AP1-ALII-2014-1-gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – A´lgebra Linear II – 2014/1
Gabarito
Questa˜o 1 (3,0 pontos): Em cada item fac¸a o que se pede.
a) [1,2 pts] Sejam P =
[
1 2
2 0
]
e D =
[
3 0
0 4
]
, tais que P diagonaliza o operador linear
T : R2 −→ R2 e sua correspondente matriz diagonal e´ D.
Deˆ exemplo de uma base do R2 formada por autovetores de T , indicando os respectivos auto-
valores, e determine a matriz A que representa T na base canoˆnica do R2.
b) [0,6 pt] Seja T : R3 −→ R3 um operador linear tal que o plano Π de equac¸a˜o x− y + z = 0
e´ o autoespac¸o associado ao autovalor 2. Determine T (1, 2, 1).
c) [1,2 pts] Seja A ∈ M4(R) com exatamente treˆs autovalores distintos. Sabendo que um dos
autoespac¸os tem dimensa˜o 1 e um dos outros tem dimensa˜o 2 determine se A e´ diagonaliza´vel.
Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o:
a) Como P diagonaliza o operador T e sua correspondente matriz diagonal e´ D, temos que
os vetores coluna da matriz P sa˜o autovetores de T associados aos autovalores λ1 = 3, λ2 = 4
respectivamente. Assim, β = {v1 = (1, 2)︸ ︷︷ ︸
λ1=3
, v2 = (2, 0)︸ ︷︷ ︸
λ2=4
} e´ uma base do R2 formada por
autovetores de T .
A matriz que representa T na base canoˆnica do R2 e´ dada por:
A = PDP−1, onde P =
[
1 2
2 0
]
, D =
[
3 0
0 4
]
e P−1 = −1
4
[
0 −2
−2 1
]
=
[
0 1
2
1
2
−1
4
]
.
Logo, A = PDP−1 =
[
1 2
2 0
] [
3 0
0 4
] [
0 1
2
1
2
−1
4
]
=
[
3 8
6 0
] [
0 1
2
1
2
−1
4
]
=
[
4 −1
2
0 3
]
.
b) Como o vetor (1, 2, 1) ∈ Π, temos que (1, 2, 1) pertence ao autoespac¸o associado ao autovalor
2. Logo, T (1, 2, 1) = 2(1, 2, 1) = (2, 4, 2).
c) Sejammg(λ) ema(λ), respectivamente, as multiplicidades geome´trica e alge´brica do autovalor
λ. Por hipo´tese, A possui treˆs autovalores distintos, digamos, λ1, λ2, λ3. Como o grau do
polinoˆmio caracter´ıstico e´ igual a 4, temos que um dos autovalores tem multiplicidade alge´brica
igual a 2. Sem perda de generalidade, podemos supor quema(λ1) = 2 , sendo assim, ma(λ2) = 1
e ma(λ3) = 1.
Sabemos que a multiplicidade geome´trica de qualquer autovalor e´ positiva e menor ou igual a
sua multiplicidade alge´brica, sendo assim,
1 ≤ mg(λ1) ≤ ma(λ1) = 2.
1 ≤ mg(λ2) ≤ ma(λ2) = 1.
1 ≤ mg(λ3) ≤ ma(λ3) = 1.
Assim, mg(λ1) = 1 ou mg(λ1) = 2, mg(λ2) = 1, mg(λ3) = 1.
Por hipo´tese, um dos autoespac¸os tem dimensa˜o 2, sendo assim, mg(λ1) = 2.
1
Portanto, A e´ diagonaliza´vel, pois a multiplicidade geome´trica de cada autovalor e´ igual a sua
multiplicidade alge´brica ou, equivalentemente, e´ poss´ıvel construir uma base do R4 formada
por autovetores de A, tomando β1∪β2∪β3, onde β1 = {v1, v2} e´ uma base de E(λ1), β2 = {v3}
e´ uma base de E(λ2) e β3 = {v4} e´ uma base de E(λ3).
Questa˜o 2 (2,0 pontos): Consideremos o operador linear T : R3 −→ R3 cujo polinoˆmio
caracter´ıstico e´ p(λ) = (λ− 3)(λ+ 2)2 com autoespac¸os
E(λ1 = 3) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 2y + 2z = 0 e x+ 2y + 4z = 0} e
E(λ2 = −2) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ y − 2z = 0}.
a) [1,6 pts] Determine as multiplicidades alge´brica e geome´trica dos autovalores de T e deˆ bases
para os seus autoespac¸os.
b) [0,4 pt] T e´ diagonaliza´vel? Justifique a sua resposta.
Soluc¸a˜o:
a) Pelo polinoˆmio caracter´ıstico de T , a multiplicidade alge´brica de λ1 = 3 e´ 1 e a multiplicidade
alge´brica de λ2 = −2 e´ 2.
Para determinar as multiplicidades geome´tricas dos autovalores, devemos determinar as di-
menso˜es dos seus autoespac¸os.
– Base de E(λ1 = 3):
Devemos resolver o sistema linear x − 2y + 2z = 0 e x + 2y + 4z = 0. Reduzindo por linhas a`
forma em escada a matriz associada ao sistema, obtemos:[
1 −2 2
1 2 4
]
L2←L2−L1∼
[
1 −2 2
0 4 2
]
L2←(1
4
)L2∼
[
1 −2 2
0 1 1
2
]
L1←L1+2L2∼
[
1 0 3
0 1 1
2
]
.
Logo, x+ 3z = 0 e y + 1
2
z = 0.
E(λ1 = 3) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 2y + 2z = 0 e x+ 2y + 4z = 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ 3z = 0 e y + 1
2
z = 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; x = −3z e y = −1
2
z}
=
{(−3z,−1
2
z, z
)
; z ∈ R}
=
{(−3,−1
2
, 1
)
z ; z ∈ R} .
Logo,
{(−3,−1
2
, 1
)}
e´ uma base de E(λ1 = 3) e a multiplicidade geome´trica de λ1 = 3 e´ 1.
– Base de E(λ2 = −2):
E(λ2 = −2) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ y − 2z = 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; x = −y + 2z}
= {(−y + 2z, y, z) ; y, z ∈ R}
= {(−y, y, 0) + (2z, 0, z) ; y, z ∈ R}
= {(−1, 1, 0)y + (2, 0, 1)z ; y, z ∈ R}.
Logo, {(−1, 1, 0) , (2, 0, 1)} e´ uma base de E(λ2 = −2) e a multiplicidade geome´trica de λ2 = −2
e´ 2.
b) T e´ diagonaliza´vel, pois a soma das multiplicidades geome´tricas e´ 1 + 2 = dimR3
ou a multiplicidade alge´brica de cada autovalor e´ igual a sua multiplicidade geome´trica
ou existe uma base de R3, a saber,
{(−3,−1
2
, 1
)
, (−1, 1, 0), (2, 0, 1)} formada por autovetores
de T .
2
Questa˜o 3 (3,0 pontos): Seja A =

 3 2 10 2 0
1 2 3

.
a) [2,4 pts] Determine os autovalores de A e bases para seus autoespac¸os.
b) [0,6 pt] Construa uma base do R3 formada por autovetores de A, indicando os autovalores.
Soluc¸a˜o:
a) O polinoˆmio caracter´ıstico de A e´:
p(λ) = det(λI3 −A)
= det

 λ− 3 −2 −10 λ− 2 0
−1 −2 λ− 3

 (desenvolvendo pela linha 2)
= (λ− 2) det
[
λ− 3 −1
−1 λ− 3
]
= (λ− 2)((λ− 3)(λ− 3)− 1) = (λ− 2)(λ2 − 6λ+ 9− 1)
= (λ− 2)(λ2 − 6λ+ 8) = (λ− 2)2(λ− 4).
Os autovalores de A sa˜o λ1 = 2 e λ2 = 4.
Para determinar os autoespac¸os E(λ1) e E(λ2) devemos resolver os sistemas lineares homo-
geˆneos associados, respectivamente, a`s matrizes 2I3 − A e 4I3 −A.
Reduzindo por linhas a` forma escalonada a matriz 2I3 − A, obtemos:
2I3 − A =

 −1 −2 −10 0 0
−1 −2 −1

 L1←(−1)L1∼1

 1 2 10 0 0
−1 −2 −1

 L3←L3+L1∼2

 1 2 10 0 0
0 0 0

.
O sistema (2I3−A)

 xy
z

 =

 00
0

 e´ equivalente a

 1 2 10 0 0
0 0 0



 xy
z

 =

 00
0

, portanto tem
as mesmas soluc¸o˜es. Assim, x+ 2y + z = 0.
Logo,
E(λ1 = 2) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ 2y + z = 0}
= {(−2y − z, y, z) ; y, z ∈ R}.
= {(−2y, y, 0) + (−z, 0, z) ; y, z ∈ R}
= {(−2, 1, 0)y + (−1, 0, 1)z ; y, z ∈ R}.
Logo, β1 = {(−2, 1, 0), (−1, 0, 1)} e´ uma base de E(λ1 = 2).
Reduzindo por linhas a` forma escalonada a matriz 4I3 − A, obtemos:
4I3 − A =

 1 −2 −10 2 0
−1 −2 1

 L2←( 12)L2∼1

 1 −2 −10 1 0
−1 −2 1

 L3←L3+L1∼2

 1 −2 −10 1 0
0 −4 0

 L3←L3+4L2∼3
 1 −2 −10 1 0
0 0 0

 L1←L1+2L2∼4

 1 0 −10 1 0
0 0 0

.
3
O sistema (4I3 − A)

 xy
z

 =

 00
0

 e´ equivalente a

 1 0 −10 1 0
0 0 0



 xy
z

 =

 00
0

, portanto
tem as mesmas soluc¸o˜es. Assim, x− z = 0 e y = 0.
Logo,
E(λ2 = 4) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− z = 0 e y = 0}
= {(z, 0, z) ; z ∈ R}
= {(1, 0, 1)z ; , z ∈ R}.
Logo, β2 = {(1, 0, 1)} e´ uma base de E(λ2 = 4).
b) Pelo item (a) β = {(−2, 1, 0), (−1, 0, 1), (1, 0, 1)} e´ uma base do R3 formada por autovetores
de A com os respectivos autovalores, λ1 = 2, λ2 = 2, λ3 = 4.
Questa˜o 4 (2,0 pontos): Determine a matriz que representa na base canoˆnica do R2 a reflexa˜o
com respeito a` reta gerada pelo vetor (1,
√
8).
Soluc¸a˜o:
Seja T a reflexa˜o com respeito a` reta gerada pelo vetor (1,
√
8).
Como u = (1,
√
8) gera a reta, temos que T (u) = u.
Como v = (
√
8,−1) e´ ortogonal a u, enta˜o v e´ perpendicular a` reta e T (v) = −v.
Assim, β = {v1 = u = (1,
√
8)︸ ︷︷ ︸
λ1=1
, v2 = v = (
√
8,−1)︸ ︷︷ ︸
λ2=−1
} e´ uma base do R2 formada por autovetores
da reflexa˜o.
P =
[
v1 v2
]
=
[
1
√
8√
8 −1
]
e´ a matriz de mudanc¸a de base, da base β para a basecanoˆnica,
P diagonaliza T e a correspondente matriz diagonal e´ D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
1 0
0 −1
]
. Temos
que P−1 = −1
9
[ −1 −√8
−√8 1
]
=
[
1
9
√
8
9√
8
9
−1
9
]
. Logo, a matriz da reflexa˜o na base canoˆnica e´
A = PDP−1 =
[
1
√
8√
8 −1
] [
1 0
0 −1
][
1
9
√
8
9√
8
9
−1
9
]
=
[
1 −√8√
8 1
][
1
9
√
8
9√
8
9
−1
9
]
=
[
−7
9
2
√
8
9
2
√
8
9
7
9
]
.
4