Modelagem no Domínio do Tempo

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DESCRIÇÃO
Principais conceitos norteadores das especificações de sistemas pneumáticos, com foco nas características dos
compressores; atuadores pneumáticos e seus princípios de funcionamento; definições e princípios relacionados aos sistemas
de controle de circuitos pneumáticos, seguidos da descrição de seu funcionamento.
PROPÓSITO
Na execução do trabalho de um engenheiro, ferramentas são fundamentais. Diante disso, compreender a essência de seu
funcionamento é indispensável. Vamos aqui reconhecer os sistemas pneumáticos, especialmente os compressores, pois
diversas ferramentas e projetos de engenharia são compostos por tais sistemas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever o processo de conversão de funções de transferência para o espaço de estados
MÓDULO 2
Descrever o processo de conversão do espaço de estados para a função de transferência
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A REPRESENTAÇÃO DE UM SISTEMA NO DOMÍNIO DO
TEMPO

AVISO: orientações sobre unidades de medida.
AVISO
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e
didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo,
os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos
números e das unidades.
MÓDULO 1
 Descrever o processo de conversão de funções de transferência para o espaço de estados
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javascript:void(0)
A IMPORTÂNCIA DA REPRESENTAÇÃO DOS SISTEMAS
FÍSICOS NO ESPAÇO DE ESTADOS
INTRODUÇÃO À REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE
ESTADOS
A representação no espaço de estados é fundamental para o desenvolvimento de sistemas de automação e controle de
processos físicos. Para esse tipo de representação se torna necessário selecionar um subconjunto específico definido a partir
de todas as variáveis do sistema físico, para a formação de um conjunto específico denominado variáveis de estado.
Por meio da representação no espaço de estados, é possível descrever um sistema de ordem n, por meio de n equações de
primeira ordem simultâneas em termos de variáveis de estado.
Vale ressaltar aqui a importância das condições iniciais. Conhecendo os valores das variáveis de estado para a condição
inicial t(0) e para os instantes t > t(0), é possível calcular os valores para todos os outros instantes de tempo t1 > t 0 .( )
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Por meio da representação no espaço de estados, pode-se definir a saída do sistema por meio de uma combinação algébrica
entre as variáveis de estado e as de entrada. De maneira geral, essa representação é definida pelas equações de estado em
conjunto com as equações de saída.
A representação geral no espaço de estados pode ser descrita por meio do seguinte sistema:
Ẋ(T) = AX(T) + BU(T)
Y(T) = CX(T) + DU(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
x(t) é o vetor das variáveis de estado.
y(t) são as saídas do sistema.
ẋ(t) é o vetor da derivada das variáveis de estado.
u(t) é (são) a(s) entrada(s) do sistema.
A é a matriz de estado.
B é a matriz de entrada.
C é a matriz de saída.
D é a matriz de alimentação direta.
Fazendo um paralelo entre a representação no espaço de estados e o circuito elétrico da imagem a seguir, é possível
identificar cada um dos vetores e matrizes que compõem a representação geral de espaço de estados. Considere que a
tensão no capacitor vc t seja a saída do sistema e a tensão da fonte (v(t)), a entrada.( ( ))
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 Circuito elétrico
∂DI ( T )
∂T
∂VC ( T )
∂T
=
−R /L −1/L
1/C 0
I(T)
VC(T)
+
1/L
0 V(T)
Y(T) = 0 1
I(T)
VC(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse exemplo, a matriz de alimentação direta (D) é nula, tendo em vista que não há uma relação direta entre a entrada e a
saída.
Algumas definições são importantes para a representação adequada de um sistema no espaço de estados:
Combinação
linear
deve ser possível escrever o sistema como uma combinação linear das variáveis de estado que
o compõem.
Independência
linear
ao menos um conjunto de variáveis que compõem o sistema deve ser linearmente
independente, ou seja, nenhuma das variáveis desse conjunto pode ser escrita como uma
combinação linear das outras.
Variáveis do
sistema
denominação de qualquer variável que responda a uma entrada ou as condições iniciais do
sistema.
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ]
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Variáveis de
estado
corresponde ao menor conjunto linearmente independente de variáveis do sistema.
Vetor de estado vetor cujos elementos são variáveis de estado.
Espaço de
estados
espaço com dimensão n cujos eixos são as variáveis de estado.
Equação de
estado
conjunto de n equações diferenciais de primeira ordem, simultâneas, com n variáveis, em que
essas n variáveis a serem resolvidas são as variáveis de estado.
Equação de
saída
equação algébrica que exprime as variáveis de saída do sistema como uma combinação linear
das variáveis de estado e das entradas do sistema.
 VOCÊ SABIA
A independência linear é tão importante que é vista como uma das regras para a escolha das variáveis de estado. Nenhuma
variável de estado pode ser representada como uma combinação linear das outras variáveis de estado.
TRANSFORMAÇÃO DE UMA FUNÇÃO DE
TRANSFERÊNCIA PARA REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO
DE ESTADOS
Uma função de transferência estabelece uma relação matemática entre a entrada e a saída de um sistema físico.
Não há uma regra única ou um conjunto de regras definido para se transformar, em equações de estado, sistemas descritos
por meio de funções de transferência.
Por exemplo, suponha o sistema de ordem três definido pela equação diferencial:
⃛
Y + 12Ÿ + 20Ẏ = 80U
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A função de transferência do mesmo é definida por:
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G(S) =
80
S(S + 2)(S + 10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível definir ao menos três formulações (metodologias) diferentes em equações de estado desse sistema.
PRIMEIRA METODOLOGIA
A primeira metodologia envolve a aplicação da transformada inversa de Laplace.
Em um primeiro momento, deve-se observar a função de transferência na forma abaixo:
G(S) =
80
S3 + 12S2 + 20S
=
C(S)
R(S)
S3 + 12S2 + 20S C(S) = 80R(S)
S3C(S) + 12S2C(S) + 20SC(S) = 80R(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplica-se a transformada de Laplace inversa. Vale destacar que as condições iniciais devem ser consideradas nulas:
⃛
C + 12C̈ + 20Ċ = 80R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
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Em seguida, deve-se selecionar um conjunto de variáveis de estado (vetor de variáveis de estado):
C̈ + 12C̈ + 20Ċ = 80R
 VARIÁVEIS DE FASE 
X1 = C
X2 = Ċ
X3 = C̈
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
As variáveis de fase definem que cada variável de estado subsequente é a derivada da variável de estado anterior, ou seja, x2
é a derivada de x1.
Agora é preciso derivar as variáveis de fase para chegar à ordem da equação diferencial:
 VARIÁVEIS DE FASE 
X1 = C
X2 = Ċ
X3 = C̈
{
{
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 DERIVADAS DAS VARIÁVEIS DE FASE 
Ẋ1 = Ċ
Ẋ2 = C̈
Ẋ3 =
⃛
C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, pode-se comparar a equação diferencial da função de transferênciacom as derivadas das variáveis de fase:
⃛
C + 12C̈ + 20Ċ = 80R
⃛
C = − 12C̈ − 20Ċ + 80R
 DERIVADAS DAS VARIÁVEIS DE FASE 
Ẋ1 = Ċ = X2
Ẋ2 = C̈ = X3
Ẋ3 = C̈ = − 12C̈ − 20Ċ + 80R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A saída, por sua vez, será definida como a primeira variável de fase:
Y = C = X1
{
{
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 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, montam-se as equações do espaço de estados com a seguinte estrutura:
Ẋ1
Ẋ2
Ẋ3
=
0 1 0
0 0 1
C̈ Ċ C
X1
X2
X3
+
0
0
K
V(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que x1 = c e c(t) é a saída da função de transferência, pode-se definir a saída das equações de estado como:
Y(T) = C(T) = 1 0 0
X1
X2
X3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, montam-se as matrizes com a equação diferencial encontrada:
Ẋ3 =
⃛
C = − 12C̈ − 20Ċ + 80R
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ]
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Ẋ1
Ẋ2
Ẋ3
=
0 1 0
0 0 1
0 −20 −12
X1
X2
X3
+
0
0
80
R
Y(T) = 1 0 0
X1
X2
X3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As matrizes de estado, então, são as seguintes:
A =
0 1 0
0 0 1
0 −20 −12
B =
0
0
80
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ]
[ ]
[ ]
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C = 1 0 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 VOCÊ SABIA
A matriz A está na forma canônica companheira (inferior), também chamada de matriz companheira da equação característica.
SEGUNDA METODOLOGIA
A segunda metodologia leva em consideração a divisão da função de transferência que representa o modelo matemático do
sistema em um produto de frações que compõem a função.
Como exemplo, considere a mesma função de transferência do sistema representado na metodologia anterior:
G(S) =
80
S(S + 2)(S + 10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em um primeiro momento, faz-se a separação da função de transferência em frações:
G(S) =
80
S(S + 2)(S + 10) =
5
S
⋅
4
(S + 2) ⋅
4
(S + 10) =
Y(S)
U(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em seguida, agrupam-se as funções em variáveis de estado da seguinte maneira:
X1(S)
U(S) =
5
S
[ ]
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X2(S)
U(S) =
5
S
⋅
4
(S + 2)
X3(S)
U(S) =
5
S ⋅
4
(S + 2) ⋅
4
(S + 10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, então, ficam definidas as variáveis de estado:
X1(S) =
5U ( S )
S
X2(S) =
20U ( S )
S ( S + 2 )
X3(S) = G(S) ⋅ U(S) = Y(S) =
80U ( S )
S ( S + 2 ) ( S + 10 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir daí, é possível definir as derivadas das variáveis de fase da seguinte forma:
SX1(S) = 5U(S)
(S + 2)X2(S) = 4 ⋅
5U ( S )
S = 4 ⋅ X1(S)
(S + 10)X3(S) = 4 ⋅
20U ( S )
S ( S + 2 ) = 4 ⋅ X2(S)
{
{
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 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace, pode-se escrever a relação entre as variáveis de estado e as derivadas das
variáveis de fase:
SX1(S) = 5U(S)
(S + 2)X2(S) = 4 ·
5U ( S )
S = 4 · X1(S)
S + 10 X3(S) = 4 ·
20U ( S )
S ( S + 2 ) = 4 · X2(S)
=
Ẋ1 = 5U
Ẋ2 = 4X1 - 2X2
Ẋ3 = 4X2 - 10X3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir das equações de estado definidas pelo desenvolvimento superior, é possível elaborar outra formulação em equações
de estado desse sistema, como pode ser observado a seguir:
Ẋ1
Ẋ2
Ẋ3
= A
X1
X2
X3
+ BU(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como definido anteriormente:
X3(S) = G(S) ⋅ U(S) = Y(S) =
80U(S)
S(S + 2)(S + 10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde se observa que:
{ ( ) {
[ ] [ ]
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X3(S) = Y(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace:
X3(T) = Y(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a matriz de saída do espaço de estados é definida por:
Y(T) = 0 0 1
X1
X2
X3
+ 0. U(T)
Y(T) = 0 0 1
X1
X2
X3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde a matriz de realimentação direta (D) é definida como nula.
Como a variável de estado ẋ1 é definida apenas pela entrada 5u(t), pode ser escrita como:
[ ][ ]
[ ][ ]
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Ẋ1
Ẋ2
Ẋ3
=
0 0 0
X2
X3
X1
X2
X3
+
5
0
0
U(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A variável de estado ẋ2 é definida pela equação diferencial 4x1 - 2x2 e pode ser escrita como:
Ẋ1
Ẋ2
Ẋ3
=
X1
4 −2 0
X3
X1
X2
X3
+
0
0
0
U(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já a variável de estado ẋ3 é definida pela equação diferencial 4x2 - 10x3 e pode ser escrita como:
Ẋ1
Ẋ2
Ẋ3
=
X1
X2
0 4 −10
X1
X2
X3
+
0
0
0
U(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, o sistema de equações de estado completo pode ser definido por:
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
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Ẋ1
Ẋ2
Ẋ3
=
0 0 0
4 −2 0
0 4 −10
X1
X2
X3
+
5
0
0
U(T)
Y(T) = 0 0 1
X1
X2
X3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível observar que as equações de estado do sistema definido na primeira metodologia são diferentes das equações de
estado definidas pela segunda metodologia, embora o sistema representado e as equações diferenciais sejam os mesmos.
TERCEIRA METODOLOGIA
Uma terceira metodologia pode ser implementada para a conversão das funções de transferência nas equações de estado do
sistema. Ela possibilita essa conversão por meio do uso do conceito das frações parciais, que você verá a seguir.
Considere a fração racional:
F(T) =
F(T)
G(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde f(t) e g(t) são polinômios com coeficientes reais e o grau de f(t) é menor que o grau de g(t), ou seja, qualquer
simplificação não é mais possível.
Se o polinômio g(t) pode ser decomposto como:
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ]
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G(T) = T − A1 N1… T − AK NK T
2 + B1T + C1
M1 … T2 + BLT + CL
ML
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pode-se supor que g(t) tem somente raízes reais simples:
G(T) = T − A1 … T − AK
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com ai ∈ ℝ distintos, para i = 1, …, k.
Assim, é possível determinar os valores escalares que permitem escrever a função de transferência como:
F(T) =
F(T)
G(T) =
K
∑
I = 1
ΑI
T − AI
=
Α1
T − A1
+ ⋯ +
ΑK
T − AK
(EQUAÇÃO 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Reescrevendo-se a fração parcial definida por:
F(T) =
F(T)
G(T) → F(T) = F(T) ⋅ G(T)
(EQUAÇÃO 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
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Substitui-se a Equação 1 na Equação 2, obtendo-se:
F(T) =
K
∑
I = 1
ΑIPI(T) = Α1P1(T) + ⋯ + ΑKPK(T)
(EQUAÇÃO 3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para aplicar a terceira metodologia de conversão, em um primeiro momento, faz-se a separação da função de transferência
em frações parciais, como pode ser visto aseguir:
G(S) =
80
S(S + 2)(S + 10) =
A
S +
B
(S + 2) +
C
(S + 10) =
Y(S)
U(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando o conceito de frações parciais, define-se o denominador comum entre elas, ou seja:
80
S(S + 2)(S + 10) =
A
S / (S + 2) ⋅ (S + 10) +
B
(S + 2) /S ⋅ (S + 10) +
C
(S + 10) /S ⋅ (S + 2)
80
S(S + 2)(S + 10) =
A ⋅ (S + 2) ⋅ (S + 10)
S(S + 2)(S + 10) +
B ⋅ (S) ⋅ (S + 10)
S(S + 2)(S + 10) +
C ⋅ (S + 2) ⋅ (S)
S(S + 2)(S + 10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa maneira, resolvendo as equações, tem-se:
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
80 = A ⋅ (S + 2) ⋅ (S + 10) + B ⋅ (S) ⋅ (S + 10) + C ⋅ (S + 2) ⋅ (S)
80 = A ⋅ S2 + 12S + 20 + B ⋅ S2 + 10S + C ⋅ S2 + 2S
80 = AS2 + BS2 + CS2 + 12AS + 10BS + 2CS + 20A
(A + B + C)S2 = 0
(12A + 10B + 2C)S = 0
20A = 80
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E se 20A = 80, então A = 4
Agora, substitui-se o valor de A nas outras equações do sistema:
(4 + B + C)S2 = 0
(48 + 10B + 2C)S = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E simplifica-se a segunda equação do sistema, dividindo seus termos por 2:
( ) ( ) ( )
{
{
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
(4 + B + C)S2 = 0
(24 + 5B + C)S = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a primeira equação desse sistema:
4 + B + C = 0
C = − 4 − B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo-se na outra equação, tem-se:
24 + 5B − 4 − B = 0
4B = − 20
B = − 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando à equação anterior:
{
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
C = − 4 − ( − 5)
C = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, substitui-se na função de transferência inicial:
G(S) =
80
S(S + 2)(S + 10) =
4
S
+
−5
(S + 2) +
1
(S + 10) =
Y(S)
U(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E agrupam-se as funções em variáveis de estado da seguinte maneira:
X1(S)
U(S) =
4
S
X2(S)
U(S) =
−5
(S + 2)
X3(S)
U(S) =
1
(S + 10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
A saída pode ser definida como o somatório das funções:
Y(S)
U(S) =
X1(S)
U(S) +
X2(S)
U(S) +
X3(S)
U(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde as variáveis de estado podem ser escritas da seguinte maneira:
X1(S) =
4U ( S )
S
X2(S) =
− 5U ( S )
( S + 2 )
X3(S) =
U ( S )
( S + 10 )
Y(S) =
X1 ( S )
U ( S ) +
X2 ( S )
U ( S ) +
X3 ( S )
U ( S ) U(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando-se as equações, tem-se:
SX1(S) = 4U(S)
(S + 2)X2(S) = − 5U(S)
(S + 10)X3(S) = U(S)
Y(S) = X1(S) + X2(S) + X3(S)
[ ]
{ [ ]
{
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E agora resolve-se o sistema:
SX1(S) = 4U(S)
SX2(S) = − 2X2(S) − 5U(S)
SX3(S) = − 10X3(S) + U(S)
Y(S) = X1(S) + X2(S) + X3(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As equações de estado podem ser definidas por meio da transformada inversa de Laplace como:
SX1(S) = 4U(S)
SX2(S) = − 2X2(S) − 5U(S)
SX3(S) = − 10X3(S) + U(S)
Y(S) = X1(S) + X2(S) + X3(S)
=
Ẋ1 = 4U
Ẋ2 = − 2X2 − 5U
Ẋ3 = − 10X3 + U
Y = X1 + X2 + X3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir das equações de estado definidas pelo desenvolvimento acima, é possível elaborar outra formulação em equações de
estado desse sistema, como pode ser observado a seguir:
Ẋ1
Ẋ2
Ẋ3
= A
X1
X2
X3
+ BU(T)
{
{ {
[ ] [ ]
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tomando por base a quarta equação do sistema y = x1 + x2 + x3 , é possível definir a matriz de saída do espaço de estados
como:
Y(T) = 1 1 1
X1
X2
X3
+ 0. U(T)
Y(T) = 1 1 1
X1
X2
X3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde a matriz de realimentação direta (D) é definida como nula.
Como a variável de estado ẋ1 é definida apenas pela entrada 4u(t), ela pode ser escrita como:
Ẋ1
Ẋ2
Ẋ3
=
0 0 0
X2
X3
X1
X2
X3
+
4
0
0
U(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já a variável de estado ẋ2, definida pela equação diferencial -2x2 - 5u, pode ser escrita como:
( )
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
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Ẋ1
Ẋ2
Ẋ3
=
X1
0 −2 0
X3
X1
X2
X3
+
0
−5
0
U(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por sua vez, a variável de estado ẋ3 é definida pela equação diferencial -10x3 + u, sendo escrita como:
Ẋ1
Ẋ2
Ẋ3
=
X1
X2
0 0 −10
X1
X2
X3
+
0
0
1
U(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, o sistema de equações de estado completo pode ser definido por:
Ẋ1
Ẋ2
Ẋ3
=
0 0 0
0 −2 0
0 0 −10
X1
X2
X3
+
4
−5
1
U(T)
Y(T) = 1 1 1
X1
X2
X3
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ]
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É possível perceber que essa terceira metodologia obtida para a representação em equações de estado é diferente das duas
anteriores. Nesta a representação da matriz A está na forma diagonal. Os polos do sistema podem ser definidos pelos
elementos da diagonal da matriz, sendo s = 0, s = - 2 e s = - 10.
 ATENÇÃO
Isso acontece porque, como a matriz é diagonal, os próprios elementos dela são os autovalores do sistema (os polos de um
sistema na forma do espaço de estados são os autovalores da matriz A).
VEM QUE EU TE EXPLICO!
MODELAGEM DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DO TEMPO
FERRAMENTAS UTILIZADAS NA MODELAGEM DE SISTEMAS
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Descrever o processo de conversão do espaço de estados para a função de transferência
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A IMPORTÂNCIA DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DOS
SISTEMAS FÍSICOS
CONVERSÃO DAS EQUAÇÕES DE ESPAÇO DE ESTADOS
EM FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Como já aprendemos, a representação dos sistemas em equações de espaço de estados pode ser assim registrada:
Ẋ(T) = AX(T) + BU(T)
Y(T) = CX(T) + DU(T)
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Contudo, como também foi visto na conversão de funções de transferência em equações de espaço de estados, a
representação em espaço de estados não é única, dependendo do modelo utilizado na sua determinação.
Como exemplo, a aplicação de matrizes inversíveis permite a determinação de matrizes equivalentes. Supondo uma matriz
inversível P, pode-se determinar uma nova variável de estado como:
X̄ = PX
MATRIZ INVERSA
Também chamada de inversível, trata-se de um tipo específico de matriz caracterizada pelo padrão:
A ⋅ X = B
Para cada matriz, é possível encontrar uma única inversa.
Ao realizar esse cálculo, com a multiplicação dos números correspondentes dentro da mariz inversa de qualquer tipo, o
resultado será uma inversa de mesma ordem – uma matriz quadrada com o mesmo número de linhas e de colunas que a
original.
 VOCÊ SABIA
Nem todas as matrizes podem ser invertidas, ou seja, ter uma correspondente inversa. Essa determinação somente é possível
após a identificação do seu determinante. A matriz identidade é aquela em que todos os componentes da diagonal
principalsão iguais ao número um e todos os outros elementos são equivalentes a zero, independentemente da
posição que ocupem dentro da matriz.
Para determinar se uma matriz é inversível, ou seja, se é possível calcular a sua matriz inversa equivalente, é necessário
primeiro identificar o seu determinante. Caso esse seja diferente de zero, a matriz é inversível. Em situações em que o
determinante é nulo, a matriz não pode ser considerada inversível. Então, sua inversa é inexistente.
Portanto, apenas as matrizes quadradas podem ter uma inversa, visto que o cálculo do determinante somente é possível
nesse tipo de matriz. Como já sabemos, uma matriz quadrada é especificamente aquela em que o número de linhas é igual
ao número de colunas. 
A determinação de uma matriz inversa é realizada pelas etapas a seguir.
Observa-se se a matriz é quadrada:
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A =
A B
C D
Calcula-se o determinante da matriz:
Δ = B ⋅ C − A ⋅ D
Faz-se a inversão dos termos da diagonal principal:
D B
C A
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Troca-se o sinal dos elementos da diagonal secundária:
D -B
-C A
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Dividem-se os elementos da matriz pelo valor do determinante:
A − 1 =
D
Δ
− B
Δ
− C
Δ
A
Δ
Assim, obtém-se um sistema de equações de estado equivalentes:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
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Ẋ(T) = ĀX(T) + B̄U(T)
Y(T) =
¯
CX(T) +
¯
DU(T)
Ā = PAP − 1
B̄ = PB
C̄ = CP − 1
D̄ = D
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Essas equações permitem outra representação do sistema de equações em espaço de estados do sistema.
Alguns casos particulares podem acontecer. Por exemplo, se A for diagonalizável e a matriz P escolhida for uma matriz de
mudança de base do tipo: P = M - 1, então:
M = v1 v2 … vn
onde vi é o autovetor associado com os autovalores do sistema λi.
Então, na transformação A = PAP - 1, a matriz A ficará na forma diagonal, com os seus autovalores λ1, λ2, . . . , λn presentes na
diagonal principal.
CONVERSÃO PARA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Diferentemente do que ocorre no caso das equações de espaço de estados, as representações em funções de transferência
são únicas.
Por exemplo, considere a estrutura básica da função de transferência do tipo:
{
[ ]
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H(S) =
Y(S)
U(S)
Onde U(s) é a entrada u(t) e Y(s) é a saída y(t).
A função de transferência é única. A possível exceção por meio da multiplicação de constantes aos numeradores e
denominadores, como pode ser visto no exemplo a seguir:
Y(S)
U(S) =
4(S + 1)
2S2 + 11S + 15
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Essa função de transferência também pode ser escrita da seguinte maneira:
Y(S)
U(S) =
2(S + 1)
S2 + 11/2S + 15/2
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É possível observar que, embora escritas de maneiras diferentes, as funções são as mesmas. É fácil notar que a diferença
entre elas ocorre simplesmente pela multiplicação ou divisão por um termo constante.
Nota-se, também, que ambas as funções possuem dois polos, localizados em p1 = - 3 e p2 = - 1,5, e um zero, localizado em
z1 = - 1.
Veja agora como realizar a conversão de um sistema representado pelas equações de estado, simbolizado pelo diagrama de
blocos na imagem a seguir:
 Representação do sistema em diagrama em blocos.
A entrada u(t) e a saída y(t) relacionadas ao sistema S podem ser representadas, de maneira geral, por equações de estado,
como:
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Ẋ = AX + BU, X(0) = X0
Y = CX + DU
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Utilizando-se Laplace, é possível representar esse sistema como:
SX = AX + BU
Y = CX + DU
Reescrevendo a equação desse sistema, tem-se:
SX - AX = BU
(S - A)X = BU → IMPOSSÍVEL DE SER REALIZADA
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 ATENÇÃO
A subtração – assim como a adição – de um termo único (s) por uma matriz não é possível, tendo em vista que operações de
adição e subtração de matrizes só podem ser realizadas entre matrizes de mesma ordem, ou seja, ambas devem possuir o
mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Isso porque essa operação deverá ser realizada termo a termo.
Sendo assim, para que a operação (s - A) seja possível, tendo em vista que A é a matriz de estado, é necessária a utilização
da matriz identidade.
MATRIZ IDENTIDADE
A matriz identidade é utilizada para auxiliar os cálculos que envolvam equações matriciais. Também chamada de unidade,
essa matriz, vale reforçar, é uma espécie de tabela formada pelo mesmo número de linhas e colunas, e onde os elementos daLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
diagonal principal são todos iguais a um e os elementos restantes são iguais a zero:
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
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Sendo assim, a operação de subtração, para ser realizada, depende da utilização da matriz identidade de maneira a fazer com
que o operador s seja visto como uma matriz com a mesma ordem de A.
A operação pode então ser realizada como visto a seguir:
(SI − A)X = BU
Y = CX + DU
Desenvolvendo as equações acima:
(SI − A)X = BU
X = (SI − A) − 1BU
Substituindo-as na equação da saída, tem-se:
Y = C(SI − A) − 1BU + DU
[ ]
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Y = C(SI − A) − 1B + D U
Y
U = C(SI − A)
− 1B + D
(EQUAÇÃO 1)
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A equação 1 representa a fórmula geral para conversão das equações de estado na função de transferência.
PRIMEIRO EXEMPLO
Considere o seguinte sistema de segunda ordem descrito pelas equações de estado:
Ẋ =
0 1
−2 −2 X +
0
1 U
Y = 1 0 X
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Observando as equações de espaço de estados do sistema, é possível notar que a matriz de alimentação direta não está
presente. Isso indica que não existe uma relação direta entre a saída y e a entrada u.
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
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Importante notar que não foi especificado o sistema físico descrito pelas equações de estado. Isso reflete que os métodos
utilizados para as conversões são genéricos, ou seja, não variam de um sistema físico para outro.
Em um primeiro momento, deve-se identificar as matrizes que compõem o sistema:
A matriz de estado:
A =
0 1
−2 −2
A matriz de entrada:
B =
0
1
A matriz de saída:
C = 1 0
 ATENÇÃO
A matriz de alimentação direta D é nula.
Para obter a função de transferência, primeiramente deve-se encontrar o resultado da operação:
SI − A
Para tal, identifica-se a ordem da matriz A de maneira a ser possível escrever uma matriz identidade I de mesma ordem:
[ ]
[ ]
[ ]
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A =
0 1
−2 −2
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Como a matriz de estado possui duas linhas e duas colunas, a matriz identidade deverá apresentar a mesma ordem:
S
1 0
0 1 −
0 1
−2 −2
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O produto entre o operador s e a matriz identidade é feito multiplicando por s todos os termos da matriz identidade:
S 0
0 S −
0 1
−2 −2
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A subtração deverá ser realizada termo a termo:
SI − A =
S −1
2 S + 2
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Em seguida, determina-se a matriz inversa de (sI - A), de acordo com os passos já apresentados:
(SI − A) − 1
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[]
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SI − A =
S −1
2 S + 2
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Então, realiza-se o cálculo do determinante. Para tal, multiplicam-se os termos da diagonal principal (s(s + 2)) e da diagonal
secundária ( - 1)(2).
Depois, faz-se a subtração entre o resultado do produto dos elementos da matriz principal e o resultado do produto dos
elementos da matriz secundária:
Δ = S(S + 2) − ( − 2)
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A equação resultante define o termo determinante:
Δ = S2 + 2S + 2
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É alterada a posição dos termos que compõem a diagonal principal e inverte o sinal dos termos que formam a diagonal
secundária:
S -1
2 S + 2
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Resultando na seguinte matriz:
[ ]
[ ]
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S + 2 1
-2 S
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Por fim, divide-se cada termo da matriz pelo determinante:
SI - A) - 1 =
S + 2
Δ
1
Δ
- 2
Δ
S
Δ
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Como D é nulo, pode-se simplificar a expressão geral para:
Y
U = C(SI − A)
− 1B
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Substituindo as matrizes de saída (C) e de entrada (B), tem-se:
Y
U
= 1 0 (SI − A) − 1
0
1
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Primeiramente, é resolvida a multiplicação entre a matriz de saída e a matriz inversa.
 VOCÊ SABIA
[ ]
( [ ]
[ ] [ ]
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A multiplicação entre matrizes é uma operação matemática que demanda bastante atenção. É fundamental que o número de
colunas da matriz A, ou da primeira matriz do produto, seja igual ao número de linhas da matriz B, ou da segunda matriz do
produto.
Considerando a matriz de saída C, é possível observar que essa matriz possui uma linha e duas colunas:
C = 1 0
A matriz inversa (sI - A) - 1 possui duas linhas e duas colunas, como pode ser visto a seguir:
(SI − A) − 1 =
S + 2
Δ
1
Δ
− 2
Δ
S
Δ
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Como o número de colunas da matriz C é igual ao número de linhas da matriz inversa, o produto é possível.
O resultado da multiplicação entre matrizes é uma matriz que tem o mesmo número de linhas da primeira matriz e o
mesmo número de colunas da segunda matriz: [1 0].
S + 2
Δ
1
Δ
− 2
Δ
S
Δ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, o produto entre a matriz de saída e a matriz inversa deverá apresentar uma linha e duas colunas. Multiplica-se primeiro
a matriz C pela primeira coluna da matriz inversa:
[ ]
( )
[ ]
[ ]
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(1)
S + 2
Δ + (0)
−2
Δ …
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E depois, multiplica-se a matriz C pela segunda coluna da matriz inversa:
[(1)
S + 2
∆
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Em seguida, realizam-se as operações:
\FRAC{S+2}{\DELTA}(0)+\FRAC{1}{\DELTA}(1)
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A matriz resultante possui uma linha e duas colunas, como esperado.
Depois, multiplica-se a matriz resultante desse produto pela matriz de entrada B:
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LL} \FRAC{S+2}{\DELTA} & \FRAC{1}{\DELTA}
\END{ARRAY}\RIGHT] \CDOT\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{L} 0 \\ 1
\END{ARRAY}\RIGHT]
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Como o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz, o produto é possível; a matriz
resultante do produto terá uma linha e uma coluna, ou seja, será de ordem 1 por 1:
\FRAC{S+2}{\DELTA} \CDOT 0+\FRAC{1}{\DELTA} \CDOT 1
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O resultado será igual a:
[ ]
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\FRAC{1}{\DELTA}=\FRAC{1}{S^{2}+2 S+2}
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Logo, a função de transferência do sistema de segunda ordem apresentado no exemplo é igual a:
\FRAC{Y(S)}{U(S)}=\FRAC{1}{S^{2}+2 S+2}
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A partir dessa noção de multiplicação entre matrizes, é possível compreender a importância da matriz identidade e o motivo de
ser conhecida como o elemento neutro da multiplicação de matrizes.
 VOCÊ SABIA
O produto de uma matriz pelo seu inverso (𝐴 ·𝐴-1 ) é igual à matriz identidade.
Vale destacar que, diferente do que acontece com a soma e a subtração, o produto entre uma matriz e um número é possível,
bastando, para isso, realizar o produto do número por todos os termos da matriz.
SEGUNDO EXEMPLO
Repetiremos o desenvolvimento anterior para o sistema de segunda ordem descrito pelas equações seguintes:
\DOT{\MATHRM{X}}=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CC} 0 & 1 \\ -4 & -5
\END{ARRAY}\RIGHT] X+\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{L} 0 \\ 1
\END{ARRAY}\RIGHT] U
Y=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LL} 2 & 1 \END{ARRAY}\RIGHT] X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mais uma vez é possível notar que a matriz de alimentação direta não está presente, indicando a ausência de uma relação
direta entre a saída 𝑦 e a entrada 𝑢.
Em um primeiro momento, deve-se identificar as matrizes que compõem o sistema:
A matriz de estado:
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
A=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CC} 0 & 1 \\ -4 & -5 \END{ARRAY}\RIGHT]
A matriz de entrada:
B=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{L} 0 \\ 1 \END{ARRAY}\RIGHT]
A matriz de saída:
C=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LL} 2 & 1 \END{ARRAY}\RIGHT]
 ATENÇÃO
A matriz de alimentação direta D é nula.
Verifica-se a ordem da matriz A de maneira a ser possível escrever uma matriz identidade I de mesma ordem:
A=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CC} 0 & 1 \\ -4 & -5 \END{ARRAY}\RIGHT]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a matriz de estado tem duas linhas e duas colunas, a matriz identidade deverá apresentar a mesma ordem:
S\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LL} 1 & 0 \\ 0 & 1 \END{ARRAY}\RIGHT]-
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CC} 0 & 1 \\ -4 & -5 \END{ARRAY}\RIGHT]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O produto entre o operador s e a matriz identidade é feito multiplicando por s todos os termos da matriz identidade:
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LL} S & 0 \\ 0 & S \END{ARRAY}\RIGHT]-
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CC} 0 & 1 \\ -4 & -5 \END{ARRAY}\RIGHT]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, a subtração deverá ser realizada termo a termo:
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
S I-A=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LL} S & -1 \\ 4 & S+5 \END{ARRAY}\RIGHT]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em seguida, determina-se a matriz inversa de 𝑠𝐼 - 𝐴, de acordo com os passos já explicados:
(S I-A)^{-1}
S I-A=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LL} S & -1 \\ 4 & S+5 \END{ARRAY}\RIGHT]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E realiza-se o cálculo do determinante. Para tal, multiplicam-se os termos da diagonal principal 𝑠(𝑠 + 5) e da diagonal
secundária ( - 1)(4).
Depois, é feita a subtração entre o resultado do produto dos elementos da matriz principal e o resultado do produto dos
elementos da matriz secundária:
\DELTA=S(S+5)-(-4)
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A equação resultante define o termo determinante:
\DELTA=S^{2}+5 S+4
 Atenção! Para visualização completa daequação utilize a rolagem horizontal
Após a inversão dos elementos e a troca dos sinais, divide-se cada termo da matriz pelo determinante:
(S I-A)^{-1}=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LL} \FRAC{S+5}{\DELTA} & \FRAC{1}
{\DELTA} \\ \FRAC{-4}{\DELTA} & \FRAC{S}{\DELTA} \END{ARRAY}\RIGHT]
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Como D é nulo, pode-se simplificar a expressão geral para:
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
\FRAC{Y}{U}=C(S I-A)^{-1} B
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Substituindo-se as matrizes de saída (C) e de entrada (B), tem-se:
\FRAC{Y}{U}=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LL} 2 & 1 \END{ARRAY}\RIGHT](S I-
A)^{-1}\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{L} 0 \\ 1 \END{ARRAY}\RIGHT]
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E agora resolve-se a multiplicação entre a matriz de saída e a matriz inversa.
A matriz de saída C tem uma linha e duas colunas:
C=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LL} 2 & 1 \END{ARRAY}\RIGHT]
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E a matriz inversa (𝑠𝐼 - 𝐴)-1 tem duas linhas e duas colunas:
(S I-A)^{-1}=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LL} \FRAC{S+5}{\DELTA} & \FRAC{1}
{\DELTA} \\ \FRAC{-4}{\DELTA} & \FRAC{S}{\DELTA} \END{ARRAY}\RIGHT]
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Como o número de colunas da matriz C é igual ao número de linhas da matriz inversa, o produto é possível e deverá ter uma
linha e duas colunas:
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LL} 2 & 1 \END{ARRAY}\RIGHT]
\CDOT\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LL} \FRAC{S+5}{\DELTA} & \FRAC{1}
{\DELTA} \\ \FRAC{-4}{\DELTA} & \FRAC{S}{\DELTA} \END{ARRAY}\RIGHT]
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Multiplica-se primeiro a matriz C pelas colunas da matriz inversa, somando-se os termos do produto:
(2)𝑠 + 5∆ + (1)-4∆ (2) 1∆ + (1) 𝑠∆
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Em seguida, realizam-se as operações:
\LEFT[\FRAC{2 S+10-4}{\DELTA} \QUAD \FRAC{2+S}{\DELTA}\RIGHT]
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Simplificando:
\FRAC{2 S+6}{\DELTA}(0)+\FRAC{S+2}{\DELTA}(1)
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A matriz resultante tem uma linha e duas colunas, como esperado.
Depois, multiplica-se a matriz resultante desse produto pela matriz de entrada B:
\LEFT[\FRAC{2 S+6}{\DELTA} \QUAD \FRAC{S+2}{\DELTA}\RIGHT]
\CDOT\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{L} 0 \\ 1 \END{ARRAY}\RIGHT]
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Neste caso a operação também é possível, pois o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da
segunda matriz, e a matriz resultante do produto terá uma linha e uma coluna, ou seja, será de ordem 1 por 1:
\FRAC{2 S+6}{\DELTA} \CDOT 0+\FRAC{S+2}{\DELTA} \CDOT 1
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O resultado, então, será:
\FRAC{1}{\DELTA}=\FRAC{S+2}{S^{2}+5 S+4}
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E a função de transferência do sistema de segunda ordem apresentado no exemplo é igual a:
\FRAC{Y(S)}{U(S)}=\FRAC{S+2}{S^{2}+5 S+4}
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TERCEIRO EXEMPLO
Dessa vez, vamos aplicar o desenvolvimento para um sistema de terceira ordem dado pelo sistema de equações de estado a
seguir:
\DOT{\MATHRM{X}}=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCC} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0
& -20 & -12 \END{ARRAY}\RIGHT] X+\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{L} 0 \\ 0 \\ 80
\END{ARRAY}\RIGHT] U
Y=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLL} 1 & 0 & 0 \END{ARRAY}\RIGHT] X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mais uma vez, é possível notar que a matriz de alimentação direta não está presente, indicando a ausência de uma relação
direta entre a saída 𝑦 e a entrada 𝑢.
Primeiramente, é preciso identificar as matrizes que compõem o sistema:
A matriz de estado:
A=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCC} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -20 & -12
\END{ARRAY}\RIGHT]
A matriz de entrada:
B=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{L} 0 \\ 0 \\ 80 \END{ARRAY}\RIGHT]
A matriz de saída:
C=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLL} 1 & 0 & 0 \END{ARRAY}\RIGHT]
 ATENÇÃOLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
A matriz de alimentação direta D é nula.
Identifica-se a ordem da matriz A de maneira a ser possível escrever uma matriz identidade I de mesma ordem:
A=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCC} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -20 & -12
\END{ARRAY}\RIGHT]
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Como a matriz de estado tem três linhas e três colunas, a matriz identidade deverá apresentar a mesma ordem:
S\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCC} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\END{ARRAY}\RIGHT]-\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCC} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\
0 & -20 & -12 \END{ARRAY}\RIGHT]
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O produto entre o operador s e a matriz identidade é calculado multiplicando por s todos os termos da matriz identidade:
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLL} S & 0 & 1 \\ 0 & S & 0 \\ 0 & 0 & S
\END{ARRAY}\RIGHT]-\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLL} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\
0 & -20 & -12 \END{ARRAY}\RIGHT]
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Em seguida a subtração é realizada termo a termo:
S I-A=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCC} S & -1 & 0 \\ 0 & S & -1 \\ 0 & 20 & S+12
\END{ARRAY}\RIGHT]
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A determinação da inversa de uma matriz de ordem 3 é um pouco mais complicada do que a inversão de uma matriz de
ordem 2. É preciso lembrar que o produto de uma matriz pelo seu inverso (𝐴 .𝐴-1 ) é igual à matriz identidade. Suponha
então a matriz de ordem 3 a seguir:
A=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLL} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0
\END{ARRAY}\RIGHT]
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Como se deseja determinar a inversa de A, supõe-se o produto entre a matriz A e sua inversa hipotética sendo igual à matriz
identidade:
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCC} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0
\END{ARRAY}\RIGHT] \CDOT\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLLL} A & B & C \\ D
& E & F \\ G & H & I \END{ARRAY}\RIGHT]=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLL} 1
& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \END{ARRAY}\RIGHT]
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Calcula-se o produto entre as matrizes multiplicando-se cada termo da primeira linha da primeira matriz por cada coluna da
segunda matriz. Esses termos formarão a primeira linha da matriz resultante:
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCC} 1 \CDOT A+0 \CDOT D+0 \CDOT G & 1
\CDOT B+0 \CDOT E+0 \CDOT H & 1 \CDOT C+0 \CDOT F+0 \CDOT I \\
\LDOTS & \LDOTS & \LDOTS \\ \LDOTS & \LDOTS & \LDOTS
\END{ARRAY}\RIGHT]=
=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCCC} A & B & C \\ & & & \\ \LDOTS & & \LDOTS
& \LDOTS \\ & & & \\ \LDOTS & \LDOTS & & \LDOTS \END{ARRAY}\RIGHT]
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De maneira similar, calcula-se o produto com as demais linhas da primeira matriz:
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLL} 1 \CDOT A+0 \CDOT D+0 \CDOT G & 1 \CDOT
B+0 \CDOT E+0 \CDOT H & 1 \CDOT C+0 \CDOT F+0 \CDOT I \\ 1 \CDOT
A+3 \CDOT D+1 \CDOT G & 1 \CDOT B+3 \CDOT E+1 \CDOT H & 1 \CDOT
C+3 \CDOT F+1 \CDOT I \\ 1 \CDOT A+2 \CDOT D+0 \CDOT G & 1 \CDOT
B+2 \CDOT E+0 \CDOT H & 1 \CDOT C+2 \CDOT F+0 \CDOT I
\END{ARRAY}\RIGHT]
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Simplificando a matriz, é possível determinar a estrutura da matriz inversa 𝐴-1 :Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.jsA^{-1}=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCC} A & B & C \\ A+3 D+G & B+3 E+H &
C+3 F+I \\ A+2 D & B+2 E & C+2 F \END{ARRAY}\RIGHT]
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Agora, igualando-se a matriz identidade, é possível calcular cada termo da matriz inversa:
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCC} A & B & C \\ A+3 D+G & B+3 E+H & C+3 F+I \\
A+2 D & B+2 E & C+2 F \END{ARRAY}\RIGHT]=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}
{CCC} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \END{ARRAY}\RIGHT]
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Os termos imediatos são:
A=1
B=0
C=0
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E os termos da terceira linha da matriz inversa são determinados por:
A+2 D=0
1+2 D=0
2 D=-1
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D=\FRAC{-1}{2}
B+2 E=0
0+2 E=0
E=0
C+2 F=1
0+2 F=1
F=\FRAC{1}{2}
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Por fim, estes são os termos da segunda linha:
A+3 D+G=0
1+3 \FRAC{-1}{2}+G=0
1+\FRAC{-3}{2}+G=0
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\FRAC{2-3+2 G}{2}=0
2-3+2 G=0
2 G=1
G=\FRAC{1}{2}
B+3 E+H=1
0+3.0+H=1
H=1
C+3 F+I=0
0+3 \CDOT \FRAC{1}{2}+I=0
\FRAC{3}{2}+I=0
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I=\FRAC{-3}{2}
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Assim, a matriz inversa de AA-1 é dada por:
A^{-1}=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCC} 1 & 0 & 0 \\ -1 / 2 & 0 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 1
& -3 / 2 \END{ARRAY}\RIGHT]
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Já para a determinação da matriz inversa de s - 1 00 s - 1
0 20 s + 12
, procedimento idêntico
ao citado acima deverá ser adotado. Sendo assim:
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLL} S & -1 & 0 \\ 0 & S & -1 \\ 0 & 20 & S+12
\END{ARRAY}\RIGHT] \CDOT\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLL} A & B & C \\ D &
E & F \\ G & H & I \END{ARRAY}\RIGHT]=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLL} 1 &
0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \END{ARRAY}\RIGHT]
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De maneira similar, calcula-se o produto com as demais linhas da primeira matriz:
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCC} S \CDOT A-1 \CDOT D+0 \CDOT G & S
\CDOT B-1 \CDOT E+0 \CDOT H & S \CDOT C-1 \CDOT F+0 \CDOT I \\ 0
\CDOT A+S \CDOT D-1 \CDOT G & 0 \CDOT B+S \CDOT E-1 \CDOT H & 0
\CDOT C+S \CDOT F-1 \CDOT I \\ 0 \CDOT A+20 \CDOT D+(S+12) \CDOT G
& 0 \CDOT B+20 \CDOT E+(S+12) \CDOT H & 0 \CDOT C+20 \CDOT F+
(S+12) \CDOT I \END{ARRAY}\RIGHT]
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Simplificando, é possível determinar a estrutura da matriz inversa 𝐴-1 :
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCC} S A-D & S B-E & S C-F \\ S D-G & S E-H & S
F-I \\ 20 D+(S+12) G & 20 E+(S+12) H & 20 F+(S+12) I \END{ARRAY}\RIGHT]
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E igualando à matriz identidade, é possível calcular cada termo da matriz inversa:
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCC} S A-D & S B-E & S C-F \\ S D-G & S E-H & S
F-I \\ 20 D+(S+12) G & 20 E+(S+12) H & 20 F+(S+12) I
\END{ARRAY}\RIGHT]=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCC} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0
\\ 0 & 0 & 1 \END{ARRAY}\RIGHT]
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Desenvolvendo o sistema acima, tem-se:
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLL} S^{2}+12 S+20 & S+12 & 1 \\ 0 & S(S+12) & S
\\ 0 & 20 S & S^{2} \END{ARRAY}\RIGHT]
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Assim, a matriz inversa de 𝐴 𝐴-1 é dada por:
\MATHRM{A}^{-1}=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCC} 1 & 0 & 0 \\ -1 / 2 & 0 & 1 /
2 \\ 1 / 2 & 1 & -3 / 2 \END{ARRAY}\RIGHT]
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O cálculo do determinante para matrizes de ordem superior a 2 é um pouco mais completo.
Para tal, deve-se realizar a seguinte operação, ilustrada na imagem a seguir:
 Determinação do determinante de uma matriz de ordem 3.
A operação consiste em repetir-se os elementos das duas primeiras colunas à direita da matriz, como pode ser visto na
imagem a seguir:
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 Determinação do determinante de uma matriz de ordem 3 - passo 1
Em seguida, multiplicam-se os elementos de cada uma das três diagonais principais da matriz (em verde) e realiza-se seu
somatório:
(1 \CDOT 5 \CDOT 3)+(3 \CDOT 1 \CDOT 2)+(0 \CDOT 2 \CDOT
1)=15+6+0=21
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Em um passo seguinte, multiplicam-se os elementos das diagonais secundárias.
Os sinais dos resultantes dos produtos devem ser invertidos (positivos viram negativos e vice-versa). De maneira resumida,
cada resultado do produto deve ser multiplicado por -1:
-0 · 5 · 2 - 1 · 1 · 1 - 3 · 2 · 3 = - 0 - 1 - 18 = - 19
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Por fim, somam-se os dois resultados:
\DELTA=21-19=2
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Generalizando, considere a matriz A na imagem a seguir:
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 Matriz de ordem 3.
O desenvolvimento do cálculo do determinante da matriz A pode ser visto nas imagens a seguir:
 Cálculo do determinante de matriz de ordem 3: repetição das duas primeiras colunas.
 Cálculo do determinante da matriz de ordem 3: multiplicação dos termos.
O determinante é dado por:
\BEGIN{GATHERED} \DELTA=\LEFT(A_{11} \CDOT A_{22} \CDOT
A_{33}\RIGHT)+\LEFT(A_{12} \CDOT A_{23} \CDOT
A_{31}\RIGHT)+\LEFT(A_{13} \CDOT A_{21} \CDOT A_{32}\RIGHT)-
\LEFT(A_{13} \CDOT A_{22} \CDOT A_{31}\RIGHT) \\ -\LEFT(A_{11} \CDOT
A_{23} \CDOT A_{32}\RIGHT)-\LEFT(A_{12} \CDOT A_{21} \CDOT
A_{33}\RIGHT) \END{GATHERED}
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Com base no desenvolvimento acima, tem-se o produto dos elementos da matriz principal:
(S \CDOT S \CDOT(S+12))+(-1 \CDOT(-1) \CDOT 0)+(0 \CDOT 0 \CDOT
20)=S^{3}+12 S^{2}
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E o produto dos elementos da matriz secundária é igual a:
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(0 \CDOT S \CDOT 0))+(S \CDOT(-1) \CDOT 20)+(-1 \CDOT 0 \CDOT
S+12)=-20 S
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Em seguida, é feita a subtração entre o produto dos elementos da matriz principal e o produto dos elementos da matriz
secundária:
\DELTA=\LEFT(S^{3}+12 S^{2}\RIGHT)-(-20 S)
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A equação resultante define o termo determinante:
\DELTA=S^{3}+12 S^{2}+20 S
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Após a determinação da estrutura da matriz inversa, divide-se cada termo da matriz pelo determinante. Assim:
(S I-A)^{-1}=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLR} \FRAC{S^{2}+12 S+20}{\DELTA}
& \FRAC{S+12}{\DELTA} & \FRAC{1}{\DELTA} \\ 0 & \FRAC{S(S+12)}
{\DELTA} & \FRAC{S}{\DELTA} \\ 0 & \FRAC{20 S}{\DELTA} & \FRAC{S^{2}}
{\DELTA} \END{ARRAY}\RIGHT]
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Como D é nulo, pode-se simplificar a expressão geral para:
\FRAC{Y}{U}=C(S I-A)^{-1} B
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Substituindo as matrizes de saída (C) e de entrada (B), tem-se:
\FRAC{Y}{U}=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLL} 1 & 0 & 0 \END{ARRAY}\RIGHT]
(S I-A)^{-1}\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{L} 0 \\ 0 \\ 80 \END{ARRAY}\RIGHT]
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Então efetua-se a multiplicação entre a matriz de saída e a matriz inversa.Observe que a matriz de saída C tem uma linha e
três colunas:
C=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLL} 1 & 0 & 0 \END{ARRAY}\RIGHT]
E a matriz inversa 𝑠𝐼 - 𝐴-1 tem três linhas e três colunas:
(S I-A)^{-1}=\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLR} \FRAC{S^{2}+12 S+20}{\DELTA}
& \FRAC{S+12}{\DELTA} & \FRAC{1}{\DELTA} \\ 0 & \FRAC{S(S+12)}
{\DELTA} & \FRAC{S}{\DELTA} \\ 0 & \FRAC{20 S}{\DELTA} & \FRAC{S^{2}}
{\DELTA} \END{ARRAY}\RIGHT]
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 ATENÇÃO
Como o número de colunas da matriz C é igual ao número de linhas da matriz inversa, o produto é possível.
Assim, o produto entre a matriz de saída e a matriz inversa deverá apresentar uma linha (número de linhas da matriz C) e três
colunas (número de colunas da matriz A):
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLL} 1 & 0 & 0 \END{ARRAY}\RIGHT]
.\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLL} \FRAC{S^{2}+12 S+20}{\DELTA} &
\FRAC{S+12}{\DELTA} & \FRAC{1}{\DELTA} \\ 0 & \FRAC{S(S+12)}{\DELTA}
& \FRAC{S}{\DELTA} \\ 0 & \FRAC{20 S}{\DELTA} & \FRAC{S^{2}}{\DELTA}
\END{ARRAY}\RIGHT]
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Multiplica-se primeiro a matriz C pelas colunas da matriz inversa, somando-se os termos do produto:
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{CCC} \FRAC{S^{2}+12 S+20}{\DELTA} &
\FRAC{S+12}{\DELTA} & \FRAC{1}{\DELTA} \END{ARRAY}\RIGHT]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
Como o primeiro elemento da matriz C é diferente de zero, apenas os primeiros elementos de cada coluna da matriz inversa
formarão a matriz resultante do produto. A matriz resultante apresenta uma linha e três colunas, como esperado.
Por fim, calcula-se o produto entre a matriz resultante desse produto e a matriz de entrada B:
\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{LLL} \FRAC{S^{2}+12 S+20}{\DELTA} &
\FRAC{S+12}{\DELTA} & \FRAC{1}{\DELTA} \END{ARRAY}\RIGHT]
\CDOT\LEFT[\BEGIN{ARRAY}{L} 0 \\ 0 \\ 80 \END{ARRAY}\RIGHT]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz, o que possibilita o cálculo do produto.
A matriz resultante terá uma linha e uma coluna, ou seja, será de ordem 1 por 1.
Como apenas o último elemento da matriz B é diferente de zero (não nulo), apenas este fará parte do “resultado final” da
multiplicação. Sendo assim:
\FRAC{1}{\DELTA} \CDOT 80
O resultado, então, será:
\FRAC{80}{\DELTA}=\FRAC{80}{S^{3}+12 S^{2}+20 S}
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Logo, a função de transferência do sistema de segunda ordem apresentado no exemplo é igual a:
\FRAC{Y(S)}{U(S)}=\FRAC{80}{S^{3}+12 S^{2}+20 S}
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VEM QUE EU TE EXPLICO!
A importância da Função de Transferência
A conversão das equações de estado em função de transferência
VERIFICANDO O APRENDIZADOLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste estudo, foram discutidos assuntos fundamentais para a teoria de controle e representação de sistemas físicos no
domínio do tempo. Apresentamos uma revisão detalhada de representação no espaço de estados, com o intuito de
proporcionar uma nova percepção representativa referente aos sistemas físicos a partir de equações diferenciais.
Abordamos os conceitos de variáveis de estado e de variáveis de fase, junto com sua relevância na representação dos
sistemas no espaço de estados. Também analisamos diferentes metodologias utilizadas na conversão das funções de
transferência em equações de espaço de estados.
Além disso, estudamos a conversão de equações no espaço de estados em funções de transferência e discutimos as
ferramentas necessárias para essa conversão, incluindo o conceito de matriz identidade e a inversão de matrizes.
Por fim, analisamos, por meio de exemplos, a determinação das funções de transferência do sistema representado no espaço
de estados.
 PODCAST
Ouça, agora, o especialista Raphael de Souza dos Santos encerrar nosso estudo falando sobre os principais tópicos
abordados.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
D’AZZO, J. J.; HOUPIS, C. H. Análise e projeto de sistemas de controle lineares. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1984.
CONCLUSÃO
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DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
FRANKLIN, G. F.; POWELL, J. D.; EMAMI-NAEINI, A. Sistemas de controle para engenharia. Porto Alegre: Bookman, 2013.
GOLNARAGHI, F.; KUO, B. C. Automatic control systems. McGraw-Hill Education, 2017.
NISE, N. S.; DA SILVA, F. R. Engenharia de sistemas de controle. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
EXPLORE+
O estudo da conversão das equações de espaço de estados em funções de transferência e das funções de transferência
para o espaço de estados pode ser aprofundado nos livros Engenharia de controle moderno, de Katsuhiko Ogata, e
Engenharia de sistemas de controle, de Norman S. Nise (veja mais informações nas Referências).
Mais detalhes sobre operações com matrizes, matriz identidade e inversão de matrizes podem ser encontrados nos
livros Álgebra linear, de José L. Boldrini e colaboradores, publicado pela Editora Habra, e Um curso de álgebra linear v.
34, de Flávio Ulhoa Coelho e Mary Lilian Lourenço, publicado pela Edusp.
CONTEUDISTA
Raphael de Souza dos Santos
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