Limites no infinito

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CÁLCULO DIFERENCIAL
AULA 2
 
 
 
CONVERSA INICIAL
Olá! Seja bem-vindo(a) a esta aula, na qual seremos convidados a generalizar
um pouco mais o conceito de limite de funções, compreendendo,
principalmente, os casos em que  Faremos isso com base em um exemplo
intuitivo. Além disso, reservamos um espaço para discutirmos melhor o que
 
 
 
 
 
 
Prof. Guilherme Augusto Pianezzer
significa uma função contínua e que tipo de informações podemos extrair dessa
interpretação. Como discutido anteriormente, uma das passagens na resolução
de limites envolve o fato de que uma função contínua tem limite no ponto igual
ao valor da função. Voltaremos a discutir a diferença entre limite de função e
valor da função no ponto.
TEMA 1 – LIMITE NO INFINITO: POR QUE
PRECISAMOS ANALISAR O LIMITE DE UMA FUNÇÃO
QUANDO X CRESCE INDEFINIDAMENTE?
Suponha que conheçamos uma função que descreve o tamanho da
população de moscas à medida que o tempo passa. Então, um cientista
preocupado com saber o comportamento dessa população daqui a muito tempo
poderia investigar:
.
Em um caso muito simplificado de crescimento populacional, podemos
imaginar as moscas se multiplicando indefinidamente. Assim, vários modelos irão
indicar que:
.
Tais modelos querem dizer que a quantidade de moscas tende ao infinito.
Entretanto, os modelos mais próximos da realidade indicarão que a quantidade
de moscas possui um limitante superior, o qual chamaremos de assíntota
horizontal. Isso porque existem limitantes reais, como espaço físico,
disponibilidade de alimentos e tantos outros, que restringem o tamanho da
população a longo prazo. Veja que a análise que faremos pressupõe , o que
aparentemente não tem aplicação real (visto que não existe nenhum tempo tão
grande quanto o infinito), mas podemos identificar uma forte interpretação de
convergência em certos casos.
TEMA 2 – ANÁLISE DA FUNÇÃO Y = 1/XN: COMO
ENTENDER O COMPORTAMENTO DA FUNÇÃO Y =
1/XN PARA N ≥ 1?
A principal técnica de resolução de limite pressupõe a análise das funções:
.
 
Então, considere o Gráfico 1. Note que, por se tratar da função ,
podemos entender o comportamento dessa função ao substituir valores
crescentes de . Para   obtemos ; para , obtemos 1/2; para 
, obtemos   e assim por diante. Precisamos observar, e isso fica claro
com a leitura do Gráfico 1, que, à medida que  cresce indefinidamente, isto é,
sem parar, o resultado dessa função tende a 0.
Gráfico 1 – Função y = 1/x no domínio x = [0,11], desenvolvida com uso do
software Geogebra
Em termos de limite de funções, podemos afirmar que:         
.
 
Veja, também, que, ao escolher , também podemos observar que
.
 
Note que tal resultado pode ser explorado, intuitivamente, da mesma forma
que induzimos o resultado para . Inclusive, para valores maiores de , a
função  converge mais rapidamente para 0. Poderíamos estar interessados,
também, em investigar o que ocorre com essas funções quando  Note,
observando o Gráfico 2, que
Gráfico 2 – Função y = 1/x no domínio x = [-3, 3], desenvolvida com uso do
software Geogebra
Intuitivamente, também podemos observar, pelo Gráfico 2, que
;
.
Daí, temos três conclusões. Em primeiro lugar, que
,
 
visto que os limites laterais são diferentes. Em segundo lugar, que existe uma
diferença entre limite no infinito e limite infinito. Essa nomenclatura fica clara à
medida que é utilizada. Em terceiro lugar, dizemos que a reta , nesse caso, é
uma assíntota horizontal, visto que a função nunca retorna 0 nas vizinhanças de
TEMA 3 – TÉCNICA PARA RESOLUÇÃO DE LIMITES NO
INFINITO: COMO UTILIZAR A ÁLGEBRA PARA
DETERMINAR O COMPORTAMENTO DE
DETERMINADAS FUNÇÕES QUANDO X→∞?
Então, vejamos como utilizar os resultados discutidos na seção anterior para
encontrar
.
Note, inicialmente, que, se tentarmos substituir   por infinito, o que é
matematicamente inviável, visto que não é um número, encontraremos ,
que também é uma indeterminação. Mais uma vez, estamos tentando substituir
uma inconsistência e a álgebra está apresentando que não existe tal valor da
função no ponto. Entretanto, pode existir o limite da função quando , isto
é, para a vizinhança de   Para extrair tal valor, podemos operar evidenciando
uma determinada potência de   no numerador e no denominador. Veja que,
escolhendo , escrevemos:
.
Então, usamos a propriedade de limites para separar cada um dos termos e
analisá-los separadamente. Assim,
.
Nesse caso, evidenciamos que existem alguns limites cujos resultados
tendem a zero. Assim, escrevemos:
 
.
Nessa passagem, observamos que , visto que se trata da função
constante que mantém esse comportamento quando  Por fim, verificamos
que
.
Pelo mesmo raciocínio utilizado para mostrar que , alguém
poderia decidir colocar  em evidência, em um primeiro momento. Nesse caso,
chegaria a
Ou seja, chegaria ao mesmo resultado. O Gráfico 3 confirma esse resultado.
Gráfico 3 – Função 
Vejamos um segundo exemplo, em que estamos interessados em
determinar:
.
Assim, escolhemos colocar  em evidência, obtendo:
.
Esse segundo caso mostra com mais facilidade a assíntota horizontal, nesse
caso,  Veja que isso pode ser observado no Gráfico 4.
Gráfico 4 – Função , além da assíntota 
Em um terceiro caso, podemos estar interessados em investigar o que ocorre
quando
.
 
Então, colocamos  em evidência, obtendo:
,
 
o que indica que existem funções que divergem quando , isto é, que
crescem indefinidamente. Isso é confirmado no Gráfico 5.
Gráfico 5 – Função y = (2x^3-3x^2+1)/(x^2+2x+4)
TEMA 4 – ANÁLISE DE UM CASO APLICADO: COMO O
ESTUDO DE FUNÇÕES EM X → ∞ PODE SER UTILIZADO
PARA CONCLUIR O CENÁRIO DE CASOS REAIS?
Considere uma função custo que descreve o custo da produção de uma
determinada quantidade de livros. Então, suponha que  se refere à quantidade
de livros e   ao seu custo em reais, de forma que relacionamos  a   com
base em  Alguém poderia estar interessado em investigar o que ocorre na
produção de uma grande quantidade de livros. Mesmo sendo inviável produzir
infinitos livros, vejamos o que essa análise nos diz. Então, suponha que o modelo
é dado por:
.
Note que podemos separar essa função em duas partes: a primeira refere-se
ao custo variável, visto que ele varia à medida que você escolhe produzir mais
livros. Isso porque haverá, com essa decisão, gastos crescentes de matéria-prima,
mão de obra e tantos outros fatores. A segunda parte refere-se ao custo fixo,
visto que ele existe mesmo quando se decide produzir livro nenhum. Isso porque
há um custo de aluguel, de contratos de maquinários e tantos outros fatores que
devem ser pagos mesmo sem produção nenhuma. É fácil observar que:
.
Isso mostra que, quando se decide produzir infinitos livros, não se terá
condições de pagar por tal coisa. Entretanto, vejamos o que ocorre com o custo
médio quando . O custo médio é dado por:
,
 
o que indica quanto custa produzir cada um dos livros para um determinado
nível de produção. Assim, para  dado, podemos chegar a
.
 
Agora, vejamos o que ocorre com o custo médio quando   cresce
indefinidamente. Nesse caso, é fácil observar que
.
 
o que indica para nós que, à medida que produzimos mais livros, o custo
médio, isto é, o custo por livro se aproxima do custo variável. De forma
equivalente, observarmos que o custo fixo é diluído ao longo de cada um dos
livros, de forma que, para , tal custo é irrelevante para a produção.
TEMA 5 – CONTINUIDADE: COMO CONSTRUIR O
CONCEITO DE CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO?
Vejamos o conceito de continuidade de função. De forma intuitiva,
verificamos que existe continuidade em diversos tipos de fenômenos. Por
exemplo, quando soltamos um objeto em queda livre do quinto andar de um
prédio, não podemos imaginar que ele tenha chegado ao térreo sem passar no
terceiro ou no quarto andar. Sobre esse comportamento de uma função, dizemos
que ela é contínua. Mas, para realizarmos a definição corretamente, vejamos o
que ocorrequando a função não é contínua em um ponto, isto é, que é
descontínua. Por exemplo, temos o Gráfico 6. Nele, traçamos a função 
 e uma assíntota vertical . Tal função não é contínua, visto que, quando 
 pela esquerda, ; já quando  pela direita, .
Então, observamos que uma condição necessária, mas não suficiente, para que a
função seja contínua é que deve existir limite de função no ponto.
 
Gráfico 6 – Função , além da assíntota vertical 
 
Então, vejamos o caso da função apresentada no Gráfico 7. Nela,
apresentamos a função vista anteriormente, representando a velocidade de um
trem. Note que, para o caso em que , a função apresenta limite para 
, cujo resultado é 4. Entretanto, a função não está definida no ponto. Assim,
verificamos a necessidade de existir o valor da função no ponto como a segunda
condição necessária, mas ainda não suficiente para determinar se a função é
contínua no ponto.
Gráfico 7 – Função 
No último caso, apresentamos a função , quando ; e 
  quando , no Gráfico 8. Essa função separada por partes é descontínua,
mesmo existindo valor da função em  e existindo limite da função quando 
Gráfico 8 – Função y = x2, quando x ≠ 0; e y = 1, quando x = 0
Assim, podemos escrever que uma função é contínua, em um ponto ,
quando atender às seguintes condições:
a. existe ;
b. existe ;
c. .
Ressaltamos que existe diferença entre ambos os conceitos. Também
definimos que uma função é dita contínua (ou inteiramente contínua) quando ela
é contínua em todos os pontos. Por exemplo, vamos considerar a função definida
por
.
Será que existe algum valor de  de forma que   seja contínua em 
? Primeiro, encontramos . Observamos que
.
 
Na sequência, devemos verificar
.
 
Como a função é separada por partes, devemos verificar os limites laterais.
No caso esquerdo, verificamos que:
.
 
No caso direito, que:
.
 
Para existir limite, devemos ter:
;
;
.
 
Assim, para o caso em que , . Para mostrar que a
função é contínua, devemos garantir que
;
.
 
Como essa equação é uma identidade, garantimos a continuidade da função.
NA PRÁTICA
Calcule os seguintes limites:
a. ;
b. ;
c. ;
d. ;
e. ;
f. ;
g. ;
h. ;
i. ;
j. ;
k. .
FINALIZANDO
Nesta aula, aproveitamos para reforçar um pouco mais o tipo de operação
em que estamos interessados quando estamos calculando o limite de funções.
Com isso, já temos ferramentas disponíveis para determinar o que seria a
derivada de uma função.