AULA_11_ESTRUTURAS_DE_CONCRETO_ARMADO_I

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29/07/2021
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAMPA
CAMPUS DE ALEGRETE
Estruturas de 
Concreto Armado I
Curso: Engenharia Civil
Professor: Telmo E. C. Deifeld
AULA 11
ESTUDOS DA FLEXÃO – ARMADURA DUPLA
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 11 2
ESTUDO DA FLEXÃO 
ARMADURA DUPLA
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ESTUDOS DA FLEXÃO – ARMADURA DUPLA
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 11 3
Define-se seção com armadura dupla a seção que, além da
armadura resistente tracionada, contém também armadura
longitudinal resistente na região comprimida, ali colocada para
auxiliar o concreto na resistência às tensões de compressão.
A armadura dupla é um artifício que permite dimensionar as
seções cujas deformações encontram-se no domínio 4, sem que
haja a necessidade de se alterar algum dos parâmetros
inicialmente adotados.
A seção com armadura dupla surge como solução ao
dimensionamento anti-econômico e contra a segurança (ruptura
frágil, sem aviso prévio) proporcionado pelo domínio 4.
ESTUDOS DA FLEXÃO – ARMADURA DUPLA
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 11 4
O domínio 4 é evitado alterando-se a posição da linha neutra para
o limite entre os domínios 3 e 4, ou seja, com a linha neutra
passando por x34, no que resulta na máxima seção comprimida
possível no domínio 3.
Ao se fazer assim, a área de concreto comprimido não mais
considerada para a resistência da seção é “compensada” pelo
acréscimo de uma armadura longitudinal próxima à borda
comprimida, que irá auxiliar o concreto no trabalho de resistência
às tensões de compressão.
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ESTUDOS DA FLEXÃO – ARMADURA DUPLA
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 11 5
Na maioria dos casos da prática a necessidade de armadura dupla
surge nas seções sob momentos fletores negativos, nos apoios
intermediários das vigas contínuas.
Como os momentos fletores negativos são significativamente
maiores que os momentos fletores máximos positivos nos vãos,
eles requerem seções transversais com alturas bem maiores que
os momentos positivos.
Mas fixar a altura das vigas em função dos momentos negativos
aumenta o seu custo, pois se na seção de apoio a altura fixada é
a ideal, nas seções dos vãos a altura resulta exagerada.
Daí que uma solução simples e econômica pode ser fixar a altura
da viga de tal forma que resulte armadura dupla nos apoios e
armadura simples nos vãos.
ESTUDOS DA FLEXÃO – ARMADURA DUPLA
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 11 6
Seções Retangulares com ARMADURA SIMPLES
2
0 
1
2
c x cd s s
d c w x cd x
b d f A
M b d f
   

   
     −  =
 
=       −  
 
cu
y =  x 
z = d - y/2 
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ESTUDOS DA FLEXÃO – ARMADURA DUPLA
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Seções Retangulares com ARMADURA DUPLA
( )2
0 
1
2
c x cd s s s s
d c w x cd x s
b d f A A
M b d f A d d
    

    
      −  +  =
 
  =       −  +  − 
 
cu
y =  x 
y/2 
z = d - y/2 
z 
=
 d
 -
y
/2
ESTUDOS DA FLEXÃO – ARMADURA DUPLA
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 11 8
Seções Retangulares com ARMADURA DUPLA
✓ M34 – momento obtido impondo que a seção trabalhe no limite
entre os domínios 3 e 4; será resistido pelo concreto
comprimido e por uma armadura tracionada As34; a altura útil
real da peça pode ser entendida como sendo a altura útil
mínima para M34;
✓ M2 – Momento que será resistido por uma armadura
comprimida AS´ e, para que haja equilíbrio, por uma armadura
tracionada As2 (além de As34 já calculada para M34).
34 2dM M M= +
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ESTUDOS DA FLEXÃO – ARMADURA DUPLA
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 11 9
Seções Retangulares com ARMADURA DUPLA
34
c
x
c yd


 
=
+
34 34
34
- 1- .
2 2
s
yd x yd
M M
A
d x f d f
 

= =
   
   
   
2 34dM M M= −
( ) ( )2 2 sM R sd d d A d d    =  − =  −
CÁLCULO DOS MOMENTOS E DAS ARMADURAS
2
34 34 341
2
c w x cd xM b d f

   
 
=       −  
 
ESTUDOS DA FLEXÃO – ARMADURA DUPLA
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 11 10
Seções Retangulares com ARMADURA DUPLA
CÁLCULO DOS MOMENTOS E DAS ARMADURAS
Armadura tracionada total
Deformação específica da armadura comprimida
( )
34 2
1- .
2
s
s
x yd
M M
A
d d
d f
 

= +
 − 
 
 
( )34 34
cu s
X X d
  
=
−
( )34
34
cu
s
X d
X


−
 =
( )
2
2s
s
M
A
d d
=
 −
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 11 11
EXERCÍCIO 03 - reapresentado
Calcular a altura útil (d) e da área de aço (As) para seção
retangular cujos dados são os que seguem:
➢ Concreto C25
➢ Aço CA-50
➢ bw = 30 cm
➢ h = 45 cm
➢ Mk = 252 kN.m 2
0 
1
2
c x cd s s s s
d c w x cd x s
b d f A A
M b d f A
    

    
      −  +  =
 
 =       −  +  
 
cu
yd
’yd
x
Fyd' 50 kN/cm2 Geometria
Fyd 50 kN/cm2 h = 45 cm
Es = 210 Gpa bw = 30 cm
Fcd = 2.5 kN/cm2 L = m
0.9 d = 40.5 cm
alfa c = 0.85 d´= 3.5 cm
lamba = 0.8
Cargas
q= kN/m Combrimento = 2.5 cm
P = kN estribos = 0.5 cm
Mk = 252.00 kN.m x2 x1 x0
Md = 352.8 kN.m -0.4 1 -0.590441
Md = 35280.0 kN.cm Beta X1 0.9561 Beta X2 1.543935
Limite = 0.628
Beta X34 = 0.6280 d
M34= 28098.15 kN.cm X34 = 25.434 cm
As34 = 21.31 cm2
M2= 7181.85 kN.cm
Epsilon ´ = 3.0183612 ‰
Sigma S´= 43.478 kN/cm2
As´= 4.46 cm2
Ascomprimida = 4.46 cm2
As tracionada = 25.77 cm2
30.24 cm2
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 11 12
EXERCÍCIO 03
reapresentado
Lviga = cm
q = kN/m
d' = cm
bw = 30 cm
h = 45 cm
d = 40.5 cm
Aço = 50 kN/cm²
Fck = 25 MPa
Mx = 25200 kN.cm
Md = 35280 KN.cm
Fcd = 1.786 kN/cm²
Fyd = 43.478 kN/cm²
Bx1 = 1.5439
Bx2 = 0.9561 Dominio 4
x = 38.72 cm
Єs = 0.161 ‰
σsd = 3.378 kN/cm²
As = 417.61 cm²
En
co
n
tr
a 
o
 B
x 
e
 a
 á
re
a 
d
e
 a
ço
 (
A
s)
 -
 D
o
m
in
io
 4
Armadura simples
Armadura dupla
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7
Fyd' 50 kN/cm2 Geometria
Fyd 50 kN/cm2 h = 45 cm
Es = 210 Gpa bw = 30 cm
Fcd = 2.5 kN/cm2 L = m
0.8 d = 36.0 cm
alfa c = 0.85 d´= 3.5 cm
lamba = 0.8
Cargas
q= kN/m Combrimento = 2.5 cm
P = kN estribos = 0.5 cm
Mk = 252.00 kN.m x2 x1 x0
Md = 352.8 kN.m -0.4 1 -0.747277
Md = 35280.0 kN.cm Beta X1 #NÚM! Beta X2 #NÚM!
Limite = 0.628
Beta X34 = 0.6280 d
M34= 22201.00 kN.cm X34 = 22.608 cm
As34 = 18.94 cm2
M2= 13079.00 kN.cm
Epsilon ´ = 2.9581564 ‰
Sigma S´= 43.478 kN/cm2
As´= 9.26 cm2
Ascomprimida = 9.26 cm2
As tracionada = 28.20 cm2
37.45 cm2
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 11 13
EXERCÍCIO 03
reapresentado
Lviga = cm
q = kN/m
d' = cm
bw = 30 cm
h = 45 cm
d = 40.5 cm
Aço = 50 kN/cm²
Fck = 25 MPa
Mx = 25200 kN.cm
Md = 35280 KN.cm
Fcd = 1.786 kN/cm²
Fyd = 43.478 kN/cm²
Bx1 = 1.5439
Bx2 = 0.9561 Dominio 4
x = 38.72 cm
Єs = 0.161 ‰
σsd = 3.378 kN/cm²
As = 417.61 cm²
En
co
n
tr
a 
o
 B
x 
e
 a
 á
re
a 
d
e
 a
ço
 (
A
s)
 -
 D
o
m
in
io
 4
Armadura simples
Armadura dupla
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 11 14
Armadura calculada 
com d = 0,9h
Armadura calculada 
com d = 0,8h
Rsd2
d
Rcd
z1 = 30,32 cm 
Rs34
R’sd
z2 = d-d’
z2= 37 cm 
Rsd2
d
Rcd
z1 = 26,95 cm 
Rs34
R’sd
z2= 32,5 cm 
( )2
0 
1 '
2
c x cd s s s s
d c w x cd x s
b d f A A
M b d f A d d
    

    
      −  +  =
 
 =       −  +  − 
 
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EXERCÍCIOS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 11 15
Armadura calculada 
com d = 0,9h
Armadura calculada 
com d = 0,8h
30 cm
4
5
 c
m
Ft= 5,0 mm
c= 2,5 cm
30 cm
4
5
 c
m
Ft= 5,0 mm
c= 2,5 cm
6F= 20 mm
2F= 20 mm
2,40 cm
4,44 cm
5F= 12,5 mm
2,0 cm
d= 40,0 cm
d’= 3,625 cm
A’s= 6,14 cm2
As = 25,13 cm2
x = 0,567
Md= 352,51 kN.m6F= 20 mm
3F= 20 mm
5F= 20 mm
d= 39,67 cm
d’= 3,80 cm
A’s= 10,05 cm2
As = 28,27 cm2
x = 0,548
Md= 402,10 kN.m 
2,40 cm
4,00 cm
2,0 cm
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