Lista22-SMA301

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Lista de exerc´ıcios de SMA-301 - Ca´lculo I - Prof. Valdir Menegatto #22
1. A base de um so´lido e´ a regia˜o delimitada pelas gra´ficos de y = x2 e y = 4. As secc¸o˜es
perpendiculares ao eixo y do so´lido sa˜o quadrados com um lado na base. Determine o
volume do so´lido.
2. Um so´lido e´ constru´ıdo de tal forma que suas secc¸o˜es sejam triaˆngulos iso´sceles com
altura constante 6. A base de cada triaˆngulo e´ uma corda da para´bola y2 = 4x, perpen-
dicular ao eixo x, com 0 ≤ x ≤ 4. Encontre o volume do so´lido.
3. Um so´lido tem base circular de raio 5. Encontre o volume do so´lido sabendo-se que cada
secc¸a˜o plana perpendicular a um diaˆmetro fixo e´ um semi-c´ırculo.
4. Calcule as integrais abaixo:∫
1
3t+ 1
dt
∫
t+ 1
t2 + 16
dt
∫
x2
x+ 1
dx
∫
ln3 x
x
dx
∫
t3
t− 2 dt∫ 0
−2
1
(11 + 5x)3
dx
∫ 4
0
x
1− x2 dx
∫ 4
2
t
1− t2 dt
∫ x
1
(t+
√
t)2
t3
dt∫ 3
1
t2 − 5t+ 2
6− t dt
∫ 4
1
x
3− x dx
∫
5 + ln2 x
x(3 + ln x)
dx
∫
x
(3x+ 5)2
dx
5. Calcule as integrais abaixo:∫
6x dx
∫
pix dx
∫
47x dx
∫
2x/5 dx
∫ 1
0
(e− 1)x dx∫
x4x
2
dx
∫
10xex dx
∫ √
85x dx
∫
3
√
92x dx
∫
1
x log8 x
dx∫ 2
1
1
(x log10 5)
3
dx
∫
2x
5 + 2x
dx
∫
1
1 + 3x
dx
6. Calculando a derivada de x lnx, deduza a fo´rmula∫
lnx dx = −x+ x lnx+ C
7. Depois de verificar que a desigualdade∫ x
1
1
t
dt ≤
∫ x
1
1√
t
dt, x > 1
vale, deduza que limx→∞ x−1 lnx = 0.
8. Use o exerc´ıcio anterior para deduzir que limx→0+ x lnx = 0.
1
9. Calcule as integrais:∫
e3xdx
∫
e6x
ex
dx
∫
e3x + 1
ex
dx
∫
e−x
2
xdx
∫
e1/x
x2
dx
∫
elnxdx
∫
(e−4x + 2)2dx
∫
(ex + 5)3dx
∫
e10x
100 + e10x
dx∫ 2
1
xex
2+1dx
∫ 3
2
xe−4 lnxdx
∫ −1
−2
e−x
1 + e−x
dx
∫ 1
0
1
ex + 1
dx
10. Calcule as integrais abaixo. Apesar de na˜o ser necessa´rio, tente notar quais sa˜o os valores
de x para os quais a fo´rmula encontrada vale.∫
1√
x2 + 4
dx
∫
1√
16x2 − 1 dx
∫
x cotghx2 dx∫
cosh 2x dx
∫
senh 23x dx
∫
1√
x2 − 6x+ 10 dx
2