Cálculo Diferencial Integral

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia o texto: 
 
Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de 1 m³ de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado um material que custa R$ 10,00 o metro quadrado e na 
tampa material de R$ 20,00 o metro quadrado. 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre derivadas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, as 
dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado. 
Faça os cálculos utilizando duas casas decimais. 
 
Dados: π=3,14π=3,14. Volume do cilindro: V=πr2hV=πr2h. 
Nota: 10.0 
 A raio = 1,23 m e altura = 2,12 m 
 B raio = 2,23 m e altura = 3,12 m 
 C raio = 0,47 m e altura = 1,44 m 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
V=1⟹ π.r2.h=1⟹ 
h=1π.r2C=10.π.r2+10.2.π.r.h+20.π.r2C=30.π.r2+20.π.r.hC(r)=30.π.r2+20.π.r.1π.
r2C(r)=30.π.r2+20rCV=1⟹ π.r2.h=1⟹ 
h=1π.r2C=10.π.r2+10.2.π.r.h+20.π.r2C=30.π.r2+
20.π.r.hC(r)=30.π.r2+20.π.r.1π.r2C(r)=30.π.r2+2
0rC 
 
 D raio = 3,23 m e altura = 4,12 m 
 E raio = 4,23 m e altura = 5,12 m 
 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia o texto: 
 
Uma caixa de base quadrada, sem tampa, deve ter 1 m³ de volume. 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre derivadas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, as 
dimensões que exigem o mínimo de material. (Desprezar a espessura do material e as perdas na construção da caixa). 
Nota: 10.0 
 A 3,01 m e 4,89 m 
 B 4,23 m e 5,76 m 
 C 5,45 m e 6,54 m 
 D 1,26 m e 0,63 m 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Volume⟹ x2.y=1Área⟹ A=x2+4xyx2.y=1⟹ y=1/x2A(x)=x2+4.x.1/x2⟹ 
A(x)=x2+4/xA′(x)=0⟹ 2x−4/x2=0⟹ 2x3−4=0⟹ 
x3=2x=1,26my=0,63m(livro−base, p. 112)Volume⟹ 
x2.y=1Área⟹ A=x2+4xyx2.y=1⟹ 
y=1/x2A(x)=x2+4.x.1/x2⟹ 
A(x)=x2+4/xA′(x)=0⟹ 2x−4/x2=0⟹ 
2x3−4=0⟹ x3=2x=1,26my=0,63m(livro−base, 
p. 112) 
 E 2,98 m e 3,12 m 
 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia a passagem de texto: 
 
"Pelas regras de integração, sabemos que: 
 
∫1dx=x+C∫1dx=x+C" 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LEITE, Alvaro Emilio; CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Tópicos de cálculo I. 1ª 
ed. Intersaberes, 2017. p. 128. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da 
integral indefinida ∫5dx∫5dx . 
Nota: 10.0 
 A 5x + C 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
 A solução, de acordo com a regra citada, é 
imediata: 
 
∫5dx=5x+C(livro−base,p. 128)∫5dx=5x+C(livro−base,p. 
128) 
 
 B 5 + C 
 C 25x + C 
 D 125x + C 
 E 5x² + C 
 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia a citação: 
 
"Se f′′(x0)>0, então x0f″(x0)>0, então x0 é abscissa de um ponto de mínimo local de f(x), ... ." 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LEITE, Alvaro Emilio; CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Tópicos de cálculo I. 1ª 
ed. Intersaberes, 2017. p. 109. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre derivadas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a abscissa 
do ponto de mínimo local da função f(x)=x3−3x+1f(x)=x3−3x+1. 
Nota: 10.0 
 A 5 
 B 4 
 C 3 
 D 2 
 E 1 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
Cálculo dos números críticos: 
 
f'(x) = 0 
 
3x² - 3 = 0 
 
x² - 1 = 0 
 
x² = 1 
 
x' = - 1 
 
x'' = 1 
 
Teste da segunda derivada: 
 
f''(x) = 6x 
 
f''(-1) = - 6 < 0 máximo local 
 
f''(1) = 6 > 0 mínimo local 
 
a abscissa do ponto de mínimo local é igual a 1 
 
(livro-base, p. 109) 
 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia o texto: 
 
Para resolver a integral indefinida 
 
∫(3+7x2)9.5x dx∫(3+7x2)9.5x dx 
 
devemos fazer a substituição u = 3 + 7x². 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da 
integral dada. 
Nota: 10.0 
 A 57 .(3+7x2)9+C57 .(3+7x2)9+C 
 B 73 .(5+3x2)11+C73 .(5+3x2)11+C 
 C 35 .(7+3x2)8+C35 .(7+3x2)8+C 
 D 5140 .(3+7x2)10+C5140 .(3+7x2)10+C 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Aplicando a substituição, temos: 
 
∫(3+7x2)9.5x 
dxu=3+7x2→du=14xdx→114du=xdx114.5.∫u9du514.u1010+C5140.(3+7x2)10+C(livro
−base, p. 135)∫(3+7x2)9.5x 
dxu=3+7x2→du=14xdx→114du=xdx114.5.∫u9du
514.u1010+C5140.(3+7x2)10+C(livro−base, p. 
135) 
 
 E 73.(7+5x2)9+C73.(7+5x2)9+C 
 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia a citação: 
 
"Se f′′(x0)<0, então x0f″(x0)<0, então x0 é abscissa de um ponto de máximo local de f(x), ... ." 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LEITE, Alvaro Emilio; CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Tópicos de cálculo I. 1ª ed. Intersaberes, 2017. p. 109. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre derivadas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a abscissa 
do ponto de máximo local da função f(x)=x4−8x2+5f(x)=x4−8x2+5. 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão 
 A - 3 
Você assinalou essa alternativa (A) 
 B - 1 
 C 0 
Cálculo dos números críticos: 
 
f'(x) = 0 
 
4x³ - 16x = 0 
 
x³ - 4x = 0 
 
x(x² - 4) = 0 
 
x' = 0; x'' = - 2; x''' = 2 
 
Teste da segunda derivada: 
 
f''(x) = 12x² - 16 
 
f''(0) = - 16 < 0 (máximo local) 
 
0 (zero) é a abscissa do ponto de máximo local 
 
(livro-base, p. 109) 
 D 1 
 E 3 
 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia o texto: 
 
Considere a seguinte equação diferencial: 
 
f′(x)=6x2+x−5f′(x)=6x2+x−5 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da 
equação diferencial sujeita à condição inicial f(0)=2. 
Nota: 10.0 
 A f(x) = 2x³ 
 B f(x) = - 5x 
 C f(x) = 2 
 D f(x)=2x3+x22−5x+2f(x)=2x3+x22−5x+2 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Aplicando a integração indefinida, temos: 
 
∫f′(x)dx=∫6x2+x−5dxf(x)=2x3+x22−5x+Cf(0)=20+0−0+C=2→C=2f(x)=2x3+x22−5x
+2(livro−base, p. 
132)∫f′(x)dx=∫6x2+x−5dxf(x)=2x3+x22−5x+Cf(0
)=20+0−0+C=2→C=2f(x)=2x3+x22−5x+2(livr
o−base, p. 132) 
 
 E f(x) = x² 
 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia o texto: 
 
Considere a seguinte integral indefinida: 
 
∫tgxsecx dx∫tgxsecx dx 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da 
integral considerada. 
Nota: 10.0 
 A sen x + C 
 B tg x + C 
 C sec x + C 
 D cossec x + C 
 E - cos x + C 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
Escrevendo em função de seno e cosseno, 
temos: 
 
∫tgxsecx dx=∫cosx.senxcosx dx=∫senx dx=−cosx+C(livro−base, p. 
128)∫tgxsecx dx=∫cosx.senxcosx dx=∫senx 
dx=−cosx+C(livro−base, p. 128) 
 
 
 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia o texto: 
 
Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura de 5m e raio da base (isto é, do topo) de 1 m. O tanque se enche de água à taxa de 2m³/min. 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre derivadas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, com que 
velocidade sobe o nível da água no instante em que ela tem 3m de profundidade. 
Para os cálculos, utilize π=3,14π=3,14 . 
Nota: 10.0A 3,75 
 B 4 
 C 5,678 
 D 6 
 E 1,769 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
Dados do problema: 
 
dVdt=2 m3/mindhdt=?h=3 mrelação entre o raio e a 
altura:rh=15r=h5resolução:V=13.π.r2.h=13.π.(h/5)2.h=13.π.h225.h=175.π.h3dVdt=375.
π.h2.dhdt2=375.3,14.32.dhdt2=1,1304.dhdtdhdt=1,769(livro−base, p. 
92)dVdt=2 m3/mindhdt=?h=3 mrelação entre o 
raio e a 
altura:rh=15r=h5resolução:V=13.π.r2.h=13.π.(h/
5)2.h=13.π.h225.h=175.π.h3dVdt=375.π.h2.dhdt
2=375.3,14.32.dhdt2=1,1304.dhdtdhdt=1,769(liv
ro−base, p. 92) 
 
 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia o texto: 
 
Seja a seguinte equação: 
 
 
3x² + 4y² = 4. 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I sobre derivadas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, dydxdydx 
aplicando a derivação implícita. 
Nota: 10.0 
 A xyxy 
 
 B −3x4y−3x4y 
 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
Aplicando a derivação implícita, temos: 
 
3x² + 4y² = 4 
 
6x + 8yy' = 0 
 
8yy' = - 6x 
 
y′=−6x8yy′=−3x4y(livro−base, p. 
91)y′=−6x8yy′=−3x4y(livro−base, p. 91) 
 
 C yxyx 
 
 D 3/4 
 E - 3/4 
 
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia o texto: 
 
Seja a seguinte equação: 
 
 
3x² + 4y² = 4. 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I sobre derivadas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, dydxdydx 
aplicando a derivação implícita. 
Nota: 10.0 
 A xyxy 
 
 B −3x4y−3x4y 
 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
Aplicando a derivação implícita, temos: 
 
3x² + 4y² = 4 
 
6x + 8yy' = 0 
 
8yy' = - 6x 
 
y′=−6x8yy′=−3x4y(livro−base, p. 
91)y′=−6x8yy′=−3x4y(livro−base, p. 91) 
 
 C yxyx 
 
 D 3/4 
 E - 3/4 
 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia a citação: 
 
"Pelas regras de integração, sabemos que: 
 
∫xndx=xn+1n+1+C∫xndx=xn+1n+1+C" 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LEITE, Alvaro Emilio; CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Tópicos de cálculo I. 1ª 
ed. Intersaberes, 2017. p. 128. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da 
integral indefinida ∫x2/3dx∫x2/3dx . 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão 
 A x3/535+Cx3/535+C 
 B x5+Cx5+C 
 C x5/353+Cx5/353+C 
 
Aplicando a regra citada, temos: 
 
∫x2/3dx=x2/3+123+1+C=x5/353+C(livro−base, p. 
128)∫x2/3dx=x2/3+123+1+C=x5/353+C(livro−b
ase, p. 128) 
 
 D x³ + C 
 E x + C 
Você assinalou essa alternativa (E) 
 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia a citação: 
 
"[...] integral do produto entre uma constante e uma função é igual ao produto entre a constante e a integral da função: [...]". 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LEITE, Alvaro Emilio; CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Tópicos de cálculo I. 1ª 
ed. Intersaberes, 2017. p. 128. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da 
integral indefinida ∫3.x3dx∫3.x3dx . 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão 
 A 32 x3+C32 x3+C 
 
 B 34 x4+C34 x4+C 
 
Com base na citação, temos: 
 
∫3.x3dx=3.∫x3dx=3.x44+C(livro−base, p. 
129)∫3.x3dx=3.∫x3dx=3.x44+C(livro−base, p. 129) 
 
 C 23 x3+C23 x3+C 
 
 D 43 x3+C43 x3+C 
 
Você assinalou essa alternativa (D) 
 E 35 x3+C35 x3+C 
 
 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia o texto: 
 
Uma caixa de base quadrada, sem tampa, deve ter 1 m³ de volume. 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre derivadas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, as 
dimensões que exigem o mínimo de material. (Desprezar a espessura do material e as perdas na construção da caixa). 
Nota: 10.0 
 A 3,01 m e 4,89 m 
 B 4,23 m e 5,76 m 
 C 5,45 m e 6,54 m 
 D 1,26 m e 0,63 m 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Volume⟹ x2.y=1Área⟹ A=x2+4xyx2.y=1⟹ y=1/x2A(x)=x2+4.x.1/x2⟹ 
A(x)=x2+4/xA′(x)=0⟹ 2x−4/x2=0⟹ 2x3−4=0⟹ 
x3=2x=1,26my=0,63m(livro−base, p. 112)Volume⟹ 
x2.y=1Área⟹ A=x2+4xyx2.y=1⟹ 
y=1/x2A(x)=x2+4.x.1/x2⟹ 
A(x)=x2+4/xA′(x)=0⟹ 2x−4/x2=0⟹ 
2x3−4=0⟹ x3=2x=1,26my=0,63m(livro−base, 
p. 112) 
 E 2,98 m e 3,12 m 
 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia o texto: 
 
Admitindo que: 
 
 
eycosx=1+sen(xy)eycosx=1+sen(xy). 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I sobre derivadas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, dydxdydx 
por derivação implícita. 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão 
 A eysenx+ycos(xy)eycosx−xcos(xy)eysenx+ycos(xy)eyco
sx−xcos(xy) 
Desenvolvendo a equação, temos: 
 
eycosx=1+sen(xy)u=ey u′=eyy′v=cosx 
v′=−senx−eysenx+cosxeyy′=cos(xy).(xy′+y)−eysenx+cosxeyy′=xy′cos(xy)+ycos(
xy)cosxeyy′−xy′cos(xy)=ycos(xy)+eysenxy′=eysenx+ycos(xy)eycosx−xcos(xy)(livro−base
, p. 91)eycosx=1+sen(xy)u=ey u′=eyy′v=cosx 
v′=−senx−eysenx+cosxeyy′=cos(xy).(xy′+y)−ey
senx+cosxeyy′=xy′cos(xy)+ycos(xy)cosxeyy′−xy′
cos(xy)=ycos(xy)+eysenxy′=eysenx+ycos(xy)eyc
osx−xcos(xy)(livro−base, p. 91) 
 
 B eysenxeycosx−xcos(xy)eysenxeycosx−xcos(xy) 
 
 C ycos(xy)eycosx−xcos(xy)ycos(xy)eycosx−xcos(xy) 
 
Você assinalou essa alternativa (C) 
 D eysenx+ycos(xy)xcos(xy)eysenx+ycos(xy)xcos(xy) 
 
 E eysenx+ycos(xy)eycosxeysenx+ycos(xy)eycosx 
 
 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia o texto: 
 
Considere a seguinte integral indefinida: 
 
∫tgxsecx dx∫tgxsecx dx 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da 
integral considerada. 
Nota: 10.0 
 A sen x + C 
 B tg x + C 
 C sec x + C 
 D cossec x + C 
 E - cos x + C 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
Escrevendo em função de seno e cosseno, 
temos: 
 
∫tgxsecx dx=∫cosx.senxcosx dx=∫senx dx=−cosx+C(livro−base, p. 
128)∫tgxsecx dx=∫cosx.senxcosx dx=∫senx 
dx=−cosx+C(livro−base, p. 128) 
 
 
 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia a seguinte passagem de texto: 
 
"Em integrais do tipo ∫√a2+u2du∫a2+u2du usa-se o método de integração por substituição trigonométrica e um dos casos considera a situação representada na 
figura a seguir: 
 
 Nesse caso, u=atg(θ),du=asec2(θ)dθu=atg(θ),du=asec2(θ)dθ e √a2+u2=asec(θ)a2+u2=asec(θ), com −π2<θ<π2−π2<θ<π2" 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em Faccin, Giovani Manzeppi. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 170 
 
Considerando as discussões realizadas na Videoaula 03 - Integração por Substituição Trigonométrica da Aula 06 - Outras Técnicas de Integração, assinale a alternativa que 
apresenta o resultado da integral 
I=∫dx√(x2+3)3I=∫dx(x2+3)3: 
Nota: 10.0 
 A 3√x2+3+C3x2+3+C 
 B x2√x2+3+Cx2x2+3+C 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
Fazendo a substituição indicada no texto, 
obtemos: 
 
x2√x2+3+Cx2x2+3+C 
 
 
 C 2x√x2+3+C2xx2+3+C 
 D 5√x2+3+C5x2+3+C 
 E x25√x2+3+Cx25x2+3+C 
 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia o texto: 
 
Um carpinteiro recebeu a missão de construir uma caixa aberta de fundo quadrado. O material usado para fazer os lados da caixa custa R$ 3,00 o metro quadrado e 
o material usado para fazer o fundo custa R$ 4,00 o metro quadrado. 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerandoesta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre derivadas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, as 
dimensões da caixa de maior volume que pode ser construída por R$ 60,00. 
Faça os cálculos considerando três casas decimais. 
Nota: 10.0 
 A 1,123m e 0,456m 
 B 2,236m e 1,491m 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
V=x2yC=4x2+3.4xy=604x2+12xy=60x2+3xy=15y=15−x23xSubstituindo em V=x²y 
temos:V(x)=x2.(15−x23x)V(x)=15x23x−x43xV(x)=5x−x33V′(x)=05−x2=0x2=5x=2,236m
y=1,491m(livro−base,p.112)V=x2yC=4x2+3.4xy=604x2+1
2xy=60x2+3xy=15y=15−x23xSubstituindo em 
V=x²y 
temos:V(x)=x2.(15−x23x)V(x)=15x23x−x43xV(x
)=5x−x33V′(x)=05−x2=0x2=5x=2,236my=1,49
1m(livro−base,p.112) 
 C 3,456m e 2,789m 
 D 4,789m e 3,123m 
 E 5,012m e 4,024m 
 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia a citação: 
 
"Referimo-nos a qualquer um desses pontos como pontos críticos (pontos em que a derivada é igual a zero)." 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LEITE, Alvaro Emilio; CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Tópicos de cálculo I. 1ª 
ed. Intersaberes, 2017. p. 101. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre derivadas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, os três 
números críticos da função f(x)=x4−2x2+3f(x)=x4−2x2+3. 
Nota: 10.0 
 A 2, 3 e 4 
 B - 2, 2 e 3 
 C 0, - 1 e 1 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
Para calcularmos os números críticos, basta 
igualar a derivada da função a zero e resolver a 
equação. 
 
f(x)=x4−2x2+3f′(x)=04x3−4x=0x3−x=0x(x2−1)=0x=0⟹ x′=0x2−1=0 ⟹ x2=1 ⟹ 
x′′=−1 ⟹ x′′′=1(livro−base,p. 
101)f(x)=x4−2x2+3f′(x)=04x3−4x=0x3−x=0x(x2
−1)=0x=0⟹ x′=0x2−1=0 ⟹ x2=1 ⟹ x″=−1 ⟹ 
x‴=1(livro−base,p. 101) 
 
 D - 3, - 2 e 2 
 E - 4, - 3 e 4 
 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia o texto: 
 
Seja a integral indefinida: 
 
∫cos√x√x dx∫cosxx dx 
 
Para resolvê-la convém aplicar a regra da substituição. 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da 
integral dada. 
Nota: 10.0 
 A 2cos√x+C2cosx+C 
 
 B 2tg√x+C2tgx+C 
 
 C 2sen√x+C2senx+C 
 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
Utilizando a regra da substituição, temos: 
 
u=√x⇒du=12√x dx⇒2du=1√x dx2∫cosu du=2senu+C=2sen√x+C(livro−base, p. 
137)u=x⇒du=12x dx⇒2du=1x dx2∫cosu 
du=2senu+C=2senx+C(livro−base, p. 137) 
 
 D 2sec√x+C2secx+C 
 
 E 2cossec√x+C2cossecx+C 
 
 
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia a citação: 
 
"A integral de uma soma é igual à soma das integrais: [...]". 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LEITE, Alvaro Emilio; CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Tópicos de cálculo I. 1ª ed. Intersaberes, 2017. p. 129. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da integral indefinida 
∫3x2−5x+2 dx∫3x2−5x+2 dx . 
Nota: 10.0 
 A 3x² - 5x + 2 + C 
 B x³ - 5x + 2 + C 
 C x3−52 x2+2x+Cx3−52 x2+2x+C 
 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
Aplicando a propriedade citada, temos: 
 
∫3x2−5x+2 dx=3∫x2dx−5∫xdx+2∫dx=3.x33−5.x22+2x+C=x3−52 
x2+2x+C(livro−base, p. 129)∫3x2−5x+2 
dx=3∫x2dx−5∫xdx+2∫dx=3.x33−5.x22+2x+C=x
3−52 x2+2x+C(livro−base, p. 129) 
 
 D x³ - 2x² + 6 + C 
 E x² + 5x + 5 + C 
 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia a citação: 
 
"Para que a solução de uma equação diferencial que envolve problemas reais seja completamente definida, precisamos conhecer determinados valores da função, chamados condições iniciais 
do problema". 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LEITE, Alvaro Emilio; CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Tópicos de cálculo I. 1ª ed. Intersaberes, 2017. p. 131. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da equação diferencial f '(x) = 
12x² - 6x + 1, sujeita à condição inicial f (1) = 5 . 
Nota: 10.0 
 A f (x) = x³ + 3 
 B f (x) = x³ - 3 
 C f (x) = 4x³ + 3x + 1 
 D f (x) = 4x³ - 3x² + x + 3 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Aplicando a integral indefinida, temos: 
 
f′(x)=12x2−6x+1∫f′(x) dx=∫12x2−6x+1 
dxf(x)=4x3−3x²+x+Cf(1)=54.1³−3.1²+1+C=54−3+1+C=52+C=5⟹C=3f(x)=4x³−
3x²+x+3(livro−base, p.131)f′(x)=12x2−6x+1∫f′(x) 
dx=∫12x2−6x+1 
dxf(x)=4x3−3x²+x+Cf(1)=54.1³−3.1²+1+C=54
−3+1+C=52+C=5⟹C=3f(x)=4x³−3x²+x+3(livr
o−base, p.131) 
 
 E f (x) = 4x³ - 3x² + 4 
 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia o fragmento de texto: 
 
"Pelas regras de integração, sabemos que: 
 
∫exdx=ex+C∫exdx=ex+C" 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LEITE, Alvaro Emilio; CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Tópicos de cálculo I. 1ª ed. Intersaberes, 2017. p. 
128. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da integral indefinida 
∫x2ex3dx∫x2ex3dx . 
Faça a seguinte substituição: 
 u = x³ 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão 
 A 13 ex2+C13 ex2+C 
 B 3ex2+C3ex2+C 
 
 C ex2+Cex2+C 
 
Você assinalou essa alternativa (C) 
 D 3ex3+C3ex3+C 
 
 E 13 ex3+C13 ex3+C 
A partir da substituição sugerida, temos: 
 
u=x3⇒du=3x2dx⇒13du=x2dx13∫eudu=13eu+C=13ex3+C(livro−base, p. 
135)u=x3⇒du=3x2dx⇒13du=x2dx13∫eudu=13eu
+C=13ex3+C(livro−base, p. 135) 
 
 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia a citação: 
 
"Se f′′(x0)<0, então x0f″(x0)<0, então x0 é abscissa de um ponto de máximo local de f(x), ... ." 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LEITE, Alvaro Emilio; CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Tópicos de cálculo I. 1ª ed. Intersaberes, 2017. p. 109. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre derivadas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a abscissa do ponto de máximo local 
da função f(x)=x4−8x2+5f(x)=x4−8x2+5. 
Nota: 10.0 
 A - 3 
 B - 1 
 C 0 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
Cálculo dos números críticos: 
 
f'(x) = 0 
 
4x³ - 16x = 0 
 
x³ - 4x = 0 
 
x(x² - 4) = 0 
 
x' = 0; x'' = - 2; x''' = 2 
 
Teste da segunda derivada: 
 
f''(x) = 12x² - 16 
 
f''(0) = - 16 < 0 (máximo local) 
 
0 (zero) é a abscissa do ponto de máximo local 
 
(livro-base, p. 109) 
 D 1 
 E 3 
 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia a citação: 
 
"[...] integral do produto entre uma constante e uma função é igual ao produto entre a constante e a integral da função: [...]". 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LEITE, Alvaro Emilio; CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Tópicos de cálculo I. 1ª ed. Intersaberes, 2017. p. 
128. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da integral indefinida 
∫3.x3dx∫3.x3dx . 
Nota: 10.0 
 A 32 x3+C32 x3+C 
 
 B 34 x4+C34 x4+C 
 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
Com base na citação, temos: 
 
∫3.x3dx=3.∫x3dx=3.x44+C(livro−base, p. 
129)∫3.x3dx=3.∫x3dx=3.x44+C(livro−base, p. 129) 
 
 C 23 x3+C23 x3+C 
 
 D 43 x3+C43 x3+C 
 
 E 35 x3+C35 x3+C 
 
 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia o texto: 
 
Uma escada de 8 m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé daparede a uma velocidade constante de 2 m/s. 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre derivadas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, com que velocidade a extremidade 
superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede. 
Faça os cálculos considerando três casas decimais. 
Nota: 10.0 
 A - 1,354 
 B - 0,809 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
dados do problema:z=8m; dxdt=2m/s; dydt=?; x=3mcálculo de 
y:z2=x2+y264=9+y2y=7,416cálculo de 
dydt:x2+y2=z22xdxdt+2ydydt=02.3.2+2.7,416.dydt=012+14,832dydt=0dydt=−0,809m/
s(livro−base, p. 92)dados do problema:z=8m; 
dxdt=2m/s; dydt=?; x=3mcálculo de 
y:z2=x2+y264=9+y2y=7,416cálculo de 
dydt:x2+y2=z22xdxdt+2ydydt=02.3.2+2.7,416.d
ydt=012+14,832dydt=0dydt=−0,809m/s(livro−
base, p. 92) 
 
 C - 2,453 
 D - 3,972 
 E - 4,521 
 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia o texto: 
 
Considere a curva definida por 
 
 
x² + 2xy - y² + x = 2. 
 
 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre derivadas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, dydxdydx aplicando a derivação 
implícita. 
 
 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão 
 A dydx=−2x−2y−12x−2ydydx=−2x−2y−12x−2y 
Aplicando a derivação implícita, temos: 
 
x² + 2xy - y² + x = 2 
 
2x + 2xy' + 2y - 2yy' + 1 = 0 
 
(2x - 2y)y' = - 2x - 2y - 1 
 
dydx=−2x−2y−12x−2ydydx=−2x−2y−12x−2y 
 
(livro-base, p. 91) 
 B dydx=0dydx=0 
 
Você assinalou essa alternativa (B) 
 C dydx=xydydx=xy 
 
 D dydx=yxdydx=yx 
 
 E dydx=x+y−23x−3ydydx=x+y−23x−3y 
 
 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia o texto: 
 
Podemos expressar dydxdydx em termos de x e de y, em que y = f(x) é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação 
 
y3+x2y=x+4y3+x2y=x+4. 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre derivadas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, dydxdydx por derivação implícita. 
Nota: 10.0 
 A 1 - 2xy 
 B 3y² + x² 
 C 1−2xy3y2+x21−2xy3y2+x2 
 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
Considerando a equação 
 
y³ + x²y = x + 4, teremos: 
 
3y²y' + x²y' + y.2x = 1 + 0 
 
(3y² + x²).y' = 1 - 2xy 
 
y′=1−2xy3y2+x2y′=1−2xy3y2+x2 
 
(livro-base, p. 91) 
 D 1 
 E 0 
 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia a citação: 
 
"Pelas regras de integração, sabemos que: 
 
∫1x dx=ln|x|+C∫1x dx=ln|x|+C" 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LEITE, Alvaro Emilio; CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Tópicos de cálculo I. 1ª ed. Intersaberes, 2017. p. 
128. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da integral indefinida 
∫dx5−3x∫dx5−3x . 
Faça a seguinte substituição: 
 u = 5 - 3x 
Nota: 10.0 
 A −13 ln|5−3x|+C−13 ln|5−3x|+C 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Fazendo a substituição, temos: 
 
u=5−3x⇒du=−3dx⇒−13du=dx−13∫1u du=−13 ln|u|+C=−13 
ln|5−3x|+C(livro−base, p. 
135)u=5−3x⇒du=−3dx⇒−13du=dx−13∫1u 
du=−13 ln|u|+C=−13 ln|5−3x|+C(livro−base, p. 
135) 
 
 B −15 ln|5−3x|+C−15 ln|5−3x|+C 
 C −15 ln|−3x|+C−15 ln|−3x|+C 
 D −15 ln|5x|+C−15 ln|5x|+C 
 E −15 ln|3+5x|+C−15 ln|3+5x|+C 
 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
Leia a citação: 
 
"Pelas regras de integração, sabemos que: 
 
∫cosxdx=senx+C∫cosxdx=senx+C" 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LEITE, Alvaro Emilio; CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Tópicos de cálculo I. 1ª ed. Intersaberes, 2017. p. 
128. 
 
 
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da integral indefinida ∫cos3x 
dx∫cos3x dx . 
Faça a seguinte substituição: 
 u = 3x 
Nota: 10.0 
 A sen3x + C 
 B senx + C 
 C 3sen3x + C 
 D 13sen3x+C13sen3x+C 
 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Utilizando a substituição sugerida, temos; 
 
u=3x⟹du=3dx⟹13du=dx13∫cosu du=13senu+C=13sen3x+C(livro−base, p. 
135)u=3x⟹du=3dx⟹13du=dx13∫cosu 
du=13senu+C=13sen3x+C(livro−base, p. 135) 
 
 E 3senx + C