Equações Diferenciais Parciais

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EDAM7
Equações Diferenciais Parciais
Profa. Dra. Anna Karina Fontes Gomes
IFSP - Campus Cubatão
INSTITUTO FEDERAL
DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
São Paulo
Câmpus Cubatão
Equação Diferencial Parcial
◮ Uma Equação Diferencial Parcial (EDP) expressa relações
entre taxas de variação em relação à várias variáveis
◮ A forma geral de uma EDP para uma função
u(x1, x2, · · · , xn) é dada por
F
(
x1, · · · , xn, u,
∂u
∂x1
, · · · ,
∂u
∂xn
,
∂2u
∂x2
1
, · · · ,
∂2u
∂x1∂xn
, · · · ,
∂ku
∂xkn
)
= 0
em que x = (x1, · · · , xn) ∈ Ω, Ω é um subconjunto aberto de
R
n, F é uma função dada e u = u(x) é a função que
desejamos determinar.
Equação Diferencial Parcial
◮ Uma EDP é dita linear se é de primeiro grau em u e em
todas as duas derivadas parciais que ocorrem na equação
◮ Caso contrário, dizemos que a EDP é não linear
◮ A ordem de uma EDP é dada pela derivada parcial de
maior ordem que ocorre na equação
◮ Uma EDP é dita homogênea se o termo que não contém a
variável dependente é identicamente nulo
Equação Diferencial Parcial
◮ A parte da equação que contém as derivadas de maior
ordem determina, em muitos casos, propriedades das
soluções
◮ Essa parte é chamada parte principal da EDP
◮ Dentre as equações não lineares, as que têm parte
principal linear são chamadas semi-lineares.
Equação Diferencial Parcial - Exemplos
1. x
∂u
∂x
− y
∂u
∂y
= sin(xy )
2. ut = uxxx + uux Korteweg e deVries (KdV)
3. utt − uxx + sin u = 0 Sine-Gordon
4.
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= h(x , y ) Poisson
5.
∂u
∂t
= α2
∂2u
∂x2
 Eq. do Calor
6.
∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
 Eq. da Onda
Linearidade e Superposição
◮ Os conceitos a seguir são válidos para EDPs lineares de
qualquer ordem, mas falaremos de EDPs de primeira ou
segunda ordem para simplificar
◮ Seja x = (x1, · · · , xn). Consideramos uma equação do tipo
n
∑
i ,j=1
aijDiDju +
n
∑
j=1
bj (x)Dju + c(x)u + d (x) = 0
em que Dk são operadores de derivadas parciais na
variável xk , com k = 1, · · · , n.
Linearidade e Superposição
◮ Podemos reescrever a equação acima na forma
Lu = f ,
em que f = −d (x) e
(Lu)(x) =
n
∑
i ,j=1
aijDiDju +
n
∑
j=1
bj (x)Dju + c(x)u
◮ A cada função u suficientemente diferenciável, corresponde
uma única função Lu. Definimos então um operador L.
Linearidade e Superposição
◮ Seja Ω um subconjunto aberto de Rn e suponha que as
funções reais aij , bj e c são cont́ınuas em Ω. Então
L : C k (Ω) → C (Ω)
u 7→ Lu
◮ A terminologia operador é usada para enfatizar que a
função L está definida entre espaços de funções (L leva u
em Lu)
◮ Dizemos que L é um operador diferencial parcial
Linearidade e Superposição
◮ Considerando o caso homogêneo da EDP, temos a equação
Lu = 0
que é chamada equação homogênea associada à equação
Lu = f
◮ Se as funções u1, u2, · · · , um satisfazem Lu = 0 e
α1, α2, · · · , αm são escalares, então
u =
m
∑
j=1
αjuj (1)
também é solução da equação (Prinćıpio da superposição).
Linearidade e Superposição
◮ Podemos entender L como um operador linear definido em
um espaço vetorial de funções V , e as soluções u ∈ V da
equação Lu = 0 formam um subespaço de V .
◮ Ao contrário de EDOs lineares homogêneas, o espaço de
soluções de uma EDP pode ter dimensão infinita. Uma
EDP linear, inclusive, pode não ter solução.
Linearidade e Superposição
Proposição (Prinćıpio da Superposição)
Seja L um operador diferencial parcial linear de ordem k cujos
coeficientes estão definidos em um aberto Ω ⊆ Rn. Suponha
que {um}
∞
m=1 é um conjunto de funções de classe C
k em Ω
satisfazendo a EDP linear homogênea Lu = 0. Então, se
{αm}
∞
m=1 é uma sequência de escalares tal que a série
u(x) =
∞
∑
m=1
αmum(x)
é convergente e k vezes diferenciável termo a termo em Ω, u
satisfaz Lu = 0.
Condições de Contorno e Iniciais
◮ Quando impomos condições sobre o valor da solução e de
suas derivadas no bordo da região (condições de contorno),
temos o chamado problema de valores de contorno
◮ No caso de condições iniciais, como existe mais de uma
variável, é natural fixar uma das variáveis e impor o valor
da solução e de suas derivadas parciais em relação à
variável fixa.
◮ Vejamos alguns exemplos
Condições de Contorno e Iniciais - Exemplos
◮ Exemplo 1:
uy = 0, emR
2
u(0, y ) = f (y ), y ∈ R
◮ Exemplo 2
ut = α
2uxx , em (0, l ) × (0, +∞),
u(0, t) = 0 = u(l , t), t ≥ 0,
y (x , 0) = f (x), x ∈ [0, l ]
Condições de Contorno e Iniciais
◮ Dado um problema consistindo de uma EDP e condições
de contorno e/ou inciais, existem três questões
fundamentais
1. Existência de soluções
2. Unicidade de solução
3. Dependência da solução nos dados iniciais e/ou condições
de contorno
◮ Um problema para o qual valem existência, unicidade e
dependência cont́ınua nos dados iniciais e/ou de contorno,
é chamado problema bem posto. Caso contrário,
chamamos de problema mal posto
◮ Depender continuamente nos dados tem a ver com a ideia
de que pequenas variações nos dados implicam em
pequenas variações na solução.