lista-7-aulas_11-13

Prévia do material em texto

��
Lista de problemas 7
1) Numa rodovia de mão dupla um carro encontra-se 15m atrás de um ônibus (distância entre os pára-choques fronteiros de cada um), ambos trafegando com velocidades de módulo 72km/h. O motorista do carro deseja ultrapassar o ônibus e para isso imprime ao carro uma aceleração constante de módulo 3 m/s2. A FIG.1 mostra o instante (t=0) em que o motorista do carro começa a acelerar. Sejam sC(t) e sO(t) as funções que fornecem as coordenadas de posição do carro e do ônibus, respectivamente, para as escolhas de referência e convenção de sinais mostradas (R é coincidente com O em t=0). Despreze o desvio na trajetória do carro ao ultrapassar o ônibus, considerando-a retilínea. Os pontos C e O indicam pontos nos pára-choques do carro e do ônibus, respectivamente. Escala da FIG. 1: 1cm:10m. A velocidade do ônibus mantém-se constante.
a)Obtenha as funções sC(t) e sO(t) para t(0. Explique os sinais das grandezas velocidade e aceleração que aparecem nas expressões.
b)Determine o instante t1 em que o carro ultrapassa o ônibus; fazendo os cálculos necessários, marque na FIG.1 o ponto A onde isso ocorre. Dê a resposta com 3 dígitos.
c)Quanto tempo depois da ultrapassagem o motorista do carro retorna para sua mão sabendo que nesse instante êle está 15m adiante do ônibus? Resposta com 3 dígitos.
d)Num mesmo sistema de eixos posição-tempo, faça os gráficos sC-t e sO-t simplificados no intervalo 0≤t≤tf, onde tf é o instante em que o carro retorna para sua mão. Desenhe a reta tangente à curva sC(t) em t=0 e explique de que modo obteve sua inclinação. Indique os valores correspondentes a t=0, t = t1 e tf.
e)Em t=0, o motorista do carro viu à sua frente, numa distância D, um caminhão trafegando em sentido contrário, com velocidade constante de 72km/h (em módulo). Calcule D sabendo que o caminhão cruza com o carro no instante exato em que este retorna para sua mão.
				 
2) Após um impulso inicial (t = 0), um carrinho passa a mover-se num trilho horizontal sem atrito com velocidade inicial v(0) adquirida pelo impulso. O carrinho é sujeito à ação de um fio amarrado à sua haste e que tem um peso suspenso na outra extremidade. A ação do fio produz sobre o carrinho uma aceleração constante cujo módulo é de 150 cm/s2. O movimento do carrinho é estudado por um observador que usa a referência R e a convenção de sinais mostradas na FIG. 2. Em t=0 o carrinho encontra-se no ponto A. A curva mostrada na FIG. 3 representa a função s(t), modelo matemático para a coordenada de posição em função do tempo. No gráfico estão indicados alguns valores da coordenada s. Ao atingir o ponto B, o carrinho pára, 0,62s após iniciado o movimento. 
a) Diga quais são os sinais de v(0) e da aceleração a do carrinho. As justificativas devem ser dadas a partir das FIGs. 2 e 3 e escritas no quadro abaixo. 
b) Marque na FIG.3 o instante tB = 0,62s em que o carrinho pára. Justifique no quadro abaixo.
	colocação de tB no gráfico
	
c) Encontre o valor de v(0).
d)Dê os valores e as unidades das constantes α, ( e ( da função s(t) escrita como s(t) = α + (t + (t2. Escreva a forma final de s(t).
e)Quanto tempo depois de passar por B, o carrinho passa pela referência R? Qual é a velocidade vR quando o carrinho passa por R? Dê a velocidade com 3 dígitos. 
f)Marque na FIG.2 o ponto B em que o carrinho pára. Represente, usando setas ou pontos (nos casos em que a velocidade ou a aceleração são nulas): 
a velocidade do carrinho nos pontos A e B 
a aceleração do carrinho nos pontos A e B .
Escalas: distâncias, 1:10; velocidades, 1 cm : 30 cm/s; aceleração, 1 cm: 100 cm/s2
g)Quer-se fazer o gráfico da velocidade do carrinho para o intervalo 0 ≤ t≤ tR, onde tR é o instante de tempo em que o carrinho passa por R. Escolha, abaixo, a opção correta (I ou II), coloque o valor de v(0) e complete o gráfico.
										Resp.: opção I.
3) Um passageiro (ponto P) corre à velocidade v, constante, de módulo 6m/s, para pegar um trem que está inicialmente parado. A porta do trem mais próxima do passageiro (ponto T) encontra-se 18 m adiante dele no instante t=0. Nesse instante o trem dá a partida, afastando-se do passageiro com 
aceleração constante, de módulo 1,0 m/s2, durante todo o tempo em que se estuda o movimento de ambos. A FIG. 4 mostra a situação vista do alto, em t=0. Despreze a separação entre as retas-suporte das trajetórias de P e de T. As funções sP(t) e sT(t) descrevem, respectivamente, os movimentos do passageiro e do trem para a referência R e convenção de sinais mostradas na FIG. 4. 
a)São dadas as expressões 
sP(t) = a + bt + ct2 
sT(t) = α + (t + (t2
para descrever os movimentos do passageiro e do trem, respectivamente. Determine as constantes a, b, c, α, ( e (, explicando as passagens utilizadas. Escreva as funções na forma final.
b)Quanto tempo depois de iniciado o movimento do trem, o passageiro consegue pegá-lo (na porta T) ? Qual foi a distância percorrida pelo passageiro até esse instante?
c)Ao atingir a porta T, qual é a velocidade do passageiro, vP, e qual é a velocidade do trem, vT? 
d)Calcule tf, instante de tempo em que o trem (ponto T) chega ao final da plataforma, sabendo que esta encontra-se a 68 m da referência R.
e)Faça os gráficos simplificados de sP(t) e sT(t) no intervalo 0 ≤t≤tf. Use o mesmo sistema de eixos posição-tempo. Indique nos gráficos os pontos correspondentes a tp, instante em que o passageiro pega o trem, e tf.
f)Qual é a velocidade mínima que o passageiro pode ter para conseguir pegar o trem antes do fim da plataforama? Justifique sua resposta utilizando o gráfico feito em (e).
5)Para um certo observador, a função s(t) = 30 - 72t + 12000t2 (km,h) representa o movimento de um carro numa estrada retilínea entre t=0 e o instante tf em que este pára. 
a)Calcule:
o tempo decorrido até parar (resposta com 2 dígitos, em segundos).
											Resp.: 11 s
o deslocamento total (resposta em metros e com 3 dígitos). 
											Resp.: -108 m
a velocidade média nos primeiros 5s do movimento (resposta em km/h e com 2 dígitos.) 
											Resp.: -55 km/h.
b)Faça uma figura mostrando a reta suporte. Escolha um ponto qualquer R e a convenção de sinais, representando as escolhas feitas pelo observador. Marque as posições inicial, ponto i, e final, ponto f, do carro e represente a velocidade inicial, v(0). Escolha escalas para distâncias e velocidade apropriadas. 
6) Fazendo o limite da velocidade média entre t e t + (t quando (t tende para zero, mostre que para a função quadrática s(t) = a + bt + ct2 a velocidade instantânea em t é dada por v(t) = b + 2ct. Obs.: esta é a prova do procedimento usado na aula IX, Exercício 5 do livro texto para encontrar a derivada da soma de termos da função s(t) quadrática.
9) As coordenadas de posição de um corpo num movimento retilíneo, num dado t, para dois observadores usando a mesma convenção de sinais se relacionam através de s(t) = y(t) + sR´. Usando o limite da velocidade média entre t e t + (t quando (t tende para zero, mostre que a a relação entre as velocidades do corpo para os dois observadores é s´(t) = u´(t). Obs.: esse resultado foi usado na aula 13, Exercício 3 do livro texto).
 
- R +
FIG. 2
A
�
FIG. 3
 25
s(cm)
v(0) = 93 cm/s
s(t) = 25 +93 t -75 t2 (cm,s)
tempo = 0,85 s ; vR = -128 cm/s.
 
v(cm/s)
t(s)
0,62
v(cm/s)
t(s)
0,62
I
II
18 m
T
FIG. 4
- R +
P
 v
trem
plataforma
sP(t) = 
sT(t) = 18 + 0,5 t2 (m,s)
tempo = 6 sdistância percorrida = 36 m
vP = 6 m/s
vT = 6 m/s
(mesma velocidade, situação segura para o passageiro)
tf = 10s
15 m
C
O
- R +
FIG. 1
sC(t) = -15 +20 t +1,5 t2 (m,s)
sO(t) = 20 t (m,s)
t1 =3,16 s
Resp.: 1,31 s
D = D = 209 m
_1016437215.doc