UCA001_Pesquisa_Operacional_Tema12

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Resolução gráfica de um problema com 
duas variáveis
Dayse Mendes
Introdução
Nesta aula vamos estudar uma nova forma de resolver problemas organizacionais utilizando 
a Programação Linear. Você sabia que por meio do Método Gráfico podemos esboçar todos os 
dados de um problema em um plano cartesiano? Você aprenderá também que, com base na aná-
lise da região de soluções, visualizadas no gráfico, podemos verificar os objetivos desejados para 
a situação em estudo.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender como resolver problemas com duas variáveis pelo Método Gráfico, sem o uso 
de solvers.
1 Conceito
Você saberia definir Programação Linear? Hillier e Lieberman (2013) explicam que a palavra 
programação, neste caso, é usada como sinônimo de planejamento; os autores afirmam ainda 
que as funções matemáticas, que compõem a resolução dos problemas de Programação Linear, 
são, necessariamente, lineares. Desta forma, podemos afirmar que a Programação Linear envolve 
planejamento de atividades, de forma a atingir o melhor resultado entre as alternativas viáveis. Sua 
resolução pode ser feita por vários meios, entre eles o método Simplex ou com o uso de softwares, 
como o Lindo®, o ARENA® ou o Solver® do Excel, assim como o Método Gráfico. 
Figura 1 – Método Gráfico
1
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2
3
3
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9
10
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9
10
o
A
B
C
D
7
Fonte: elaborada pela autora, 2017.
Vale destacar que os problemas a serem resolvidos por meio da Programação Linear podem 
apresentar muitas variáveis. Mas, atenção: devemos considerar os casos com somente duas vari-
áveis uma aplicação clássica para o estudo de Pesquisa Operacional. Nesta situação é possível 
revolver o problema utilizando o Método Gráfico.
FIQUE ATENTO!
Situações reais de problemas, que podem ser resolvidas via Programação Linear, 
normalmente, envolvem um grande volume de variáveis. Nestes casos, no entanto, 
elas não serão resolvidas por meio do Método Gráfico, sendo ideal usar softwares 
específicos, como o solver do Excel.
O Método Gráfico consiste, segundo Hillier e Lieberman (2013, p. 23), em “construir um grá-
fico bidimensional tendo x1 e x2 como eixos”, no qual se desenham retas que limitam o intervalo de 
valores permissíveis para as restrições técnicas apresentadas na situação problema.
SAIBA MAIS!
Além do Método Gráfico, é possível resolver problemas de Programação Linear com 
outros métodos manuais ou ainda com a utilização de softwares, como o solver. Um 
dos métodos manuais mais conhecidos é o Método Simplex. Para saber mais sobre 
o Método Simplex de resolução de problemas de Programação Linear confira o item 
2.8 da obra de Marins (2011).
É importante mencionar ainda que a solução gráfica resolve problemas com duas ou três 
variáveis, no máximo, pois não é possível plotar mais variáveis em um gráfico.
Figura 2 – Gráfico com três variáveis
Fonte: rendeep kumar r / Shuttestock.com
2 Aplicabilidade do Método Gráfico
Embora um problema com somente duas ou três variáveis não seja uma situação real 
comum, entender este contexto é útil para conseguirmos analisar os casos que apresentam mais 
variáveis, além de conhecermos conceitos importantes, tais como: o que é uma solução viável ou 
um valor ótimo da função objetivo. Estes estudos podem também nos auxiliar no entendimento 
da resolução deste tipo de problema pelo Método Simplex, o método manual mais utilizado para 
resolução de problemas de Programação Linear.
EXEMPLO
Vamos analisar a situação de uma empresa que fabrica bolas e apresenta possi-
bilidade de uso do Método Gráfico. A fábrica produz dois tipos de bola: de futebol 
e de vôlei. Os dois tipos utilizam couro, variando apenas na dimensão, no padrão 
de costuras e na rotulagem. Para que possam ser fabricadas exige-se uma série 
de operações, como o corte do couro, a costura, a pintura das inscrições na bola, 
o enchimento, o controle de qualidade e a embalagem. O que a empresa deseja 
saber é como deve ser feito o planejamento de produção para maximizar o lucro, 
observando as restrições de material e de tempo para a fabricação de cada tipo de 
bola. Neste caso, as variáveis do problema são a quantidade de bolas de futebol e 
a quantidade de bolas de vôlei a serem produzidas. São duas variáveis. Assim, esta 
situação é uma ótima candidata à resolução por meio do Método Gráfico (BARBO-
SA, 2015).
Por isso, grave bem: o Método Gráfico é aplicável como método de resolução de problemas 
organizacionais em várias situações simples, como nos casos de análise com somente duas vari-
áveis de decisão.
FIQUE ATENTO!
A resolução de problemas em Programação Linear utilizando o Método Gráfico pos-
sibilita revisar conceitos de matemática, como desigualdades, função de primeiro 
grau, representação gráfica de equações e inequações, porém de forma aplicada a 
situações reais simples.
A aplicação desse método, segundo Barbosa (2015), permite destacar a importância da aná-
lise gráfica para a obtenção da melhor solução possível, de acordo com as condições impostas 
pelo problema em questão.
3 Identificação das variáveis no gráfico
Para solucionarmos um problema de Programação Linear pelo Método Gráfico precisamos 
entender como esboçar as retas das equações e inequações lineares que compõem o modelo 
do problema (seu sistema de equações e inequações), visto que a representação gráfica de uma 
equação linear com duas variáveis é uma reta. 
Note que as variáveis de decisão de um problema modelado em Programação Linear estarão 
presentes na equação linear da função objetivo, ou seja, do que se pretende atingir na situação 
problema. Elas também estarão presentes nas inequações relativas às restrições do problema, 
tanto as técnicas como as de não negatividade. Conforme Marins (2011), para realizar este esboço 
devemos considerar, inicialmente, as restrições do problema e a função objetivo.
Lembre-se que as restrições técnicas estão relacionadas aos recursos das organizações que, 
de modo geral, limitam as ações da empresa. Já as restrições de não negatividade dizem respeito 
ao fato de que as variáveis de decisão não podem ter um resultado negativo, visto que no mundo 
real não é possível, por exemplo, fabricar quantidades negativas de produtos. Sendo assim, as 
variáveis de decisão sempre serão maiores ou iguais a zero.
FIQUE ATENTO!
Uma equação pode ser entendida como uma equação linear se for escrita da se-
guinte forma: 
a1 x1 + a2x2 +a3x3 + ... + anxn = b, em que os coeficientes a1, a2, a3, ... an são coeficientes 
das incógnitas x1, x2, x3, ... , xn e o elemento b é o termo independente, que possui um 
valor numérico e pode assumir qualquer valor real.
É preciso considerar para a resolução do problema as restrições de não negatividade. Neste 
sentido, o Método Gráfico só terá soluções possíveis dentro do quadrante em que as duas vari-
áveis são positivas (primeiro quadrante). Soluções negativas, como a própria denominação da 
restrição indica, não são aceitas. 
Figura 3 – Identificação das restrições
Restrição de 
plástico
Restrição de
produção total
Restrição
de tempo
o
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
80
160
240
320
400
480
560
640
720
800
E
H
A
D
C
G
B I F
Fonte: elaborada pela autora, 2017.
SAIBA MAIS!
Para entender melhor sobre a modelagem de um problema de Programa-
ção Linear, estabelecendo as equações e inequações relativas à função obje-
tivo e as restrições do problema, necessárias à sua resolução, leia o capítulo 
dois de Hillier e Lieberman (2013), disponível em: < https://books.google.com.
br/books?id=-A88a0-KxQ0C&pg=PA3&dq=introdu%C3%A7%C3%A3o+a+pes-
quisa+operacional&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwi3_O2auvPUAhXKIpAKHZs-
2BUIQ6wEIKDAA#v=onepage&q=introdu%C3%A7%C3%A3o%20a%20pesquisa%20
operacional&f=false>.
Portanto, ao resolver um problema de Programação Linear pelo Método Gráfico você deve, 
inicialmente, modelar o problema de forma a obter as equações e inequações lineares do mesmo, 
para então construir os segmentosde reta correspondentes às restrições no plano cartesiano, de 
forma a iniciar a resolução do problema.
4 Identificação da região de soluções 
Ao plotar as inequações de restrição, no gráfico preparado para a resolução de um determi-
nado problema de Programação Linear, podemos observar uma área formada pela intersecção de 
todas as retas relativas às restrições (MARINS, 2011). Perceba que é nesta área que, em análise 
posterior, poderemos identificar a solução otimizada do problema.
EXEMPLO
Imagine uma empresa que produz dois tipos de brinquedos: B1 e B2. Cada um uti-
liza, simultaneamente, dois recursos: plástico (até 1 mil quilos estão disponíveis) e 
horas de produção (até 40 horas estão disponíveis). A manufatura possui duas res-
trições técnicas que prevê que cada dúzia do brinquedo B1 usa 2 quilos de plástico 
e 3 minutos de produção, e cada dúzia do brinquedo B2 usa 1 quilo de plástico e 
4 minutos de produção A empresa tem ainda outra restrições técnica, do departa-
mento de Marketing, que determina que não se pode fabricar mais de 700 dúzias 
do total de brinquedos (B1 e B2). O lucro estimado na venda do B1 é R$ 8/dúzia e 
para o B2 é R$ 5/dúzia. A empresa deseja maximizar o lucro total e semanal e, para 
tanto, precisa determinar qual é a quantidade a ser produzida de cada brinquedo. É 
uma situação que pode ser resolvida pelo Método Gráfico, pois apresenta somente 
duas variáveis de decisão, ou seja, quantidade a produzir de B1 e de B2. Há três 
restrições técnicas, cujas inequações são: 2 x1 + 1 x2 ≤ 1000 (Plástico), 3 x1 + 4 x2 ≤ 
2400 (Tempo de Produção - Minutos), x1 + x2 ≤ 700 (Produção Total). Ao plotar no 
gráfico estas três inequações é possível delimitar a área de soluções do problema.
Figura 4 – Região de soluções
A
H
E
D
C
G
B I Fo
100
200
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720
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Fonte: elaborada pela autora, 2017.
A região de soluções apresentada pelo Método Gráfico pode ter três tipos de soluções viáveis 
possíveis, conforme Marins (2011): os pontos dentro da região de soluções, denominados de solu-
ção viável interior; os pontos na fronteira, ou seja, em cima das retas, denominados de solução 
viável de fronteira; e os pontos que são vértices, ou seja, se encontram na intersecção entre as 
retas, denominados de solução viável de vértice.
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • estudar a definição de Programação Linear e Método Gráfico;
 • conhecer um método de resolução de problemas de Programação Linear simples, com, 
no máximo, três variáveis, sem o uso de softwares;
 • aprender a esboçar as retas das equações e inequações;
 • entender a região de soluções e seus três tipos viáveis: interior, de fronteira e vértice.
Referências 
BARBOSA, Marcos Antonio; ZANARDINI, Ricardo Alexandre Deckmannn. Iniciação à pesquisa ope-
racional no ambiente de gestão. 3. ed. Curitiba: Intersaberes, 2015.
HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. 
Porto Alegre: AMG Editora, 2013. Disponível em <https://books.google.com.br/books?i-
d=-A88a0-KxQ0C&pg=PA3&dq=introdu%C3%A7%C3%A3o+a+pesquisa+operacional&hl=p-
t-BR&sa=X&ved=0ahUKEwi3_O2auvPUAhXKIpAKHZs2BUIQ6wEIKDAA#v=onepage&q=introdu%-
C3%A7%C3%A3o%20a%20pesquisa%20operacional&f=false>. Acesso em: 4 jul. 2017.
MARINS, Fernando Augusto Silva. Introdução à Pesquisa Operacional. São Paulo: Cultura Acadê-
mica, 2011.