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Área de Superfície de Revolução Cilindro Girando a reta AB (de comprimento x) em torno do eixo x, gera-se o cilindro a seguir. Fora de escala Área de superfície do cilindro: xyA 2 Mesma área do retângulo (b) OBS: O comprimento 2y na área da superfície do cilindro é o perímetro do círculo de raio y gerado pela rotação do ponto (x, y) da reta AB em torno do eixo x. 1 Área de Superfície de Revolução Tronco de Cone Girando a reta AB (de comprimento s) em torno do eixo x, gera- se o tronco de cone: Segundo a Geometria Clássica, a área de superfície é dada por: syA *2 onde: 2/)( 21 * yyy OBS: Mesma analogia com a área de um retângulo de lados s e 2y*. 2 Área de Superfície de Revolução Curvas Mais Gerais Deseja-se obter a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, de uma curva definida por uma função contínua não-negativa y = f (x), sendo a ≤ x ≤ b. Girando o arco PQ em torno do eixo x, o segmento de reta que une P e Q gera um tronco de cone cujo eixo coincide com o eixo x. Divide-se o intervalo [a, b] para subdividir o gráfico em arcos curtos (p. ex: arco PQ). 3 Área de Superfície de Revolução A área de superfície deste tronco de cone é usada para aproximar a área da superfície da faixa gerada pelo arco PQ. onde y* é a altura média do segmento de reta PQ e L é o seu comprimento. syA *2 Como f ≥ 0, os valores de y* e L são dados por: 2/))()(( 1 * kk xfxfy 22 )()( kk yxL 4 Área de Superfície de Revolução 221 )()( 2 )()( 2Area kk kk yx xfxf Assim, a área de superfície é dada por: A área da superfície original (soma das áreas das faixas geradas pelos arcos como PQ) é aproximada pela soma das áreas dos troncos: À medida que a partição torna-se mais refinada, espera-se uma melhoria na aproximação. 5 22 1 )()(.))()(( kkkk yxxfxf 22 1 )()(.))()((Área kkkk yxxfxf Área de Superfície de Revolução Se f é derivável, de acordo com o TVM existe um ponto (ck, f (ck)) entre P e Q onde a tangente é // ao segmento PQ: kkkk kkkkk xcfxfxf xcfxxfxf 2 1 22 1 ))((1.))()(( ))(()(.))()(( Substituindo o valor de yk na expressão do somatório: kkk k k k xcfy x y cf )()( 6 Área de Superfície de Revolução Essas somas não são as somas de Riemann, mas um teorema de Cálculo Avançado garante que conforme a norma da partição de [a, b] tende a zero, as somas convergem para a integral: 7 dxxfxf b a 2))((1)(2 Área de Superfície de Revolução Área de Superfície de Revolução em torno do eixo x Se a função f (x) ≥ 0 é continuamente derivável em [a, b], a área da superfície gerada pela rotação da curva y = f (x) em torno do eixo x é: 8 dxxfxfdx dx dy yS b a b a 2 2 ))((1)(212 Área de Superfície de Revolução Analogamente: Área de Superfície de Revolução em torno do eixo y Se a função x = g(y) ≥ 0 é continuamente derivável em [c, d], a área da superfície gerada pela rotação da curva x = g (y) em torno do eixo y é: 9 dyygygdy dy dx xS d c d c 2 2 ))((1)(212 Área de Superfície de Revolução Exemplo 1: Calcule a área de superfície gerada pela revolução da curva em torno do eixo x. 21;2 xxy ;12 2 dx dx dy yS b a x x xdx dy 11 11 2 x x dx dy 1 )(2 2 1 2/1 2 1 2/3 2/1 2 1 2 1 2/3 )1( 4)1(4 1 22 x dxxdx x x xS )2233( 3 8 S 10 Área de Superfície de Revolução Exemplo 2: Calcule a área da superfície lateral gerada pela revolução da reta x = 1 – y ; 0 ≤ y ≤ 1 em torno do eixo y. ;12 2 dy dy dx xS d c 21 2 dy dx 1)1( 2 2 dy dx 1 0 21 0 1 0 2 22)1(222)1(2 y ydyydyyS 2 2 1 22 SS Da Geometria: 22)1( grS onde g é a geratriz do cone. 11 Área de Superfície – Forma Diferencial As expressões: podem ser escritas em termos da diferencial do comprimento de arco: Na primeira equação: dsdydxdx dx dy dxdx dx dy 222 2 2 2 )()()()(1 Assim: onde y é a distância do eixo x até um elemento de comprimento de arco ds. 12 b a dsyS 2 dx dx dy yS b a 2 12 dy dy dx xS d c 2 12 22 )()( dydxds Área de Superfície – Forma Diferencial Analogamente, a segunda equação torna-se: d c dsxS 2 onde x é a distância do eixo y até um elemento de comprimento de arco ds. Generalizando, pode-se perceber que ambas as integrais têm a forma: )faixadalargura()raio(2S dsS 2 onde é o raio que vai do eixo de revolução até o elemento de comprimento de arco ds. 13 Área de Superfície de Revolução Exercícios: Calcule a área de superfície gerada pela rotação de cada curva abaixo em torno do eixo indicado. xy y y x eixodotornoem21; 8 1 4 2 4 a. b. c. xyx x y eixodotornoemseguida,eme,eixodotornoem40; 2 yy y x eixodotornoem10; 3 3 Dica: Expresse ds em função de dy e, em seguida, calcule a integral com os limites adequados. dsyS 2 14 9/)18(:Resp S Teorema de Pappus Teorema 1: Teorema de Pappus para Volumes Teorema 2: Teorema de Pappus para Áreas de Superfície Teorema1: Teorema de Pappus para Volumes Se uma região plana é girada uma vez em torno de uma reta no plano que não atravessa o interior, então o volume do sólido gerado é igual à área da região multiplicada pela distância percorrida pelo centróide da região durante a revolução. Se é a distância entre o eixo de revolução e o centróide, tem-se que: 15 AV 2 Teorema de Pappus Prova do Teorema de Pappus para Volumes A região abaixo será rotacionada em torno do eixo x, gerando um sólido: L(y): uma função contínua que representa o comprimento da seção transversal de R eixo y em y. Pelo Método das Cascas Cilíndricas, tem-se: d c d c dyyLydyV )(2)altura()raio(2 A ordenada do centróide de R é: A dyyLy A dAy y d c d c )(~ onde dyyLdA yy )( ~ Assim: yAV 2 yAdyyLy d c )( Como: y AV 2 16 Teorema de Pappus Teorema2: Teorema de Pappus para Áreas de Superfície Se um arco de uma curva plana lisa é girado uma vez em torno de uma reta no plano que não atravessa o interior do arco, então a área de superfície gerada pelo arco é igual ao comprimento do arco multiplicado pela distância percorrida pelo centróide do arco durante a revolução. Se é a distância entre o eixo de revolução e o centróide, tem-se que: 17 LS 2 Teorema de Pappus Prova do Teorema de Pappus para Área de Superfície Seja o gráfico de uma função continuamente derivável de x dado pelo arco abaixo, juntamente com o eixo de revolução (eixo x): dsydsyS 22 A ordenada do centróide do arco é: L dsy ds dsy y ~ Substituindo essa integral na expressão de S, tem-se: Assim: LyS 2 Lydsy Como: y LS 2 18 A área de superfície gerada pelo arco é: Área de Superfície de Revolução Exemplo 1: A região quadrada com vértices (0, 2), (2,0), (4, 2) e (2, 4) é girada em torno do eixo x, gerando um sólido. Determine o volume e a área de superfície do sólido. 2 ySol: 822 22 L 32)8()2(22 VAV 232816)84()2(22 SLS (0, 2) (2, 0) (4, 2) (2, 4) L L 19 Área de Superfície de Revolução Exercício: Use o Segundo Teorema de Pappus e o fato de que a área de superfície de uma esfera de raio a é 4a2 para encontrar o centróide do semi-círculo dado por: 22 xay Em seguida, calcule a área de superfície gerada pela rotação deste semi-círculo em torno da reta y = a. 20 )2(2:Resp 2 aS /2:Resp ay
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