TeoremaFundCalculo_Final

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Teorema Fundamental do Cálculo 
 Teorema do Valor Médio para integrais definidas 
 O valor médio de uma função contínua ao longo de um intervalo [a, b] 
 é sempre assumido pelo menos uma vez pela função no referido 
 intervalo. 
Valor médio 
 Geometricamente: existe um número c em [a, b] tal que o retângulo 
 com altura igual ao valor médio f (c) da função e base (b – a) tem 
 exatamente a mesma área que a região sob a curva de f entre a e b. 
 
 
 
 
 
 

b
a
dxxf
ab
)(
1
1 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 Resumindo: Se a função f for contínua ao longo de [a, b], então em 
 algum ponto c em [a, b]: 


b
a
dxxf
ab
cf )(
1
)(
 Importante: A continuidade de f é fundamental, pois uma função descontínua 
 pode não assumir seu valor médio no intervalo. 
Valor médio 
2 
 
 
 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 Exemplo: Determine o valor médio de f (x) = 4 – x em [0, 3] e em que ponto 
 do intervalo a função assume este valor. 
 Resp: M = 2,5 e c = 1,5. 
 Teorema Fundamental – Parte I 
 Se f (t) for uma função integrável em um intervalo finito I, então a 
 integral de qualquer número fixo a  I até outro número x  I 
 definirá uma nova função F dada por: 

x
a
dttfxF )()(
3 
 
 
 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 Se f for qualquer função contínua, o Teorema Fundamental afirma que F 
 será uma função derivável de x cuja derivada é a própria função f. 
 
 
 Em cada valor de x: 
 
 Aspectos Geométricos 
 
 Se f ≥ 0 em [a, b], para calcular , 
 segundo a definição de derivada, faz-se: 
 
)()()( xfdttf
dx
d
xF
dx
d
x
a
 
)()()( xfhxFhxF 
Para h > 0, o numerador é obtido a partir 
da subtração de duas áreas. 
 
Assim, ele é a área sob a curva de f de x 
até x + h. Se h é pequeno: 
 
 





 
 h
xFhxF
h
)()(
lim
0
4 
)(xF 
 
 
 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 Dividindo os dois lados por h e considerando h  0: 
 
 
 Teorema 
 
 Se f é contínua em [a, b], então é contínua em [a, b] 
 e derivável em [a, b]. 
 
 
 Sua derivada é f (x): 
)(
)()(
lim)(
0
xf
h
xFhxF
xF
h





 



x
a
dttfxF )()(
)()()( xfdttf
dx
d
xF
x
a
 
5 
 
 
 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 Exercício: Use o Teorema Fundamental do Cálculo para obter: 
 
 )(
1
1
a.
0
2
xfdt
tdx
d
x



5
)sen3(b.
x
dttt
dx
d

2
1
cossec.
x
dtty
dx
dy
6 
 
 
 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 Prova do Teorema Fundamental do Cálculo – Parte I 
 
Aplicando a definição de derivada à função F(x), quando x e (x + h) estão em 
 (a, b), tem-se: 
 
 
 De acordo com o Teorema do Valor Médio para Integrais Definidas, o valor (*) 
 é um dos valores assumidos pela função f no intervalo entre x e x + h. 
 
 Para algum número c: 
 
 













 
  


hx
a
x
a
hh
dttfdttf
hh
xFhxF
xF )()(
1
lim
)()(
lim)(
00




hx
x
h
dttf
h
)(
1
lim
0
(*) 



hx
x
dttf
h
cf )(
1
)(
7 
 
 
 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
Quando h  0, (x + h)  x e c  x. Como f é contínua em x, f (c) se aproxima de f (x): 
 
 
Assim: 
 
 )()(lim)(
1
lim)(
00
xfcfdttf
h
xF
h
hx
x
h





OBS: Se x = a ou b, o limite do início da demonstração é interpretado como 
um limite lateral com h  0+ ou h  0+ respectivamente. 
 
)()(lim
0
xfcf
h


8 
 
 
 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 Teorema Fundamental – Parte II 
 Descreve como calcular integrais definidas sem a necessidade de 
 calcular limites de Somas de Riemann: 
)()()( aFbFdxxf
b
a

Se f é contínua em qualquer ponto de [a, b] e se F é qualquer primitiva 
de f em [a, b], tem-se: 
 Prova do Teorema Fundamental do Cálculo – Parte II 
 A parte I do Teorema Fundamental diz que existe uma primitiva de f dada por: 
 
 

x
a
dttfxG )()(
9 
 
 
 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 Se F for qualquer primitiva de f, tem-se que F(x) = G(x) + C para alguma 
 constante C, sendo a < x < b (Corolário 2 do Teorema do Valor Médio para 
 Derivadas). 
 Como F e G são contínuas em [a, b], a expressão F(x) = G(x) + C também é 
 válida para x = a e x = b, considerando-se limites laterais, pois são pontos 
 de extremidade. Assim: 
    )()()()()()( aGbGCaGCbGaFbF 
 
b
a
a
a
b
a
dttfdttfdttf )()()(
OBS: Notação para F(b) – F(a) é:  
b
a
b
a
xFxF )(ou)(
Quando F(x) tem mais de 
um termo 10 
 
 
 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 Conclusões 
 
 Se você primeiro integrar a função f e depois derivar o resultado, vai 
 obter a função f : 
Assim, de certa forma, os processos de integração e derivação são o 
“inverso” um do outro. 
)()( xf
dx
dF
dttf
dx
d
x
a

 
 Se você primeiro derivar a função F e depois integrar o resultado, vai 
 obter a função F (ajustada por uma constante de integração): 
)()()( aFxFdttfdt
dt
dF
x
a
x
a







11 
 
 
 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 O teorema ainda afirma que: 
 
 Qualquer função contínua f tem uma primitiva F. 
 
 A equação diferencial dy/dx = f (x) tem uma solução y = F(x) para 
 qualquer função contínua f. 
 Exercício: Calcule as integrais abaixo: 
 
 

0
cosa. dxx
 
2
0
)2(b. dtt

4
1
4
c. dx
x
Resp: 0 
Resp: 4 ln4 
Resp: -1 
12 
 
 
 
 
 
Área Total 
 Na soma de Riemann quando f (ck) é 
 
 positiva: f (ck) x é a área de um retângulo. 
 negativa: f (ck) x é a área de um retângulo com sinal negativo. 
 Exemplo: Seja a função y = sen(x) no intervalo [0, 2]. Pede-se: 
 
a. Calcular a integral definida de f (x) em [0, 2]. 
 
b. Determinar a área de f (x) entre o gráfico da função e o eixo x em [0, 2]. 
 
 
Respostas: 
a. 0 
b. 4 
13 
 
 
 
 
 
Área Total 
 Resumindo: Para determinar a área entre a curva y = f (x) e o eixo x no intervalo 
 [a, b]: 
 
a. Subdividir o intervalo [a, b] nas raízes de f. 
b. Integrar o valor da função f em cada subintervalo. 
c. Somar os valores absolutos das integrais. 
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