Álgebra Matricial

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NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE076 
 
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1. ÁLGEBRA MATRICIAL 
 
 
1.1. MATRIZ, VETOR, ESCALAR 
 
 
Matriz: [ ]
nmij
mnmm
n
n
a
aaa
aaa
aaa
A
×
=












=
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
 
 
Vetor: 












=
nv
v
v
v
M
2
1
 
 
 
 
Escalar: a, b, c, ... 
 
1.2 MATRIZES ESPECIAIS 
 
1.2.1. Matriz Nula: A = nmij ]a[ × tal que aij = 0 para ∀ i,j 
 
 
 
Exemplo: 
 
 










=
000
000
000
A 
 
1.2.2. Matriz Diagonal: A = nnij ]a[ × tal que aij = 0 para todo i ≠ j. 
 
Exemplo: 
 









−
=
300
020
001
A 
 
 
1.2.3. Matriz Escalar: é uma matriz diagonal A tal que aij = k (escalar) para 
todo i = j. 
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Exemplo: 
 










=
400
040
004
A , 
 
 
1.2.4. Matriz Identidade: é uma matriz escalar A tal que aij = k = 1. 
 
Exemplo: 
 










=
100
010
001
A , 
 
 
1.2.5. Matriz Transposta: da matriz nmij ][aA ×= é a matriz mnji ][aA' ×= . 
 
Exemplo: 
 
 Transposta de 




−
=
042
153
A 
 
Propriedades da transposta: 
 
(a) A)'(A' = 
 
(b) kA'(kA)'= , k = escalar 
 
(c) B'A'B)'(A +=+ 
 
(d) A'B'(AB)' = 
 
1.2.6. Matriz Simétrica: é uma matriz quadrada A tal que A.A'= 
 
 
 Exemplo: 










=
65-3
5-42
321
A , pois: A.A'= 
 
 
 
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1.3. OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
1.3.1. Adição: nmijnmijijnmijnmij ][c]b[a][b][aBAC ×××× =+=+=+= 
 
Exemplo: 
 










−=
31
22
03
A e 










=
02
43-
1-4
B , 
 
Propriedades: 
 
(a) A + B = B + A (comutativa) 
 
(b) A + (B + C) = (A + B) + C (associativa) 
 
(c) A + (-A) = 0 ( existência do elemento oposto), sendo 0 = matriz nula 
 
(d) A + 0 = A (existência do elemento neutro), sendo 0 = matriz nula 
 
 
1.3.2. Subtração: nmijnmijijnmijnmij ][c]b[a][b][aB-AC ×××× =−=−== 
 
Exemplo: 
 










−=
31
22
03
A e 










=
02
43-
1-4
B , 
 
 
1.3.3. Multiplicação de escalar por matriz: nmijnmijnmij ]c[]a.k[]a[kA.kC ××× ==== 
 
Exemplo: 
 
 k = -3; 





−
=
041
321
A , 
Propriedades da multiplicação de escalar por matriz 
 
(a) k.A = A.k 
 
(b) k(A+B) = k.A + k.B 
 
(c) k(AB) = A(kB) = (AB)k 
 
 
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1.3.4. Multiplicação entre matrizes: sejam as matrizes: A: m×p e B: p×n, então 
 
C = 


















∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
==
===
===
===
××
p
j,i
inmj
p
j,i
imj
p
j,i
imj
p
j,i
inj
p
j,i
ij
p
j,i
ij
p
j,i
inj
p
j,i
ij
p
j,i
ij
npijpmij
bababa
bababa
bababa
]b.[]a[B.A
11
2
1
1
1
2
1
22
1
12
1
1
1
21
1
11
L
MLMM
L
L
= nmij ]c[ × 
 
Exemplo: 










−
−=
32
10
32
A e 





−
=
201
421
B 
 
C = AB = 










−
−
32
10
32
. 





− 201
421
= 
 
= 










×+×−×+×−−×+×−
×−+××−+×−×−+×
×+××+×−×+×
234203221312
214001201110
234203221312
)(
)()()()(
)(
=










−−−
−
−
245
201
1441
 
 
 
Propriedades da multiplicação de matrizes: 
 
(a) A(B + C) = AB + AC (1ª Lei Distributiva) 
 
(b) (A + B)C = AC + BC (2ª Lei Distributiva) 
 
(c) A(BC) = (AB)C (Lei associativa) 
 
(d) AB ≠ BA (Em geral não vale a Lei Comutativa) 
 
(e) AB = 0 não implica necessariamente que A = 0 ou B = 0. Exemplo: 
 






=











−
−
00
00
22
11
12
12
 
 
(f) AB = AC não implica necessariamente que B = C. Exemplo: 
 












−
−
=











−
−
00
00
12
12
22
11
12
12
 
 
(g) AI = IA = A 
 
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1.4 MATRIZ INVERSA 
 
Sendo A e B matrizes de ordem n tais que AB = BA = I, então B é a inversa de A ou A 
é a inversa de B. 
 
• A tem inversa se é não-singular ( det ≠ 0). 
 
• A é quadrada. 
 
• A inversa é única. 
 
• Se A é não-singular ⇒ AB = AC ⇒ B = C 
 
• A inversa pode ser determinada pela fórmula: )A(adj
Adet
A
11 =− , sendo 
adj(A) a matriz adjunta da matriz A (é a matriz transposta da matriz dos 
cofatores). A matriz dos cofatores é obtida de A substituindo-se cada 
elemento de A pelo respectivo cofator. Cada cofator é calculado pela 
fórmula: )Adet(.)()a(cof ij
ji
ij
+−= 1 , sendo Aij a matriz resultante de A ao 
eliminarmos a linha i e coluna j. 
 
1.5. TRAÇO DE UMA MATRIZ 
 
O traço tr de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos diagonais 
(diagonal principal) da matriz A, ou seja, ∑
=
=
ji
ijaA . 
Exemplo 
 
 










−
=
341
220
031
A ⇒ tr(A) = 1 + 2 + 3 = 6. 
 
 
 
1.6. MATRIZ ORTOGONAL 
 
Uma matriz quadrada A é ortogonal se IA'A'AA == , isto é, 1A'A −= . 
 
Exemplo: 
 
 










−=
2/16/13/1
0623/1
2/16/13/1
A 
 
 
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1.7. VETORES LINEARMENTE DEPENDENTES (L.D.) 
 
Os vetores x1, x2, .... ,xk de mesma dimensão p são linearmente dependentes se 
existem constantes c1, c2, .... ,ck , nem todas nulas, tal que c1x1 + c2x2 + ... + ckxk = 0 e, 
portanto um vetor é C.L. dos outros. Em caso contrário os vetores são chamados de 
linearmente independentes. 
 
Exercício 1: 
Verifique se x1’ = [1, 2, 1], x2’ = [1, 0, –1] e x3’ = [1, –2, 1] são linearmente 
independentes. 
 
Exercício 2: 
Verifique se x1’ = [1, 1, 3] e x2’ = [4, 4, 12] são linearmente independentes. 
 
 
 
 1.8. PRODUTO INTERNO DE VETORES 
 
Considere os dois vetores reais n-dimensionais: x = [ ]'xxx n21 L e y = 
[ ]'yyy n21 L , o produto interno entre esses vetores é x ⋅ y = 
∑
=
=++
n
1i
iinn2211 yxyxyxyx L . 
Exemplo: x = 










−1
3
2
 e y = 










2
0
3
 ⇒ x ⋅ y = 2×3 + 3×0 + (-1)×2 = 4 
 
 
 
1.9. COMPRIMENTO OU NORMA DE UM VETOR 
 
O comprimento ou norma do vetor x = [ ]'xxx n21 L é definido por 
 
2
n
2
2
2
1 xxx L++== x'xx . 
 
Exemplo: 










−=
1
3
2
x ⇒ 14)1(32x 222 =−++= 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.10. AUTOVALORES E AUTOVETORES 
 
 Dizemos que uma matriz quadrada A tem um autovalor λ com o correspondente 
autovetor e ≠ 0 se A.e = λ.e . 
 
 
Propriedade 1 – Uma matriz quadrada simétrica A: k×k tem k pares de autovalores e 
autovetores: (λ1, e1), (λ2, e2), ... , (λk, ek). Os autovalores podem ser escolhidos de tal 
forma que e’iei = 1 (normalizados). 
 
 
Propriedade 2 – Seja A uma matriz quadrada k×k e I a matriz identidade k×k. Então, 
os escalares λ1, λ2, ... , λk, satisfazendo a equação 0=λ− IA (equação característica) 
são os autovalores de A. 
 
 
Exemplo: 
 
1) Determine os autovalores e autovetores normalizados da matriz 





=
31
01
A . 
2) Determine os autovalores e autovetores normalizados da matriz simétrica 






=
32
21
B . 
 
 
1.11. FORMAS QUADRÁTICAS 
 
 Uma forma quadrática Q(X) nas k variáveis X1, X2, ... , Xk é definida por 
Q(X) = )XAX'( , onde X’ = [X1, X2, ... , Xk] e A é uma matriz quadrada simétrica de 
ordem k×k. A formaquadrática Q(X) pode ser escrita como 
 
Q(X) = kik
k
i
k
j
jiij XXaXXaXaXXa 12112
2
111
1 1
+++=∑∑
= =
L 
 
 kk XXaXaXXa 22
2
2221221 ++++ L 
 
 ......................................................... 
 
 22211 kkkkkkk XaXXaXXa ++++ L 
 
Exemplo: Desenvolva a forma quadrática com X’ = [X1 X2] e 





=
21
11
A 
 
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1.12. MATRIZ POSITIVA DEFINIDA 
 
A matriz quadrada A é positiva definida se X’ A X > 0, para qualquer X ≠ 0 . 
 
Se X’ A X ≥ 0 a matriz A é positiva semi-definida (ou não-negativa). 
 
Se X’ A X < 0 a matriz A é negativa definida. 
 
 
1.13. TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO ESPECTRAL (OU DECOMPOSIÇÃO 
DE JORDAN) 
 
Qualquer matriz simétrica A: k×k pode ser escrita como 
 
kkkiii 'ee'ee'ee'ee'PPA λ++λ+λ=∑λ=Λ= L222111 
 
onde: Λ é uma matriz diagonal com os autovalores da matriz A, ou seja, 
 
 












λ
λ
λ
=Λ
k000
000
000
2
1
MOMM
 
 
 
 P é uma matriz ortogonal cujas colunas são os autovetores normalizados da 
matriz A . 
 
 
[ ]












==
kkkk
k
k
k
eee
eee
eee
eeeP
L
MOMM
L
L
L
21
22212
12111
21 
 
Exemplo 
 
 Mostre que a matriz 





−
−=
22
23
A é positiva definida. Deve-se mostrar 
que X’ A X > 0, para qualquer X ≠ 0 . 
 
 
Observação: Usando o Teorema da Decomposição Espectral pode-se mostrar que uma 
matriz simétrica A: k×k é uma matriz positiva definida se e somente se todos os 
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autovalores de A são positivos. Ela será uma matriz não-negativa definida se e somente 
se todos os autovalores de A são maiores ou iguais a zero. 
 
 
1.14. MATRIZ RAIZ QUADRADA 
 
 A decomposição espectral permite expressar a inversa de uma matriz quadrada 
em termos dos seus autovalores e autovetores e isto leva a uma matriz útil: a matriz raiz 
quadrada. A matriz ∑ =Λ=λ
=
k
i
//
iii A'PP'ee
1
2121 é chamada matriz raiz quadrada de A e 
é denotada por A1/2. 
 
Propriedades: 
 
(1) ( ) 2121 // A'A = (A1/2 é simétrica). 
 
(2) A1/2 A1/2 = A 
 
(3) ( ) ∑ Λ=
λ
=
=
−− k
'i
/
ii
i
/ 'PP'eeA 21
121 1 , onde 21/−Λ é uma matriz diagonal cujos elementos 
são 
iλ
1 . 
(4) IAAAA //// == −− 21212121 e 12121 −−− = AAA // onde ( ) 12121 −− = // AA . 
 
Exemplo: 
 
 Determine a matriz raiz quadrada de 





=
21
14
A . 
 
1.15. VETOR ALEATÓRIO 
 
Um vetor aleatório é um vetor cujos elementos são variáveis aleatórias. 
 
 
Vetor aleatório: X = 














pX
X
X
M
2
1
, sendo: X1, X2, ... , Xp variáveis aleatórias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.15.1. ESPERANÇA DE UM VETOR ALEATÓRIO 
 
Seja X: p×1 um vetor aleatório. A esperança de X é E(X) = 














=














p
2
1
p
2
1
µ
µ
µ
)E(X
)E(X
)E(X
MM
. No 
 
 vetor aleatório cada elemento de X é uma variável aleatória com certa 
distribuição de probabilidade marginal. As médias marginais, µi, e as variâncias, 
2
iσ , são definidas como µi = E(Xi) e 
22 )X(E iii µ−=σ , i = 1, 2, ... , p, 
respectivamente. Especificamente, temos que: 
 




∑
∫=
+∞
∞−
)(xp adeprobabilid de função com V.A.D. uma é X se )(xpx
)(xf fdp com V.A.C. uma é X se )dx(xfx
µ
iiiiii
iiiiiii
i 
 
 




∑
∫=
+∞
∞−
)(xp adeprobabilid de função com V.A.D. uma é X se )(xp)µ-(x
)(xf fdp com V.A.C. uma é X se )dx(xf)µ-(x
σ
iiiii
2
ii
iiiiii
2
ii2
i 
 
 
Exemplo 
 
 Suponha X = 





2
1
X
X
, sendo X1 e X2 variáveis aleatórias discretas com função de 
probabilidade 
 
x1 -1 0 1 
p(x1) 0,3 0,3 0,4 
 
e 
 
x2 0 1 
p(x2) 0,8 0,2 
 
Determine E(X). 
 
 
1.15.2. MATRIZ DE COVARIÂNCIA DE UM VETOR ALEATÓRIO 
 
Dado o vetor aleatório X: p×1, tem-se que a matriz de covariância do vetor é 
∑= V(X) = 
 
 
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E[X – E(X)]2 = E[X - µµµµ]2 = E[(X - µµµµ)(X- µµµµ)’] 
 
= [ ]














−−−














−
−
−
pp2211
pp
22
11
µXµXµX
µX
µX
µX
E L
M
 
 




























−−−−−
−−−−−
−−−−−
=
2
pp22pp11pp
pp22
2
221122
pp112211
2
11
)µ(X)µ)(Xµ(X)µ)(Xµ(X
)µ)(Xµ(X)µ(X)µ)(Xµ(X
)µ)(Xµ(X)µ)(Xµ(X)µ(X
E
L
MMMM
L
L
 
 
 
=














−−−−−
−−−−−
−−−−−
2
pp22pp11pp
pp22
2
221122
pp112211
2
11
)µE(X)µ)(XµE(X)µ)(XµE(X
)µ)(XµE(X)µE(X)µ)(XµE(X
)µ)(XµE(X)µ)(XµE(X)µE(X
L
MMMM
L
L
 
 
 














σσσ
σσσ
σσσ
=
2
21
2
2
221
112
2
1
ppp
p
p
L
MMMM
L
L
 
 
 
onde σik é a covariância entre as variáveis Xi e Xk e 
 








−−
−−
=−−=
∑∑
∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
 )X,(Xp conjunta adeprobabilid de 
função com V.A.D. são X,X se )X,(X)pµ)(Xµ(X
)X,(Xf conjunta fdp com 
V.A.C. são X,X se dX)dXX,(X)fµ)(Xµ(X
)]µ)(XµE[(Xσ
kiik
kikiikkkii
kiik
kikikiikkkii
kkiiik
 
 
e µi e µk (i, k = 1, 2, ... , k) são as médias marginais. Quando i = k, as 
covariâncias tornam-se as variâncias marginais. 
 
 
Exemplo: 
 
NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE076 
 
Material Retirado das Apostilas dos Profs. Jair Mendes Marques e Anselmo Chaves Neto
 Página 12 
 
 1) Determine a matriz de covariância para as duas variáveis aleatórias X1 e X2 
introduzidas no exemplo anterior sendo sua função de probabilidade conjunta p12 
(x1, x2) dada a seguir: 
 
 X2 
 X1 
0 1 p1(X1) 
 
-1 0,24 0,06 0,30 
0 0,16 0,14 0,30 
1 0,40 0,00 0,40 
p2(X2) 0,80 0,20 1 
 
 
2) Determine a matriz de covariância para as variáveis aleatórias X1 e X2, 
sabendo-se que 
6
1
1
x
)X(f = , 2 ≤ x1 ≤ 4 e 
2
1
2 =)X(f , 1 ≤ x2 ≤ 3. 
 
 
1.15.3. MATRIZ DE CORRELAÇÃO DE UM VETOR ALEATÓRIO 
 
Seja um vetor aleatório X: p×p e Σ a correspondente matriz de covariância, 
então a matriz de correlação será 
 
 
=














=
ppp2p1
2p2221
1p1211
ρρρ
ρρρ
ρρρ
ρ
L
MOMM
L
L
 














1ρρ
ρ1ρ
ρρ1
p2p1
2p21
1p12
L
MOMM
L
L
 
 
 
onde 
ki
ik
2
k
2
i
ik
ik
σσ
σ
σσ
σ
ρ == (mede o grau de associação linear entre as 
variáveis Xi e Xk) 
 
σi = desvio padrão da i-ésima variável e σk = desvio padrão da k-ésima 
variável. 
 
 
Exemplo 
 
 Seja a matriz de covariância 










−
−=Σ
2532
391
214
, determine a matriz de correlação 
ρ. 
 
 
NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE076 
 
Material Retirado das Apostilas dos Profs. Jair Mendes Marques e Anselmo Chaves Neto
 Página 13 
 
1.15.4. VETOR ESPERANÇA E MATRIZ COVARIÂNCIA DE UMA 
COMBINAÇÃO LINEAR DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
 Para uma variável aleatória unidimensional X1, sabemos que: 
 
 
E(c.X1) = c.E(X1) = c.µ1 (c = constante) e V(c.X1) = E(c.X1 – c.µ1)2 = c2.V(X1) = 
c2.σ12 
Se X2 é uma segunda variável aleatória e a e b são constantes: 
Cov(a.X1 , b.X2) = E[(a.X1 - a.µ1)(b.X2 – b.µ2)] = ab E[(X1 - .µ1)(X2 – µ2)] = 
ab.cov(X1,X2) =abσ12 
 
Para uma combinação linear aX1 + bX2, temos: 
E(aX1 + bX2) = aE(X1) + bE(X2) = aµ1 + bµ2 
e 
V(aX1 + bX2) = E[(aX1 + bX2) – (aµ1 + bµ2)]2 = E[a(X1- µ1) + b(X2 - µ2)]2 
= E[a2(X1 - µ1)2 + b2(X2 - µ2)2 + 2ab(X1 - µ1)(X2 - µ2)]= a2 E(X1 - µ1)2 + b2E(X2 - µ2)2 + 2ab cov(X1, X2) 
= a2 V(X1) + b
2 V(X2) + 2ab cov(X1, X2) 
= a2 σ12 + b2 σ22 + 2ab σ12 
 
Em notação matricial: com c’ = [a, b], aX1 + bX2 pode ser escrito como 
[ ] =





2
1 
X
X
ba c’X 
 
Analogamente, E(aX1 + bX2) = aµ1 + bµ2 pode ser expresso como 
[ ] =





2
1
µ
µ
 ba c’µµµµ 
 
NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE076 
 
Material Retirado das Apostilas dos Profs. Jair Mendes Marques e Anselmo Chaves Neto
 Página 14 
 
Sendo 





σσ
σσ
=Σ
2
221
12
2
1 a matriz covariância de X, então V(aX1 + bX2) = V(c’X ) = 
c’Σc 
com c’Σc =[ ] 222122122
221
12
2
1 2 σ+σ+σ=











σσ
σσ
baba
b
a
ba . 
 
 Os resultados anteriores podem ser generalizados para uma combinação linear de p 
variáveis aleatórias. 
 
A combinação linear c’X = c1X1 + c2X2 + ... + cpXp tem 
 média: E(c’X ) = c’µµµµ e variância: V(c’X ) = c’Σc, onde: µµµµ = E(X) e Σ = cov 
(X) 
 
 Considerando q combinações lineares de p variáveis aleatórias X1, X2, ... , Xp, 
 
 Z1 = c11X1 + c12 X2 + ... + c1pXp 
Z2 =c21X2 + c22X2 + ... + c2pXp 
.................................................. 
Zq = cq1X1 + cq2X2 + ... + cqpXp 
Ou 
Z = =




























=














pqpqq
p
p
q X
X
X
ccc
ccc
ccc
Z
Z
Z
M
L
MMMM
L
L
M
2
1
21
22221
11211
2
1
CX 
 
 As combinações lineares Z = CX têm 
 
* média: µµµµZ = E(Z) = E(CX) = CµµµµX 
 
NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE076 
 
Material Retirado das Apostilas dos Profs. Jair Mendes Marques e Anselmo Chaves Neto
 Página 15 
 
* covariância: ΣZ = cov(Z) = cov(CX) = CΣXC’ 
 
onde µµµµX e ΣX são vetor média e matriz covariância de X. 
Exemplo 
 Seja X = 





2
1
X
X
 um vetor aleatório com média µµµµX = 





2
1
µ
µ
e matriz covariância 






σσ
σσ
=Σ
2
221
12
2
1
X . Encontre a matriz covariância para as combinações lineares: Z1 = X1 
– 
X2 e Z2 = X1 + X2. 
 
1.16. MAXIMIZAÇÃO DE FORMA QUADRÁTICA 
O problema consiste em maximizar uma forma quadrática X’ BX, onde B é uma 
matriz positiva definida. Portanto, seja B: p×p uma matriz positiva definida com 
autovalores λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λp > 0 e autovetores normalizados associados e1, e2, ... , ep. 
Então 
1
0
λ=
≠ X'X
XB'X
max
X
 é satisfeito quando X = e1 
 
p
X X'X
XB'X
min λ=
≠0
 é satisfeito quando X = ep 
além disso, 
1
1
+⊥
λ= k
e,...,eX X'X
XB'X
max
k
 é satisfeito quando X = ek+1, k = 1, 2, ... , p – 1. 
 
1.17. MATRIZ DESVIO PADRÃO 
Dada a matriz de covariância Σ do vetor aleatório X, definimos matriz a desvio 
padrão por 
NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE076 
 
Material Retirado das Apostilas dos Profs. Jair Mendes Marques e Anselmo Chaves Neto
 Página 16 
 














σ
σ
σ
=
p
/V
000
000
000
2
1
21
MOMM
 
 
Resultado importante: Seja o vetor aleatório X com matriz de correlação de ordem 
p×p, ρ, e matriz desvio padrão V1/2, se ordem p×p, então a matriz de covariância de X é 
Σ = V1/2ρV1/2. 
Exemplo: 
 Seja a matriz de covariância 










−
−=Σ
2532
391
214
. Determine a matriz desvio padrão 
V1/2. 
Qual é a matriz de correlação? 
 
1.18. A GEOMETRIA DA AMOSTRA MULTIVARIADA 
Uma observação multivariada simples é uma coleção de medidas sobre p 
variáveis diferentes tomadas do mesmo item ou ensaios (prova, experiência). Se n 
observações foram obtidas, os dados podem ser arranjados em uma matriz X de ordem 
n×p como 
 
 X1 X2 ... Xj ... Xp 
 














=
npnjnn
pj
pj
xxxx
xxxx
xxxx
X
LL
MMMMMM
LL
LL
21
222221
111211
 
 
onde cada linha de X representa uma observação multivariada. Essa matriz X 
(matriz de dados), representa uma amostra de tamanho n proveniente de uma 
população p-variada. A amostra então consiste de n medidas, cada uma tendo p 
componentes. 
 
Obs. 1 
Obs. 2 
Obs. n 
NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE076 
 
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 Página 17 
 
Exemplo: 
 
 Calcule o vetor de médias para os dados da matriz X. Plotar os n=3 pontos dados em 
um espaço p=2 e localizar o vetor de médias no diagrama resultante. 










−=
53
31
14
X 
 
1.18.1. VETOR MÉDIO AMOSTRAL 
Da matriz de dados X temos o vetor médio amostral x que estima o vetor médio 
populacional µµµµ, onde 
 
)xxx(
n
x
x
x
x
n
x n
p
n
i
i +++=














=∑=
=
L
M
21
2
1
1
11
 
Exemplo: 
 Seja a amostra de dados construída com as observações relativas a 5 estudantes. As 
características observadas foram: idade, sexo e nota em uma prova. 
 
Observação X1 (Idade) X2 (Nota) X3(Sexo) 
1 18,45 70 1 
2 18,41 65 0 
3 18,39 71 0 
4 18,70 72 0 
5 18,34 94 1 
Determine o vetor médio amostral que estima o verdadeiro vetor médio (populacional). 
 
 
NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE076 
 
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 Página 18 
 
1.18.2. MATRIZ DE COVARIÂNCIA AMOSTRAL 
 Da matriz de dados X obtemos a matriz de covariância amostral Σ̂ que estima a 
verdadeira matriz covariância populacional Σ. 
∑
=
−−=Σ
n
1i
ii )'xx)(xx(n
1ˆ 
 O estimador Σ̂ é viciado, ele é o EMV de Σ. A matriz de covariância com 
estimativas não-viciadas é dada por 
Σ
−
=−−
−
= ∑
=
ˆ
1n
n
)'xx)(xx(
1n
1
S
n
1i
ii 
1.18.3. MATRIZ DE CORRELAÇÃO AMOSTRAL 
Seja 














=
p
2
1
2/1
s000
00s0
000s
D
MOMM
 a matriz desvio padrão que estima a verdadeira 
matriz 
desvio padrão V1/2, e seja Σ̂ um estimador da matriz Σ, então a matriz de 
correlação amostral ρ̂que estima a matriz de correlação populacional ρ é dada 
por 
1/21/2 DΣ̂Dρ̂ −−= 
Exemplo: 
 Estime a matriz de covariância e a matriz de correlação para os dados da 
matriz anterior. 
1.19. VARIÂNCIA GENERALIZADA 
Com uma simples variável, a variância amostral é frequentemente usada para 
descrever a variação nas medidas daquela variável. Quando p variáveis são 
observadas para cada item, a variação é descrita pela matriz variância-covariância 
amostral. 














=
pp2p1p
p22221
p11211
sss
sss
sss
S
L
MMMM
L
L
, onde: ∑
=
−−
−
=
n
1j
kkjiijik )xx)(xx(1n
1
s 
NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE076 
 
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 Página 19 
 
A matriz covariância amostral contém p variâncias e (1/2)p(p-1) covariâncias. 
Muitas vezes é desejável assumir um valor numérico único para expressar a variação 
dada por S. Uma escolha para esse valor único é o determinante de S, o qual se reduz à 
variância amostral quando p=1. Esse determinante é chamado variância amostral 
generalizada: 
VAR. AMOSTRAL GENER. = | S | 
 
Exemplo: 
 Considere o capital total (x1) e os rendimentos de seguros (x2) para 25 grandes 
seguradoras dos EUA. A matriz de covariâncias S, obtida dos dados em 22/5/1978 
(Fortune) é 





=
1553814213
1421314808
S . Determine a variância generalizada. 
 Para a matriz de correlação R: 
VAR. GENER. AMOSTRAL DE VARIÁVEIS PADRONIZADAS = |R| 
 Demonstra-se que: 
|S| = (s11.s22. ... .spp) . |R| 
Exemplo: 
Sendo 










=
121
293
134
S e 










=
13/22/1
3/212/1
2/12/11
R , determine as variâncias 
generalizadas. 
 
Outra generalização da variância: 
 Define-se a variância total amostral como a soma dos elementos diagonais da 
matriz covariância amostral S. Assim, 
 
VAR. TOTAL AMOSTRAL = s11 + s22 + ... + SPP 
Exemplo: 
 Determine a variância total amostral para o últimoexemplo.