (−11)
=
(−2)× 3
5× (−11)
=
−6
−55
=
6
55
c) −7
3
− 4
−5
= −7
3
−
(
−4
5
)
= −7
3
+
4
5
=
−35
15
+
12
15
=
−35 + 12
15
= −23
15
d)
2
5
− 3
4
× 6
−5
=
2
5
− 3
4
×
(
−6
5
)
=
2
5
+
>
9
18
>
10
20
=
2
5
+
9
10
=
4
10
+
9
10
=
4 + 9
10
=
13
10
Exerćıcio 3 Compare as frações a seguir, completando a lacuna de cada item com >, < ou =.
a)
12
7
. . .
5
7
b)
6
4
. . .
6
8
c)
2
3
. . .
5
7
d)
8
9
. . .
9
8
e)
−3
4
. . .
−7
4
f)
6
−5
. . .
1
3
g)
−12
9
. . .
4
−3
Observação: Para comparar dois números racionais, você pode optar por igualar os denominadores
ou por utilizar a propriedade apresentada na página 31 do Caderno Didático. Na solução a seguir,
optamos por utilizar a propriedade citada.
Solução:
a)
12
7
>
5
7
, pois 12× 7 > 5× 7.
b)
6
4
>
6
8
, pois 6× 8 > 6× 4.
c)
2
3
<
5
7
, pois 2× 7 < 5× 3.
d)
8
9
<
9
8
, pois 8× 8 < 9× 9.
e)
−3
4
>
−7
4
, pois −3× 4 > −7× 4.
f)
6
−5
<
1
3
equivale a
−6
5
<
1
3
, pois
6
−5
=
−6
5
e −6× 3 < 1× 5.
g)
−12
9
=
4
−3
equivale a
−12
9
=
−4
3
, pois
4
−3
=
−4
3
e −12× 3 = −4× 9.
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Métodos Determińısticos I EP2 3
Exerćıcio 4 Desenvolvendo as expressões numéricas de ambos os lados das desigualdades, decida
se as desigualdades abaixo são verdadeiras ou falsas.
a)
3
7
· −5
2
<
−3
2
+
1
3
b)
−8
3
· −7
8
>
4
5
− 6
8
c) −
(−5
9
÷ −2
7
)
≤ 4
7
·
(
−3
5
)
d)
−4
5
+
3
−8
≥ −47
40
e) −10 > 20
−3
Solução: Antes de começarmos o gabarito desta questão, por motivo de simplificação e economia
de espaço, vamos trocar a expressão “se, e somente se,”pelo śımbolo “⇐⇒”. Na Aula 4, falaremos
mais sobre ele.
a)
3
7
· −5
2
<
−3
2
+
1
3
⇐⇒ −15
14
<
−9
6
+
2
6
⇐⇒ −15
14
<
−7
6
⇐⇒ −15 · 6 < −7 · 14
⇐⇒ −90 < −98
Logo, a desigualdade é falsa.
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Métodos Determińısticos I EP2 4
b)
−8
3
· −7
8
>
4
5
− 6
8
⇐⇒
*−1−8
3
· −7
�
1
8
>
4
5
−
�
3
6
�
4
8
⇐⇒ −1
3
· −7
1
>
4
5
− 3
4
⇐⇒ 7
3
>
16
20
− 15
20
⇐⇒ 7
3
>
1
20
⇐⇒ 7.20 > 3.1
⇐⇒ 140 > 3
Logo, a desigualdade é verdadeira.
c)
−
(−5
9
÷ −2
7
)
≤ 4
7
·
(
−3
5
)
⇐⇒ −
(−5
9
· 7
−2
)
≤
(
−4
7
· 3
5
)
⇐⇒ −
(
35
18
)
≤ −12
35
⇐⇒ −35 · 35 ≤ −12 · 18
⇐⇒ −1225 ≤ −216
Logo, a desigualdade é verdadeira.
d)
−4
5
+
3
−8
≥ −47
40
⇐⇒ −32
40
+
−15
40
≥ −47
40
⇐⇒ −47
40
≥ −47
40
Logo, a desigualdade é verdadeira.
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Métodos Determińısticos I EP2 5
e)
−10 > 20
−3
⇐⇒ −10 > −20
3
⇐⇒ −30 > −20
Logo, a desigualdade é falsa.
Exerćıcio 5 Efetue as expressões numéricas indicadas e obtenha o resultado na forma de uma fração
irredut́ıvel.
a)
12
8
+
8
5
b)
2
7
− 5
4
× 2
−3
c) 1 + 2
[
3− 1
4
(
4
6
− 1
2
)
+ 5
]
+ 7
d) 2
{
−1 + 12
[
−13 + 4
(
1− 1
3
)]
+ 5
}
e)
[(
3
6
− 12
48
)
÷ 7
6
+
1
7
(
13
4
− 7
3
+
1
12
)]
× 1
3
÷ 1
7
f)
(
2
3
− 7
4
× 5
6
)
÷ 5
3
− 1
2
× 3
4
g)
1
6
 15
3
+
7
−4
× 9
8
÷ −2
3
.
Lembrete: Lembre-se primeiro resolvemos o que está entre parênteses, depois o que está entre colchetes e, finalmente,
o que está entre chaves. Observe ainda que quando temos dois termos lado a lado sem nenhum sinal entre eles (como
ocorre após 1/7 no item e) a operação a ser realizada é multiplicação.
Solução:
a)
12
8
+
8
5
=
>
3
12
�
2
8
+
8
5
=
3
2
+
8
5
=
15
10
+
16
10
=
15 + 16
10
=
31
10
b)
2
7
− 5
4
× 2
−3
=
2
7
− 10
−12
=
2
7
+
>
5
10
>
6
12
=
2
7
+
5
6
=
12
42
+
35
42
=
47
42
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Métodos Determińısticos I EP2 6
c)
1 + 2
3− 1
4
 �24
�
3
6
− 1
2
+ 5
+ 7 = 1 + 2 [3− 1
4
(
2
3
− 1
2
)
+ 5
]
+ 7
= 1 + 2
[
3− 1
4
(
4− 3
6
)
+ 5
]
+ 7
= 1 + 2
[
3− 1
4
(
1
6
)
+ 5
]
+ 7
= 1 + 2
[
3− 1
24
+ 5
]
+ 7
= 1 + 2
[
72− 1 + 120
24
]
+ 7
= 1 + 2
[
191
24
]
+ 7
= 1 +
191
12
+ 7
=
12 + 191 + 84
12
=
287
12
d)
2
{
−1 + 12
[
−13 + 4
(
1− 1
3
)]
+ 5
}
= 2
{
−1 + 12
[
−13 + 4
(
3− 1
3
)]
+ 5
}
= 2
{
−1 + 12
[
−13 + 4
(
2
3
)]
+ 5
}
= 2
{
−1 + 12
[
−13 + 8
3
]
+ 5
}
= 2
{
−1 + 12
[−39 + 8
3
]
+ 5
}
= 2
{
−1 + >
4
12
[−31
3
]
+ 5
}
= 2 {−1 + 4 [−31] + 5}
= 2 {−1− 124 + 5}
= 2{−120}
= −240
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e)[(
3
�
2
6
− 12
>
4
48
)
÷ 7
6
+
1
7
×
(
13
4
− 7
3
+
1
12
)]
× 1
3
÷ 1
7
=
[(
1
2
− 1
4
)
× 6
7
+
1
7
×
(
39
12
− 28
12
+
1
12
)]
× 1
3
× 7
=
[(
2
4
− 1
4
)
× 6
7
+
1
7
× 12
12
]
× 1
3
× 7
=
 1
�
2
4
×
�
3
6
7
+
1
7
× 7
3
=
[
1
2
× 3
7
+
1
7
]
× 7
3
=
[
3
14
+
1
7
]
× 7
3
=
[
3
14
+
2
14
]
× 7
3
=
5
>
2
14
× 7
3
=
5
2
× 1
3
=
5
6
f) (
2
3
− 7
4
× 5
6
)
÷ 5
3
− 1
2
× 3
4
=
(
2
3
− 35
24
)
÷ 5
3
− 3
8
=
(
16
24
− 35
24
)
÷ 5
3
− 3
8
= −19
24
÷ 5
3
− 3
8
= − 19
>
8
24
× 3
5
− 3
8
= −19
8
× 1
5
− 3
8
= −19
40
− 3
8
= −19
40
− 15
40
= −34
40
= −17
20
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Métodos Determińısticos I EP2 8
g)
1
6
 15
3
+
7
−4
× 9
8
÷ −2
3
=
1
6
 1
5
3
− 7
4
× 9
8
÷ −2
3
=
1
6
 1
20
12
− 21
12
× 9
8
÷ −2
3
=
1
6
 1
− 1
12
× 9
8
÷ −2
3
=
1
6
(
*−2−12
)
× 9
8
÷ −2
3
= *
−1
−2 × 9
�
4
8
÷ −2
3
= −9
4
÷ −2
3
= −9
4
×
(
−3
2
)
=
27
8
Exerćıcio 6 Simplifique as expressões algébricas a seguir, onde a, b e c são números com a 6= 0 e
b 6= 0.
a) (7a+ b− 2c) + (2a− 5b− 3c)
b) (a+ 5b)− (4a+ 5b)
c) (3a) · (−9b)
d) 2(a− b) + 2b
e) (25a)÷ (5a)
f)
3a
6
÷ 6
3b
g)
a− 3ba
3a
+ b
Solução:
a) (7a+ b− 2c) + (2a− 5b− 3c) = 7a+ b− 2c+ 2a− 5b− 3c
= (7a+ 2a) + (b− 5b) + (−2c− 3c)
= (9a) + (−4b) + (−5c)
= 9a− 4b− 5c
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b) (a+ 5b)− (4a+ 5b) = a+ 5b− 4a− 5b
= (a− 4a) + (5b− 5b)
= −3a+ 0
= −3a
c) (3a) · (−9b) = −27ab
d) 2(a− b) + 2b = 2a− 2b+ 2b = 2a
e) (25a)÷ (5a) = 25a · 1
5a
=
>
5
25 a
5a
= 5
f)
3a
6
÷ 6
3b
=
3a
6
· 3b
6
=
9ab
>
4
36
=
ab
4
g)
a− 3ba
3a
+ b =
a− 3ab+ 3ab
3a
=
a
3a
=
1
3
Equações de primeiro grau (com uma variável)
Uma Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relaçãode igualdade entre ex-
pressões matemáticas.
Exemplos de equações:
• 3x+ 9 = 0
• 4x− 2 = 6x+ 7
• a+ b+ c = 0.
Exemplos de expressões que não são equações:
• 3 + 7 = 5 + 5 (Não é uma sentença aberta)
• 2x− 4 < 0 (Não é uma igualdade)
• 3 6= 7 (não é uma sentença aberta, nem uma igualdade).
Uma equação do primeiro grau é toda equação que, depois de simplificada, pode ser escrita na
forma
ax+ b = 0,
onde a e b são números conhecidos e a é diferente de zero. A letra x é a incógnita da equação.
Para resolver essa equação efetuamos os seguintes passos:
ax+ b−b = 0−b (subtráımos b dos dois lados da equação)
ax = −b
ax
a
= − b
a
(dividimos por a os dois lados da equação)
x = − b
a
.
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Portanto, x = − b
a
é a solução da equação ax + b = 0, isto é, o valor de x que torna correta
(isto é, verdadeira) a igualdade ax + b = 0. Note que quando substitúımos x = − b
a
na equação,
obtemos, de fato, a igualdade, veja:
a ·
(
− b
a
)
+ b = −ab
a
+ b = −a/b
a/
+ b = − b
1
+ b = −b+ b = 0.
Numa equação, tudo que antecede o sinal da igualdade é chamado de primeiro membro, e o que
sucede, de segundo membro. Por exemplo, em 3x + 8 = 2x − 7 temos que 3x + 8 é o primeiro
membro e 2x − 7 é o segundo membro da equação. Qualquer parcela, do primeiro ou do segundo
membro, é um termo da equação.
Resolver uma equação consiste em realizar uma série de operações que nos conduzam a equações
equivalentes cada vez mais simples e que nos permitam determinar as suas soluções.
Exerćıcio 7 Resolva as equações:
a)
4x
3
=
11
5
b) 3 (x− 4)− 2 (1− x) = 2 (x− 1)
c) 3
(
1− x− 1
3
)
=
1
3
(3x− 7)
d)
6− 3x
5
=
1
10
e)
3x− 8
4
=
4x− 20
5
Solução:
a)
4x
3
=
11
5
⇐⇒ 4x
3
·15 = 11
5
·15⇐⇒ 4x(5) = 11(3)⇐⇒ 20x = 33⇐⇒ 20x· 1
20
= 33· 1
20
⇐⇒ x= 33
20
b)
3 (x− 4)− 2 (1− x) = 2 (x− 1)
⇐⇒ 3 · x+ 3 · (−4)− 2 · 1− 2 · (−x) = 2 · x+ 2 · (−1)
⇐⇒ 3x− 12− 2 + 2x = 2x− 2
⇐⇒ 5x− 14 = 2x− 2
⇐⇒ 5x− 14−2x = 2x− 2−2x
⇐⇒ 3x− 14 = −2
⇐⇒ 3x− 14+14 = −2+14
⇐⇒ 3x = 12
⇐⇒ 3x·1
3
= 12·1
3
⇐⇒ x = 4
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c)
3
(
1− x− 1
3
)
=
1
3
(3x− 7)
⇐⇒ 3 · 1− 3 ·
(
x− 1
3
)
=
1
3
· 3x− 1
3
· 7
⇐⇒ 3− (x− 1) = x− 7
3
⇐⇒ 3− x+ 1 = 3x− 7
3
⇐⇒ 4− x = 3x− 7
3
⇐⇒ 3(4− x) = 3x− 7
⇐⇒ 12− 3x = 3x− 7
⇐⇒ −3x− 3x = −7− 12
⇐⇒ −6x = −19
⇐⇒ x = −19
−6
⇐⇒ x = 19
6
d)
6− 3x
5
=
1
10
⇐⇒ 6− 3x
5
· 10 = 1
10
· 10
⇐⇒ 6− 3x
5
· >
2
10 =
1
10
· 10
⇐⇒ (6− 3x) · 2 = 1
⇐⇒ 2 · (6− 3x) = 1
⇐⇒ 12− 6x = 1
⇐⇒ −6x = 1− 12
⇐⇒ −6x = −11
⇐⇒ x = −11
−6
⇐⇒ x = 11
6
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e)
3x− 8
4
=
4x− 20
5
⇐⇒ 3x− 8
4
· 20 = 4x− 20
5
· 20
⇐⇒ 3x− 8
4
· >
5
20 =
4x− 20
5
· >
4
20
⇐⇒ (3x− 8) · 5 = (4x− 20) · 4
⇐⇒ 5 · (3x− 8) = 4 · (4x− 20)
⇐⇒ 15x− 40 = 16x− 80
⇐⇒ 15x− 16x = −80 + 40
⇐⇒ −x = −40
⇐⇒ x = 40.
Uma observação!
As equações de primeiro grau não devem ser pensadas apenas como “questões”ou “exerćıcios”por
si só. Muitas vezes, elas aparecem quando se está tentando relacionar as informações dadas em
problemas, servindo assim, como ferramenta de modelagem destes problemas.
Nos exerćıcios abaixo, equações de primeiro grau serão utilizadas como ferramentas em problemas
envolvendo conjuntos. Experimente utilizar uma variável para representar a quantidade que você
quer determinar, ou alguma outra quantidade relacionada ao problema.
Tente resolver o primeiro deles, o Exerćıcio 8 e, caso não consiga (depois de tentar muito!), leia o
começo do gabarito. Depois, volte ao exerćıcio e tente seguir sozinho até o fim.
Nos exerćıcios 10 e 11, você utilizará equações de primeiro grau para descobrir números de elementos
de conjuntos. Experimente denotar por uma variável (x, por exemplo) a quantidade de elementos de
algum dos conjuntos envolvidos.
Exerćıcio 8 Numa produção caseira de uma quantidade q de bombons, sabe-se que o custo C é
igual a soma do dobro da quantidade a ser produzida com um custo fixo de R$ 16,00. A receita R
obtida pela comercialização deste produto é igual a 5 vezes a quantidade produzida. Sabendo que
o lucro L é dado pela diferença entre a receita e o custo, escreva a equação que representa uma
produção com lucro igual a R$ 50,00. Neste caso, determine quantos bombons são produzidos.
Solução: Pelo enunciado q é a quantidade de bombons a ser produzida.
Como o custo C é igual a soma do dobro da quantidade a ser produzida com um custo fixo de R$
16,00, temos a equação
C = 2q + 16.
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Métodos Determińısticos I EP2 13
Como a receita R obtida pela comercialização deste produto é igual a 5 vezes a quantidade produzida,
temos
R = 5q.
Como o lucro L é dado pela diferença entre a receita e o custo, temos
L = R− C = 5q − (2q + 16) = 3q − 16.
Assim, a equação que representa uma produção com lucro igual a R$ 50,00 é escrito por
L = 50 =⇒ 3q − 16 = 50 .
Resolvendo essa equação, vem que:
3q − 16 = 50
⇐⇒ 3q − 16 + 16 = 50 + 16
⇐⇒ 3q = 66
⇐⇒ 1
3
· 3q = 1
3
· 66
⇐⇒ q = 22
Isto significa, que quando o lucro é igual a R$ 50,00 são produzidos 22 bombons.
Exerćıcio 9 Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, sendo que cada
um deveria contribuir com R$ 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes
da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de
pagar R$ 27,00 a mais do que antes. No entanto, o diretor, para ajudar, contribuiu com R$ 630,00.
Quanto pagou cada aluno participante da festa?
Observação: Este exerćıcio foi retirado do livro Matemática e Lógica para Concursos de José Luiz de Morais, da
Editora Saraiva.
Solução: Representando o total de alunos que inicialmente faziam parte da classe por a, segue que
o total de alunos que efetivamente contribuiram com a festa foi de a−7, depois que 7 deles deixaram
a escola. Como as despesas não foram alteradas depois da sáıda destes alunos, segue que o que os
alunos da classe iam arrecadar inicialmente ficou igual ao que os alunos restantes arrecadaram. Ou
seja,
135 a = (135 + 27)(a− 7)
Resolvendo essa equação obtemos
135 a = (135 + 27)(a− 7)
⇐⇒ 135 a = 162 (a− 7)
⇐⇒ 135 a = 162 a− 1134
⇐⇒ 135 a− 162 a = −1134
⇐⇒ −27 a = −1134
⇐⇒ a = −1134
−27
⇐⇒ a = 42.
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Métodos Determińısticos I EP2 14
Encontramos o total de alunos que dividiriam, inicialmente, o total das despesas; esse total é igual a
42 ·R$ 135, 00 = R$ 5670, 00.
Como o diretor contribuiu com R$ 630,00, essa despesa diminuiu para R$ 5040,00, montante que
deverá ser dividido entre os alunos restantes, ou seja, 42− 7 = 35 alunos.
Assim, temos que cada aluno participante da festa pagou
R$ 5040, 00
35
= R$ 144, 00.
Exerćıcio 10 Em uma cidade de 100 habitantes, são vendidas duas marcas de sabonetes, A e B.
Sabe-se que 12 pessoas compram ambas as marcas; que o número de pessoas que compra a marca
A é o triplo do que compra a marca B; e que apenas 16 pessoas não compram A e nem B.
Determine quantas pessoas compram apenas a marca A.
Solução: Vamos chamar de U o conjunto de todos os habitantes da cidade, de A o conjunto dos
compradores da marca A e de B o conjunto dos compradores da marca B.
A informação de que “12 pessoas compram ambas as marcas”, nos dá então que n(A ∩ B) = 12.
Além disso, como “apenas 16 pessoas não compram A e nem B”, temos n(U − (A ∪ B)) = 16.
Temos então o seguinte diagrama:
Se chamarmos de x o percentual de pessoas que compram exclusivamente a marca B, como no
diagrama abaixo,
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teremos n(B) = x+ n(A∩B) = x+12. Como o número de compradores da marca A é o triplo de
compradores de B, temos
n(A) = 3n(B) = 3 (x+ 12) = 3x+ 36.
Além disso, o número de compradores exclusivos da marca A serádado por
n(A)− n(A ∩B) = (3x+ 36)− 12 = 3x+ 24.
Reunindo todas as informações no diagrama, temos:
Com isso, podemos ver que
(3x+ 24) + 12 + x+ 16 = 100,
logo
4x = 100− 52 ∴ 4x = 48 · t ∴ x = 12.
O percentual de compradores exclusivos de A será então
n(A)− n(A ∩B) = 3 · 12 + 24 = 60.
Com isso, 60 pessoas compram apenas a marca A.
Exerćıcio 11 Na cidade de São Miguel de Longe à Beça, com população de 300 habitantes, circu-
lam apenas dois jornais, a Folha da Madrugada e o Correio da Noite Alta. Sabe-se que a Folha da
Madrugada possui o triplo de leitores que seu concorrente e que 50 pessoas são leitoras de ambos os
jornais. Sabe-se também que 150 pessoas não leem jornal algum.
a) Quantos moradores desta cidade leem apenas o Correio da Noite Alta?
b) Quantos leitores possui a Folha da Madrugada?
Solução:
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a) Vamos chamar de x o número de pessoas que leem apenas o Correio da Noite Alta. Assim, o
número de leitores deste jornal será dado por x + 50 (número de leitores exclusivos do Correio
somado ao número de leitores de ambos os jornais).
Desta forma, o número de leitores da Folha da Madrugada, que é o triplo do número de leitores
do Correio, será dado por 3(x+ 50) = 3x+ 150 e, com isso, o número de leitores exclusivos da
Folha será 3x+ 150− 50 = 3x+ 100. Temos então o seguinte diagrama:
Com isso,
(3x+ 100) + 50 + x+ 150 = 300,
logo
4x+ 300 = 300,
e então x = 0.
Portanto, ninguém lê apenas o Correio da Noite Alta!
b) Como vimos no item anterior, o número de leitores da Folha da Madrugada é dado por 3x+150 =
3 · 0 + 150 = 150.
Exerćıcio 12 Em uma turma, o número de alunos que não gostam de Matemática é o dobro do
número de alunos que gostam. Um terço dos que gostam de Matemática gostam também de Por-
tuguês. Sabe-se ainda que o número de alunos que gostam de Português é o dobro dos que gostam
de Matemática.
Representando por x o número de alunos que gostam de Matemática, preencha o diagrama abaixo
colocando, em cada parte, a fração de x correspondente.
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Solução: Como pede o enunciado, vamos representar por x o número de alunos que gostam de
Matemática. É dado que um terço dos alunos que gostam de Matemática, ou seja
x
3
, também
gostam de Português. Com isso, a interseção entre os conjuntos “Matemática”e “Português”do
diagrama é
x
3
.
Como o número de alunos que gosta de Matemática é x, dos quais
x
3
também gosta de Português,
o número de alunos que gosta apenas de Matemática é dado por
x− x
3
=
3x− x
3
=
2x
3
.
Preenchendo no diagrama, temos:
O número de alunos que gostam de Português é o dobro dos que gostam de Matemática, logo é
dado por 2x. Como a interseção entre os conjuntos é
x
3
, o número de alunos que gostam apenas de
Português é dado por
2x− x
3
=
6x− x
3
=
5x
3
.
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Preenchendo no diagrama:
O número de alunos que não gostam de Matemática é o dobro do número de alunos que gostam,
logo, 2x. Estes alunos correspondem à região destacada abaixo:
Destes, já conhecemos a quantidade que gosta de Português, dada por
5x
3
. Assim, aqueles que não
gostam nem de Matemática e nem de Português são dados por
2x− 5x
3
=
6x− 5x
3
=
x
3
.
Temos então o seguinte diagrama preenchido:
Exerćıcio 13 Na bolsa de valores de um determinado páıs, são negociadas ações de 150 empresas.
Estas empresas podem ter suas ações de posse do governo, de investidores privados ou de ambos.
Para as empresas negociadas nesta bolsa, há um projeto especial de investimentos chamado de
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Projeto Parceria, do qual só podem participar empresas que possuem ações com os investidores
privados e com o governo. Sabe-se ainda que:
i. 3/4 das empresas que podem participar do Projeto Parceria participam deste projeto;
ii. 1/3 das empresas que possuem ações com os investidores privados participam do Projeto Parceria;
iii. o número de empresas que possuem ações com o governo é o dobro do número das que não
possuem;
iv. toda empresa possui ações com o governo, com investidores privados ou com ambos, não havendo
empresas sem investidor.
a) Represente a situação por meio de um diagrama de Venn, chamando de P o conjunto de empresas
com ações na mão de investidores privados, de G o conjunto de empresas com ações na mão
do governo e de R o conjunto de empresas que participam do Projeto Parceria. Chame de x
o número de empresas que possuem ações tanto com o governo quanto com os investidores
privados. Escreva, em função de x, o número de empresas que participam do Projeto Parceria.
b) Escreva, em função de x, o número de empresas que possuem ações apenas com os investidores
privados.
c) Escreva, em função de x, o número de empresas que possuem ações apenas na mão do governo.
d) Determine o número de empresas que possuem ações tanto com o governo quanto com investidores
privados.
Solução:
a) Como só podem participar do Projeto Parceria as empresas que possuem ações com os investido-
res privados e com o governo, temos que o conjunto R das empresas que participam do Projeto
Parceria está contido na interseção do conjunto P de empresas com ações na mão de investidores
privados com o conjunto G de empresas com ações na mão do governo. Observe que não é
necessário representar um conjunto U que contenha os conjunto P , G e R, visto que não há
elementos fora da união de P e G, pois cada empresa possui ações na mão de investidores pri-
vados ou do governo. Representamos então, abaixo, a situação por meio de um diagrama de Venn.
De acordo com i), temos que 3/4 das empresas que podem participar do Projeto Parceria par-
ticipam deste projeto. Lembrando que só podem participar do Projeto Parceria as empresas na
interseção entre os conjuntos P e G, cujo número de elementos, conforme pedido, é x, temos
que o número de elementos do conjunto R é igual a 3/4 de x, isto é, 3x/4.
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b) Como o número de elementos do conjunto R é igual a 3x/4 e o número de elementos na interseção
de G com P é x, temos que o número de elementos do conjunto P ∩G−R é
x− 3x
4
=
4x
4
− 3x
4
=
x
4
.
Vamos agora chamar de p o número de elementos do conjunto P , isto é, o número de empresas
que possuem ações com os investidores privados. De acordo com ii), temos que 1/3 das empresas
que possuem ações com os investidores privados participam do Projeto Parceria. Temos, portanto,
que
1
3
· p = 3x
4
∴ p = 3 · 3x
4
=
9x
4
.
Queremos agora o número de empresas que possuem ações apenas com os investidores privados,
ou seja, o número de elementos do conjunto P − P ∩G, é igual a p− x. Como p = 9x
4
, temos
que o número de empresas que possuem ações apenas com os investidores privados é dado por
p− x = 9x
4
− x = 9x
4
− 4x
4
=
5x
4
.
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Métodos Determińısticos I EP2 21
c) Vamos chamar de g o número de elementos do conjunto G, isto é, o número de empresas que
possuem ações com o governo. De acordo com iii), temos que o número de empresas que
possuem ações com o governo é o dobro do número das que não possuem. Como o número de
empresas que não possuem ações com o governo é o número de elementos do conjunto P −P ∩G
e este número é
5x
4
, por iii), temos que
g = 2 · 5x
4
=
10x
4
.
Queremos agora o número de empresas que possuem ações apenas com o governo, ou seja, o
número de elementos do conjunto G − P ∩ G, é igual a g − x. Como g = 10x
4
, temos que o
número de empresas que possuem ações apenas com o governo é dado por
g − x = 10x
4
− x = 10x
4
− 4x
4
=
6x
4
.
d) Como o totalde empresas é de 150, pelo diagrama de Venn anterior, temos que
150 =
5x
4
+ x+
6x
4
=
5x
4
+
4x
4
+
6x
4
=
15x
4
,
de modo que
x = 150 · 4
15
= 40
Conclúımos assim que 40 empresas possuem ações tanto com o governo quanto com investidores
privados.
Exerćıcio 14 Para esta questão, considere as seguintes definições:
• O lucro obtido com uma venda é o preço de venda menos os custos envolvidos (custo de
fabricação ou aquisição junto a um fornecedor, impostos, etc).
• O ponto de equiĺıbrio financeiro (ou break-even, como é muito usual se dizer) é atingido
quando não há lucro ou prejúızo em uma determinada transação ou atividade.
Após um levantamento sobre o processo de fabricação e venda de um determinado produto, um
fabricante percebeu que:
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• Um terço do preço do preço pelo qual vende seus produtos às lojas é formado por impostos,
isto é, deve ser recolhido para o governo;
• O custo com matérias-primas, por unidade do produto, é de R$10,00;
• O pagamento de mão de obra, maquinário e instalações representa um gasto fixo mensal,
independente da quantidade fabricada, de R$100.000,00.
a) Determine a expressão do lucro L com a fabricação e venda de um produto, considerando apenas
o custo com matérias primas e impostos, tendo como variável o preço P de venda às lojas.
b) Determine a expressão que representa o lucro Lt mensal obtido com a fabricação e venda de N
unidades mensais do produto, vendidas às lojas pelo preço P . Para este lucro, considere os gastos
que incidem sobre cada unidade (matérias-primas e impostos) e os gastos fixos.
c) Para que o ponto de equiĺıbrio financeiro (break-even) seja atingido, quantas unidades precisam
ser produzidas em um mês, considerando-se que todas serão vendidas?
Solução:
a) Considerando a venda de apenas um produto, e sendo P seu preço de venda às lojas, pelo primeiro
item informado acima, os impostos correspondem a
1
3
P . Pelo segundo item, o custo com matérias
primas é de R$10,00. Com isso, o custo total é de C =
P
3
+ 10, logo, o lucro, em reais, obtido
na venda de um produto é dado por
L = P −
(
P
3
+ 10
)
= P − P
3
− 10 = 2P
3
− 10.
b) A venda de N unidades do produto pelo preço P resultará numa receita de Rt = N · P , e em
custos de Ct = N ·
(
P
3
+ 10
)
+ 100.000 (impostos e custo por unidade, adicionados do custo
fixo). Assim, o lucro total será de
Lt = Rt − Ct = NP −
[
N ·
(
P
3
+ 10
)
+ 100.000
]
= NP − NP
3
− 10N − 100.000.
∴ Lt =
2NP
3
− 10N − 100.000.
c) No ponto de equiĺıbrio financeiro, não há lucro ou prejúızo, isto é, Lt = 0. Mas
Lt = 0 ⇔
2NP
3
− 10N − 100.000 = 0
⇔ N
(
2P
3
− 10
)
= 100.000
⇔ N = 100.000
2P
3
− 10
⇔ N = 100.000
2P−30
3
⇔ N = 300.000
2P − 30
Assim, será necessário produzir
300.000
2P − 30
unidades. Note que isto só faz sentido para P > 15.
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