AP1-ALII-2014-2-gabarito

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – A´lgebra Linear II – 2014/2
Gabarito
Questa˜o 1 (3,0 pontos): Em cada item fac¸a o que se pede.
a) [1,2 pts] Seja T : R2 −→ R2 o operador linear tal que T (−1, 2) = (2,−4) e T (3, 1) = (15, 5).
a.1) [0,6 pt] Deˆ exemplo de uma base do R2 formada por autovetores de T , indicando os
respectivos autovalores.
a.2) [0,6 pt] Deˆ exemplos de uma matriz invers´ıvel P que diagonaliza T e da sua corres-
pondente matriz diagonal D.
b) [0,8 pt] Seja A ∈ M4(R) com dois autovalores distintos. Sabendo que um dos autoespac¸os
tem dimensa˜o 2 e que A e´ diagonaliza´vel, determine a dimensa˜o do outro autoespac¸o.
c) [1,0 pt] Determine a matriz que representa, na base canoˆnica do R2, a rotac¸a˜o de pi
2
seguida
da rotac¸a˜o de pi
6
, ambas no sentido anti-hora´rio.
Soluc¸a˜o:
a)
a.1) Como T (−1, 2) = (2,−4) = (−2)(−1, 2) e T (3, 1) = (15, 5) = 5(3, 1), enta˜o v1 = (−1, 2)
e´ autovetor de T associado ao autovalor λ1 = −2 e v2 = (3, 1) e´ autovetor de T associado ao
autovalor λ2 = 5. Logo,
β = {v1 = (−1, 2)︸ ︷︷ ︸
λ1=−2
, v2 = (3, 1)︸ ︷︷ ︸
λ2=5
}
e´ uma base do R2 formada por autovetores de T .
a.2) Tomamos β = {v1 = (−1, 2)︸ ︷︷ ︸
λ1=−2
, v2 = (3, 1)︸ ︷︷ ︸
λ2=5
}, a base de autovetores de T obtida no item
anterior.
Uma matriz P que diagonaliza T e´ P =
[
v1 v2
]
=
[
−1 3
2 1
]
, matriz de mudanc¸a de
base, da base β para a base canoˆnica do R2, cuja correspondente matriz diagonal e´ dada por
D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
−2 0
0 5
]
.
b) Sejam λ1, λ2 autovalores de A. Sem perda de generalidade, podemos supor mg(λ1) = 2.
Por hipo´tese, A e´ diagonaliza´vel, sendo assim, a multiplicidade geome´trica de cada autovalor e´
igual a sua multiplicidade alge´brica. Logo, a multiplicidade alge´brica de λ1 e´ igual a 2. Como
4 = dim(R4) = ma(λ1) +ma(λ2) = 2 +ma(λ2), temos que, ma(λ2) = 2.
Utilizando novamente o fato de que A e´ diagonaliza´vel, temos que mg(λ2) = ma(λ2) = 2.
Portanto a dimensa˜o do outro autoespac¸o e´ 2.
c) Sejam Rpi
2
e Rpi
6
, respectivamente, as rotac¸o˜es de pi
2
e de pi
6
, no sentido anti-hora´rio.
Seja R a rotac¸a˜o de pi
2
seguida da rotac¸a˜o de pi
6
(ambas no sentido anti-hora´rio). Enta˜o,
R = Rpi
6
Rpi
2
= Rpi
6
+
pi
2
= R 2pi
3
=
[
cos 2pi
3
− sen 2pi
3
sen 2pi
3
cos 2pi
3
]
=
[
−1
2
−
√
3
2√
3
2
−1
2
]
.
1
Questa˜o 2 (2,0 pontos): Consideremos o operador linear T : R3 −→ R3 cujo polinoˆmio
caracter´ıstico e´ p(λ) = (λ− 2)2(λ+ 4) com autoespac¸os
E(λ1 = 2) = {(x, y, z) ∈ R
3 ; x− y + 3z = 0 e x− 2z = 0} e
E(λ2 = −4) = {(x, y, z) ∈ R
3 ; x+ 3y − z = 0 e 2x+ y + 3z = 0}.
a) [1,6 pts] Determine as multiplicidades alge´brica e geome´trica dos autovalores de T e bases
para seus autoespac¸os.
b) [0,4 pt] A e´ diagonaliza´vel? Justifique a sua resposta.
Soluc¸a˜o:
a) Pelo polinoˆmio caracter´ıstico de T , a multiplicidade alge´brica de λ1 = 2 e´ 2 e a multiplicidade
alge´brica de λ2 = −4 e´ 1.
Para determinar as multiplicidades geome´tricas dos autovalores, devemos determinar as di-
menso˜es dos seus autoespac¸os.
– Base de E(λ1 = 2):
Devemos resolver o sistema linear x− y + 3z = 0 e x− 2z = 0. Reduzindo por linhas a` forma
em escada a matriz associada ao sistema, obtemos:[
1 −1 3
1 0 −2
]
L2←L2−L1∼
[
1 −1 3
0 1 −5
]
L1←L1+L2∼
[
1 0 −2
0 1 −5
]
.
Logo, x− 2z = 0 e y − 5z = 0.
E(λ1 = 2) = {(x, y, z) ∈ R
3 ; x− y + 3z = 0 e x− 2z = 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 2z = 0 e y − 5z = 0}
= {(2z, 5z, z) ; z ∈ R}
= {(2, 5, 1) z ; z ∈ R} .
Logo, {(2, 5, 1)} e´ uma base de E(λ1 = 2) e a multiplicidade geome´trica de λ1 = 2 e´ 1.
– Base de E(λ2 = −4):
Devemos resolver o sistema linear x + 3y − z = 0 e 2x + y + 3z = 0. Reduzindo por linhas a`
forma em escada a matriz associada ao sistema, obtemos:[
1 3 −1
2 1 3
]
L2←L2−2L1∼
[
1 3 −1
0 −5 5
]
L2←(− 15)L2
∼
[
1 3 −1
0 1 −1
]
L1←L1−3L2∼
[
1 0 2
0 1 −1
]
.
Logo, x+ 2z = 0 e y − z = 0.
E(λ2 = −4) = {(x, y, z) ∈ R
3 ; x+ 3y − z = 0 e 2x+ y + 3z = 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ 2z = 0 e y − z = 0}
= {(−2z, z, z) ; z ∈ R}
= {(−2, 1, 1)z ; z ∈ R}.
Logo, {(−2, 1, 1)} e´ uma base de E(λ2 = −4) e a multiplicidade geome´trica de λ2 = −4 e´ 1.
b) T na˜o e´ diagonaliza´vel, pois
na˜o e´ poss´ıvel construir uma base do R3 formada por autovetores de T
ou
a soma das multiplicidades geome´tricas dos autovalores de T e´ 1 + 1 = 2 < 3 = dimR3
ou
o autovalor λ1 = 2 e´ tal que multiplicidade geome´trica = 1 < 2 = multiplicidade alge´brica.
2
Questa˜o 3 (3,0 pontos): Seja A =

 1 8 01 −1 0
0 0 3

.
a) [2,4 pts] Determine os autovalores de A e bases para seus autoespac¸os.
b) [0,6 pt] A e´ diagonaliza´vel? Justifique a sua resposta.
Soluc¸a˜o:
a) O polinoˆmio caracter´ıstico de A e´:
p(λ) = det(λI3 − A)
= det

 λ− 1 −8 0−1 λ+ 1 0
0 0 λ− 3


= (λ− 3) det
[
λ− 1 −8
−1 λ+ 1
]
= (λ− 3)
(
(λ− 1)(λ+ 1)− 8
)
= (λ− 3)(λ2 − 9) = (λ+ 3)(λ− 3)2.
Os autovalores de A sa˜o λ1 = −3 e λ2 = 3.
Para determinar os autoespac¸os E(λ1) e E(λ2) devemos resolver os sistemas lineares ho-
mogeˆneos associados, respectivamente, a`s matrizes (−3)I3 −A e 3I3 − A.
Reduzindo por linhas a` forma escalonada a matriz (−3)I3 −A, obtemos:
−3I3 − A =

 −4 −8 0−1 −2 0
0 0 −6

 L1←− 14L1∼1

 1 2 0−1 −2 0
0 0 −6

 L2←L2+L1∼2

 1 2 00 0 0
0 0 −6

 L3←− 16L3∼3
 1 2 00 0 0
0 0 1

 L2↔L3∼4

 1 2 00 0 1
0 0 0

.
O sistema ((−3)I3 −A)

 xy
z

 =

 00
0

 e´ equivalente a

 1 2 00 0 1
0 0 0



 xy
z

 =

 00
0

, portanto
tem as mesmas soluc¸o˜es. Assim, x+ 2y = 0 e z = 0.
Logo,
E(λ1 = −3) = {(x, y, z) ∈ R
3 ; x+ 2y = 0 e z = 0}
= {(−2y, y, 0) ; y ∈ R}.
= {(−2, 1, 0)y ; y ∈ R}
Logo, β1 = {(−2, 1, 0)} e´ uma base de E(λ1 = −3).
Reduzindo por linhas a` forma escalonada a matriz 3I3 − A, obtemos:
3I3 − A =

 2 −8 0−1 4 0
0 0 0

 L1← 12L1∼1

 1 −4 0−1 4 0
0 0 0

 L2←L2+L1∼2

 1 −4 00 0 0
0 0 0

.
3
O sistema (3I3 − A)

 xy
z

 =

 00
0

 e´ equivalente a

 1 −4 00 0 0
0 0 0



 xy
z

 =

 00
0

, portanto
tem as mesmas soluc¸o˜es. Assim, x− 4y = 0.
Logo,
E(λ2 = 3) = {(x, y, z) ∈ R
3 ; x− 4y = 0}
= {(4y, y, z) ; y, z ∈ R}
= {(4y, y, 0) + (0, 0, z) ; y, z ∈ R}
= {(4, 1, 0)y + (0, 0, 1)z ; y, z ∈ R}
Logo, β2 = {(4, 1, 0), (0, 0, 1)} e´ uma base de E(λ2 = 3).
b) A e´ diagonaliza´vel, pois
β = β1 ∪ β2 = {(−2, 1, 0), (4, 1, 0), (0, 0, 1)} e´ uma base do R
3 formada por autovetores de A
ou
a soma das multiplicidades geome´tricas dos autovalores e´ 1 + 2 = 3 = dimR3
ou
multiplicidade alge´brica = multiplicidade geome´trica, para cada um dos autovalores.
Questa˜o 4 (2,0 pontos): Seja T : R2 −→ R2 a reflexa˜o com respeito a` reta de equac¸a˜o
3x− y = 0.
a) [0,6 pt] Deˆ exemplo de uma base do R2 formada por autovalores de T , indicando os auto-
valores.
b) [1,4 pts] Determine a matriz de T na base canoˆnica do R2.
Soluc¸a˜o:
a) Seja ℓ a reta de equac¸a˜o 3x− y = 0.
Como u = (1, 3) ∈ ℓ, enta˜o u gera ℓ e T (u) = u.
Como v = (3,−1) e´ ortogonal a u, enta˜o v e´ perpendicular a ℓ e T (v) = −v.
Assim, β = {v1 = u = (1, 3)︸ ︷︷ ︸
λ1=1
, v2 = v = (3,−1)︸ ︷︷ ︸
λ2=−1
} e´ uma base do R2 formada por autovetores da
reflexa˜o.
b) Tomamos a base β obtida no item anterior.
P =
[
v1 v2
]
=
[
1 3
3 −1
]
e´ a matriz de mudanc¸a de base, da base β para a base canoˆnica,
P diagonaliza T e a correspondentematriz diagonal e´ D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
1 0
0 −1
]
.
Temos que P−1 = − 1
10
[
−1 −3
−3 1
]
=
[
1
10
3
10
3
10
− 1
10
]
.
Logo, a matriz da reflexa˜o na base canoˆnica e´
A = PDP−1 =
[
1 3
3 −1
] [
1 0
0 −1
] [
1
10
3
10
3
10
− 1
10
]
=
[
1 3
3 −1
] [
1
10
3
10
− 3
10
1
10
]
=
[
− 8
10
6
10
6
10
8
10
]
.
4