Transp-Cap6

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Corrente elétrica 
Definição de corrente
Causa: diversidade de tipos de respostas elétricas dos materiais!
(capacidade de transportar cargas elétricas em seu interior:
condutores, dielétricos, semicondutores, supercondutores . . .)
⇒ GRANDE revolução tecnológica
metais são BONS condutores → cargas fluem facilmente (qualquer E)
corrente é facilmente analisada
corrente elétrica
{ → eletrotécnica, eletrônica e microeletrônica
(diversidade de aplicações!!)
⇓
Ex. motores elétricos, equipamentos de telecomunicações, 
aparelhos elétricos, o computador, etc., etc. . . .
(contra-exemplos: lâmpada de gás; relâmpago . . .)
No presente capítulo: atenção especial à corrente em metais.
“Controle” do movimento de cargas
 
Corrente elétrica 
Definição de corrente elétronscorrente
elétrica
 Icorrente de elétrons & corrente convencional
t
q
I
∆
∆
≡
Define-se corrente elétrica: 
carga deslocada por unidade de tempo
correntes se somam como grandezas 
algébricas, e não como vetores
I1
I2
I3
I I +I1 2 3= 
I1
I2 I3
I I +I1 2 3= 
unidade no SI:
segundo
coulomb 1 ampère 1 =
ampère é unidade básica no SI
→ coulomb é unidade derivada
1 coulomb = carga transferida em 1 segundo quando I = 1 ampère
 
Corrente elétrica 
Densidade de corrente
= corrente I através de uma superfície S =
= fluxo do vetor densidade de corrente j através de S
Corrente é carga fluindo ⇒ flui em uma certa direção
S
I d= ⋅∫ j A
AjAjEm um fio condutor
Se j é uniforme em toda a seção A do fio ⇒ I jA= ⋅j A =
direção da corrente I
módulo é I por unidade 
de área, em cada ponto
Em uma situação geral: considera-se elemento de área ∆A = n ∆A
nj j
A
I
j =
∆
∆
= ,
∴ está associada a um fluxo de uma grandeza vetorial
à densidade de corrente elétrica j :
unidade no SI: Am−2
(unitário, normal a A)
 
Corrente elétrica 
Lei de Ohm
Geralmente: existência de V ⇒ aparecimento de I
muitos objetos: I = I(V ) α V (linear)
→define-se resistência elétrica:
I
V
R =
Lei de Ohm: V= RI com R = constante
Resistor = qualquer elemento em um circuito que oferece resistência elétrica
Resistor ôhmico Resistor não ôhmico
símbolo:
volt
1 ohm =1
ampere
unidade no SI:
 
Corrente elétrica 
resistência elétrica R é propriedade extensiva: depende 
das dimensões do objeto
um fio de comprimento L tem resistência R; se L/2 ⇒ R/2; etc. 
um fio de seção reta de área A tem resistência R; se A/2 ⇒ 2R; etc. 
Resistividade elétrica ρ é propriedade intensiva:
NÃO depende das dimensões do objeto A
L
R ρ=
Usando I = j.A = j A e R = V / I →
L V V
j
A jA L
ρ ρ= ⇒ =
Mas V = E L e j é paralela a E → ρ j = E
Define-se condutividade elétrica σ = ρ −1
→ j = σ E
(Lei de Ohm na forma “microscópica e vetorial”)
Lei de Ohm
 
Corrente elétrica 
~10−8
10−3 a 106
1014 a 1017
Lei de Ohm
 
Corrente elétrica 
Ex.Exemp. 6.1 – Calcule o campo elétrico necessário para gerar uma corrente de 
40A em um fio de cobre de área de seção reta igual a 6,0mm2 .
Sol.– Tem-se ρ j = E ou ρ j = E com j = I / A = 40 A / 6,0 x10-6 m2
∴ j = 6,7 x 106 A/m2
m
V
11,0
m
A
107,6m
A
V
1069,1
2
68 =×××= −E
Usando-se ρ =1,69 x 10-8 Ω.m (tabela), 
encontra-se
____________________________________________________________
Ex. Exemp. 6.2 – Calcule a densidade de corrente através da camada do plástico 
que recobre um fio elétrico, sabendo-se que sua espessura é 0,5mm e a 
diferença de potencial entre seu exterior e seu interior é 220V.A resistividade 
do plástico é 5,0 x 1016 Ωm = 5,0 x 1016 (V/A)m
Sol.– Tem-se j = σ E. Na camada de plástico tem-se
E = V/d = 220V/(5 x 10-4m) = 4,4x105 V/m. Assim,
⇒ grande 
isolamento!
2
m
A
Vm
A
m
V 12
16
5
109
105
104,4j
−
×=
×
××=
Lei de Ohm
 
Corrente elétrica 
Potência dissipada em um resistor
Havendo V (p.ex. bateria) em um fio ⇒ força elétrica . . . ∴ corrente
∃ forças de “atrito” pois não há aceleração
cada elétron adquiriria energia eV (aumento da velocidade) mas . . .
e são “forçados” por E mas também são freados nas 
interações (“colisões”) com os átomos do material
∴ há dissipação na forma de calor.
→ efeito Joule
Potência: ∆W/∆t VI
t
qV
P =
∆
∆
= ou 2IRP = ou
R
V
P
2
=
Dissipação { Desejada: aquecedores; chuveiro elétrico; etc.Indesejada: rede de transmissão; circuitos eletrônicos; etc.
Ver ex.6.3
⇒
 
Corrente elétrica 
Combinações de resistores
V
R1 R2
Q: O que se pode dizer sobre a ddp V nos resistores?
Associação em série:
R: I1 = I2= I
Q: O que se pode dizer sobre a corrente nos resistores?
R: V = V1 + V2
Então: V = Req.I = V1 + V2 = R1I1 + R2I2 = (R1+R2 )I
Req. = R1 +R2
 
Corrente elétrica 
Combinações de resistores
Q: O que se pode dizer sobre a ddp V nos resistores?
Associação em paralelo:
R: I = I1 + I2
Q: O que se pode dizer sobre a corrente nos resistores?
R: V = V1 = V2
Então: V = Req.I com
V
R1
R2
)
11
(
2121 RR
V
R
V
R
V
I +=+=
21
111
RRR
+=
21
21
.eq RR
RR
R
+
=ou ⇒
 
Corrente elétrica 
Regras de Kirchoff
Circuito com várias fontes de tensão 
⇒ Regras de Kirchoff
∴não se pode resolver usando 
resistências equivalentes
→ solução mais complicada
Q: R1 e R2 estão em paralelo?
Q: O quê é uma malha?
Q: O quê é um nó?
1. A soma algébrica das variações de potencial 
em uma malha fechada é sempre nula 0=∑
malha
iV
2. Em um nó do circuito – pontos onde correntes se adicionam 
ou se subtraem – a soma das correntes que chegam é 
igual à soma das correntes que saem 0=∑
nó
iI
I1 I2
I3
R1 R2
R3
? 1
? 2
 
Corrente elétrica 
Regras de Kirchoff
0=∑
malha
iV
0=∑
nó
iI
1. Escolhe-se um sentido para cada corrente
2. Se percorre-se R no sentido de I
→ queda da tensão ∴ ∆V = – RI 
3. Se o valor encontrado para I < zero, troca-se 
o sentido. 
malha da esquerda: ? 1 – R3 I3 – R1 I1 = 0
malha maior: ? 1 – R3 I3 + ? 2 – R2 I2 = 0{
qualquer dos nós: I3 = I1 + I2
I1 I2
I3
R1 R2
R3
? 1
? 2
 
Corrente elétrica 
Regras de Kirchoff
Sol. – Em cada nó: I3 = I1 + I2
Exerc. 6.13 – Calcule I1 e I2, considerando
? 1 = 12,0 V; ? 1 = 6,0 V ;
R1 = R2 = 10,0 Ω e R3 = 5,0 Ω.
? 1 – R3 (I1 + I2) – R1 I1 = 0
? 1 – R3 (I1 + I2) + ? 2 – R2 I2 = 0{⇒
⇒{ I1 = 0,45A;I2= 10,5 A
I1 I2
I3
R1 R2
R3
? 1
? 2
5
15I12
R
)IR(R 
I 1
3
1311
2
−=+−ξ=
15
5I18
RR
IR 
I 1
32
1321
2
−=
+
−ξ+ξ=
 
Corrente elétrica 
Regras de Kirchoff
Exerc. 6.14 – Reescreva as equações para cada 
malha supondo que as duas baterias tenham 
resistências internas r1 e r2, respectivamente. I1 I2
I3
R1r1 R2
r2
R3
?1
?2
{
Sol. –
? 1 – (r1 + R3 ) (I1 + I2) – R1 I1 = 0
? 1 – R3 (I1 + I2) + ? 2 – (r2 + R2 ) I2 = 0
 
Corrente elétrica 
Modelo de Drude – 1900
(modelo clássico para condução em metais)
Anterior à mecânica quântica ⇒ não é completo.
→ elétrons de valência em um metal: 
movimento “quase livre” + colisões com átomos ionizados do sólido
A
B
O elétron movimenta-se entre os pontos A e B em zigue-
zague, sofrendo colisões com os íons ou com outro 
elétron (movimento difuso ou browniano). 
Na ausência de um campo elétrico externo, entre duas 
colisões, ele se move em linha reta.
⇒ velocidade (vetorial) média é nula.
Se ∃ E≠ zero ⇒ ∃ aceleração
e
m
= −
E
a
∴ velocidade vetorial média ≠ zero Ev τ
m
e
−=a
va = velocidade de arraste ou velocidade de deriva, e
τ = tempo médio entre duas colisões
 
Corrente elétrica 
Modelo de Drude – 1900
Densidade de corrente ? Vejamos . . . 
Em um intervalo de tempo ∆t , todos os 
elétrons contidos no volume V = A va ∆t
atravessam a seção indicada
⇒ número de elétrons ∆N que atravessa a seção num tempo ∆t é
∆N = n A va ∆t
sendo n a densidade de elétrons de condução do material (depende do no de 
elétrons de condução por cada átomo do material; ~ 1028 – 1029 m–3)
⇒ I = ∆q/∆t = e n A va; j = − e n va = n e2 τ E / m.
Lembrando que j = σ E ⇒
m
en τ
σ
2
= = condutividade de Drude
e, portanto, = tempo de relaxação de Drudeρ
στ 22 en
m
en
m
==
va
A
va∆t
 
Corrente elétrica 
Ex. Exemplo 6.8 – Calcule a velocidade de arraste dos elétronsnum fio de cobre 
com diâmetro de 1,0 mm quando há uma uma corrente de 2,0 A.
Sol. – Tem-se:
a
j I
en Aen
= =v
Usando-se o valor dado no livro 328 m1047,8 −×=n
e substituindo os valores numéricos, obtém-se
1
a 3 2 19 28 3
2,0Cs
0,19mm/s
3,14 (0,50 10 m) 1, 6 10 C 8.47 10 m
−
− − −= =× × × × × ×
v
 
Corrente elétrica 
Prob 6.9 –Calcule a resistência elétrica entre os pontos 
a e b da Figura
Sol – Temos dois conjuntos de dois resistores 
iguais em série, em paralelo entre si.
ba
R R
RR
Em cada conjunto: R´ = R + R = 2R ba
R´ = 2R
R´ = 2R
Então, agora: R´´ = (1/R´ + 1/R´) –1= R´/2 = R
ba
R´´ = R
 
Corrente elétrica 
Prob 6.13 –A Figura mostra 12 resistores com a mesma resistência R conectados 
de modo a formar um cubo. Uma tensão V é aplicada entre vértices opostos do 
cubo. 
(A) Usando simetria, mostre que em 6 dos resistores há uma corrente do mesmo 
valor I1 e que nos outros seis resistores a corrente de vale I1 / 2. 
V
0 a
b
R
I1 I2
V
I1 = 2I2 
Vê-se também que 
Itotal = 3 I1
 
Corrente elétrica 
V
0 a
b
R
Temos em qualquer trecho entre a e b:
Como I2 = I1 / 2
à V = R (5/2) I1 ⇒ I1 = 2V / 5R
I = 6V / 5R
V = Rab I = RI1 + RI2 + RI1 = R(I1 + I2 + I1)
e logo, sendo I = 3I1, ⇒
Prob 6.13 –A Figura mostra 12 resistores com a mesma resistência R conectados 
de modo a formar um cubo. Uma tensão V é aplicada entre vértices opostos do 
cubo. 
(A) Usando simetria, mostre que em 6 dos resistores há uma corrente do mesmo 
valor I1 e que nos outros seis resistores a corrente de vale I1 / 2. 
(B) Mostre que a corrente total de b para a vale 6V/5R.
I1 I2