Integrais_Impróprias

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Integrais Impróprias 
 As integrais definidas estudadas até agora apresentavam duas propriedades: 
 Domínio da integração [a, b] finito. 
 Imagem do integrando finita neste intervalo. 
 Na prática, é possível encontrar problemas em que uma ou nenhuma das 
 condições acima seja respeitada. Estas integrais são chamadas de Impróprias. 
 São calculadas como limites. 
 Desempenham um papel importante no estudo da convergência de séries 
 infinitas. 
Tipo 1: Domínio Infinito 
Tipo 2: Imagem Infinita 
1 
Integrais Impróprias 
 Limites Infinitos de Integração 
Considere a região infinita que fica sob a curva y = e-x/2 no primeiro 
quadrante. 
Qual a área desta região? 


b
x dxebA
0
2/)(
Primeiro, determina-se a 
área A(b) da parte da 
região delimitada 
 por x = b. 








2/Para
00Para
22/2/
bubx
ux
dudxdxduxu
22222)2()( 2/02/
2/
0
2/
0
 


bb
bb
uu eeeeduebA
2 
Integrais Impróprias 
Sabendo que Ab é dada pela expressão , 22)(
2/  bebA
a área desejada é dada pelo limite: 
2)22(lim)(lim 2/  

b
bb
ebA
Assim: 2lim
0
2/
0
2/ 








 




b
x
b
x dxedxe
3 
Integrais Impróprias – Tipo I 
 
 Definição: Integrais com limites infinitos de integração são integrais 
 impróprias do Tipo I 
 
2. Se f (x) é contínua em (-, b]: 
 
 
3. Se f (x) é contínua em (-, ): 
 
 




b
a
b
a
dxxfdxxf )(lim)(




b
a
a
b
dxxfdxxf )(lim)(
dxxfdxxfdxxf
c
c





 )()()(
1. Se f (x) é contínua em [a, ): 
 
 
4 
Integrais Impróprias – Tipo I 
Importante: 
1. Em todos os casos, se o limite é finito, diz-se que a integral converge 
 e que o limite é o valor da integral imprópria. Se o limite não existe, 
 diz-se que a integral imprópria diverge. 
2. Se f  0 no intervalo de integração, qualquer uma das integrais na 
 definição dada pode ser interpretada como a área, como foi mostrado 
 no exemplo. 
 Contudo, se f  0 e a integral diverge, diz-se que a área sob a curva é 
 infinita. 
5 
Integrais Impróprias – Tipo I 
2/)2/(0
)arctg0arctg(lim)arctg(lim
1
lim
1
0
0
2
0
2
 



 

 ax
x
dx
x
dx
aaa
a
a
2
)0arctgarctg(lim)arctg(lim
1
lim
1
0
0
2
0
2




 

 bx
x
dx
x
dx
b
b
b
b
b






221 2x
dx



 21 x
dx
 Exemplo: Calcule a integral 






0
2
0
2 11 x
dx
x
dx
6 
Integrais Impróprias – Tipo I 


1
px
dx
 A integral 
 Exemplo: Para quais valores de p a integral diverge? 














 1
1
1
1
1
:1Se
1
1
1
11
p
b
pb
p
b
p bpp
x
dxx
x
dx
p
 A função y = 1/x é a fronteira entre as integrais impróprias convergentes 
 e divergentes com integrandos na forma 1/xp . 
 Na verdade, a integral imprópria converge se p > 1 e diverge se p  1. 


1
px
dx


























:1Para
1
1
:1Para
1
1
1
1
lim
1
1 p
p
p
bpx
dx
pbp
7 
Integrais Impróprias – Tipo I 
pois 











 1para
1para01
lim
1 p
p
b pb


1
px
dx











 )1ln(lnlim)(lnlimlim
111
bx
x
dx
x
dx
b
b
b
b
b
b
Se p = 1 
A integral diverge 








1paradiverge
1se
1
1
para converge
p
p
pConsequentemente a integral: 
0 
 Exercício: Resolva a integral imprópria 

2
2 1
1
dx
xx
8 
Integrais Impróprias 
 Integrandos com Assíntotas Verticais 
 A descontinuidade pode ocorrer em um dos limites de integração ou em 
 um ponto qualquer dentro do intervalo de integração. 
 Exemplo: Deseja-se calcular 
)1(2
2/1
)(
1
2/11 1
2/1 a
x
dxx
x
dx
aA
aa a
  

 Se o integrando f é positivo ao longo do intervalo de integração, pode-se 
 mais uma vez interpretar a integral imprópria como a área sob a curva 
 de f e acima do eixo x entre os limites de integração. 

1
0
1
dx
x
2)22(limlim
0
1
0
1
0










 
 a
x
dx
x
dx
a
a
a
9 
Integrais Impróprias – Tipo II 
 
Definição: Integrais de funções que se tornam “infinitas” em um 
 ponto do intervalo de integração são integrais impróprias do Tipo II 
 
 
1. Se f (x) é contínua em (a, b] e 
 descontínua em a: 
 
 
 
 
2. Se f (x) é contínua em [a, b) e 
 descontínua em b: 
 
 
 
3. Se f (x) é descontínua em c 
 onde a < c < b e contínua 
 em [a, c) U (c, b]: 
 
 
 

b
c
ac
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
 

c
a
bc
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
dxxfdxxfdxxf
b
c
c
a
b
a
  )()()(
A integral converge se as duas integrais do 
lado direito forem convergentes 
Integrais Impróprias – Tipo II 
 
c
a
bc
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
 Exemplo1: Deseja-se calcular a integral 
O integrando é contínuo em [0, 1) e descontínuo em 1: 
 
 





cucxux
dudxdxduxu
1parae10Para
1
 
c
dx
x
0
1
1
ccu
u
du c
c



 1ln1ln1lnln
1
1
1
1
OBS: Em todos os casos, se o limite é finito, diz-se que a integral converge e que o 
limite é o valor da integral imprópria. Se o limite não existe, diz-se que a integral 
imprópria diverge. 

 
 ]1ln[lim1
1
1
1
0
cdx
x c
A integral diverge Finalmente: 
 
 
 
1
0
1
1
dx
x
11 
Integrais Impróprias – Tipo II 
 Exemplo 2: Determine o volume do sólido, sendo -  < x  ln2 
As seções transversais do sólido  eixo x são 
discos circulares com diâmetros que vão do 
eixo x até a curva y = ex. 
 
 
 
)4(
8
)(
884
)()( 224ln
2ln
2
2ln 2ln
2 bb
b
x
b b
x eeeedxedxxAbV   

x
x
e
e
rxA 2
2
2
42
)(

 









Inicialmente, define-se o volume do sólido no intervalo : b  x  ln2. Pelo Método 
do Fatiamento, tem-se que: 
 
 
 
Finalmente: 
 
 
 
2
)04(
8
)4(
8
lim 2



b
b
eV
12 
Integrais Impróprias – Tipo II 
 Importante: Antes de calcular uma integral, deve-se avaliar se a mesma é 
imprópria. 
 Às vezes é impossível determinar o valor exato de uma integral imprópria, 
 mas é possível saber se a mesma converge ou diverge: Teste de Comparação 
 e Teste de Comparação no Limite. 


a
dxxf )( 

a
dxxg )(Se é convergente, então é convergente. 


a
dxxg )( 

a
dxxf )(Se é divergente, então é divergente. 
 Teste de Comparação 
 Suponha que f e g sejam funções contínuas 
 com f (x)  g(x)  0 para x  0. 
13 
Integrais Impróprias - Resumo 
Limites Infinitos de 
Integração (Tipo I) 
Integrando Infinito 
(Tipo II) 
 
Limitante 
Superior: 
 
 
 
 
Extremidade 
Superior: 
 
Limitante 
Inferior 
 
 
 
Extremidade 
Inferior: 
 
Os dois 
limitantes 
 
 
 
Ponto 
Interior: 
 


 21 x
dx



0
21 x
dx
dx
x
x


1
2
ln


1
0
3/2)1(x
dx


3
1
3/2)1(x
dx


3
0
3/2)1(x
dx
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Integrais Impróprias – Tipo II 


2
0 1
1
dx
x
Resp: 4 a) 



1
0
2 2
1



d Resp: b) 3
 Exercício: Resolva as integrais impróprias a seguir 
15