Laboratório 6

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Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Medianeira Engenharia Elétrica 
Prof. Diogo Marujo 
 
Sistemas de Controle II – Laboratório 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
Brendha Tiemi Kobassigawa 
Bruna Pontes Cechinel 
Maísa Ribeiro 
Najla Abou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medianeira 
1. PARTE 1: Estabilidade Relativa e Estabilidade Absoluta 
1.1 Considere a função de transferência de malha aberta a seguir: 
𝐺0(𝑠) =
𝐾
𝑠(𝑠 + 4)(𝑠 + 5)
 
a) Desenhe o diagrama de Nyquist e estude a estabilidade do sistema para 
K=1, 10 e 100. 
Quanto maior o valor de K, mais próximo o sistema está de envolver o ponto 
−1 + 𝑗0, consequentemente está mais próximo da instabilidade. 
 
Figura 1 – Diagrama de Nyquist para a função G0, quando K=1, 10 e 100. 
 
b) Considerando K=1, determine a margem de ganho e margem de fase 
analiticamente. Relacione estas margens tanto no diagrama de Nyquist 
quanto no de Bode. Confira os resultados obtidos com o Matlab. 
𝐺0(𝑠) =
1
𝑠(𝑠 + 4)(𝑠 + 5)
=
1
𝑠3 + 9𝑠2 + 20𝑠
 
𝐺0(𝑠) =
1
(𝑗𝜔)3 + 9(𝑗𝜔)2 + 20(𝑗𝜔)
 
𝐺0(𝑠) =
1
−𝑗𝜔3 − 9𝜔2 + 𝑗20𝜔
=
1
−9𝜔2 + 𝑗(−𝜔3 + 20𝜔)
 
𝐺0(𝑠) =
1
−9𝜔2 + 𝑗(−𝜔3 + 20𝜔)
∗
−9𝜔2 − 𝑗(−𝜔3 + 20𝜔)
−9𝜔2 − 𝑗(−𝜔3 + 20𝜔)
 
𝐺0(𝑠) =
−9𝜔2 + 𝑗(𝜔3 − 20𝜔)
𝜔6 + 41𝜔4 + 400𝜔2
 
𝐺0(𝑠) = −
9
𝜔4 + 41𝜔2 + 400
+ 𝑗
𝜔2 − 20
𝜔5 + 41𝜔3 + 400𝜔
 
𝑅𝑒[𝐺0(𝑗𝜔)𝐻0(𝑗𝜔)] = −
9
𝜔4 + 41𝜔2 + 400
 
𝐼𝑚[𝐺0(𝑗𝜔)𝐻0(𝑗𝜔)] = 𝑗
𝜔2 − 20
𝜔5 + 41𝜔3 + 400𝜔
 
Calculando 𝐼𝑚[𝐺0(𝑗𝜔1)𝐻0(𝑗𝜔1)] = 0 
𝜔1
2 − 20 = 0 
𝝎𝟏 = ±𝟐√𝟓 {
𝝎𝟏 = 𝟎 (𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒅𝒂)
𝝎𝟏 = ±𝟐√𝟓
 
Calculando 𝑅𝑒[𝐺0(𝑗𝜔1)𝐻0(𝑗𝜔1)] quando 𝜔1 = 2√5 
𝑅𝑒[𝐺0(𝑗𝜔)𝐻0(𝑗𝜔)] = −
9
(2√5)
4
+ 41(2√5)
2
+ 400
= −
𝟏
𝟏𝟖𝟎
 
𝑴𝑮 =
1
|𝐺0(𝑗𝜔)𝐻0(𝑗𝜔)|
=
1
1
180
= 𝟏𝟖𝟎 
𝑴𝑮𝒅𝑩 = 20 log10 180 = 𝟒𝟓. 𝟏𝟎𝟓𝟓 𝒅𝑩 
Com a ajuda do Matlab foi determinado que: 
𝑴𝑭 = 𝟖𝟖. 𝟕° 
 
Figura 2 – MG e MF para K=1 através do Diagrama de Bode 
 
Figura 3 – Diagrama de Nyquist quando K=1 
 
c) A partir da margem de ganho, determine o máximo valor que K pode 
assumir de tal modo que a estabilidade seja mantida. 
O valor de K poderá ser no máximo 180, pois 𝑀𝐺 = 180 
 
d) Plote a resposta ao degrau em malha fechada para três valores de K: K=1, 
K igual ao valor obtido no item C e K assumindo um valor superior ao 
obtido no item C. O que se pode concluir em relação a estabilidade? Qual 
a relação do valor de K a resposta transitória e com erro de regime 
permanente? Justifique suas respostas. 
Como é possível observar nas Figuras 4, 5 e 6, o sistema é estável para K=1, 
criticamente estável para K=180 e instável para K=200. 
 
Figura 4 – Resposta ao degrau quando K=1 
 
Figura 6 – Resposta ao degrau quando K=180 
 
Figura 8 – Resposta ao degrau quando K=200 
 
e) Plote o lugar das raízes das raízes para comprovar os resultados obtidos 
nos itens anteriores. 
Como é possível observar nas Figura 7 os polos se encontram apenas no 
SDE, sendo estável para K=1. Na Figura 8, mostra dois polos apenas com 
parte imaginária, sendo criticamente estável para K=180. E na Figura 9 
mostra que para K=200 há polos no SPD, logo o sistema é instável. 
 
Figura 7 – Lugar das raízes quando K=1 
 
Figura 8 – Lugar das raízes quando K=180 
 
Figura 9 – Lugar das raízes quando K=200 
 
1.2 Considere as funções de transferência de malha aberta 𝐺1(𝑠) e 𝐺2(𝑠): 
𝐺1(𝑠) =
𝐾
𝑠 + 1
 
𝐺2(𝑠) =
𝐾𝑒−0.8𝑠
𝑠 + 1
 
a) Considerando K=1, utilize o Matlab para plotar o diagrama de Nyquist das 
duas funções de transferência; 
 
Figura 10 – Diagrama de Nyquist G1(s) e G2(s) 
 
b) Estude a estabilidade do sistema utilizando o critério de Nyquist. 
Determine também a margem de ganho e a margem de fase. Confira os 
resultados por meio do diagrama de Bode. 
Estudando a estabilidade de G1, temos que o sistema é estável pois: 
𝑍 = 𝑁 + 𝑃 = 0 + 0 = 0 
G2 também é estável, pois 
𝑍 = 𝑁 + 𝑃 = 0 + 0 = 0 
Para calcular as Margens de Fase e de Ganho, plotou-se os diagramas de Bode 
de G1 e G2, conforme mostram as Figuras 11 e 12. 
 
Figura 11 – Diagrama de Bode para G1(s) 
 
Figura 12 – Diagrama de Bode para G2(s) 
A Margem de Ganho da função G1(s) é infinita e a Margem de Fase é de -180º. 
E a Margem de Ganho da função G2(s) é 8,45 dB e a Margem de Fase é de -
180º. 
c) Comparando 𝐺1(𝑠) e 𝐺2(𝑠), qual o efeito do atraso de transporte no 
diagrama de Nyquist? E no diagrama de Bode? E no lugar das raízes? E 
na estabilidade? 
Ao compararmos as funções G1(s) e G2(s) podemos notar a influência do atraso 
de transporte em alguns parâmetros. O diagrama de Nyquist muda 
drasticamente, a adição do atraso de transporte cria diversos caminhos até a 
origem e faz as linhas do diagrama passarem pelo SPE, contudo, sem alterar as 
interações com o ponto −1 + 𝑗0. No diagrama de bode o módulo não se altera 
com o atraso de transporte, mas a fase se altera, mudando os ângulos de forma 
expressiva. As estabilidades das funções não se alteram com a adição do atraso 
de transporte como observado por meio do critério de Nyquist. 
 
1.3 Considere as funções de transferência apresentadas no laboratório 5. 
Para cada um dos sistemas, calcule a margem de ganho e a de fase. 
Avalie quanto a estabilidade. 
a) 𝐺1(𝑠) =
1
𝑠+1
 
Como 𝐺1(𝑠) é um sistema de 1ª ordem com polos apenas no SPE, logo será 
estável e, com a ajuda do Matlab para MF, temos: 
𝑴𝑮 = ∞ 
𝑴𝑭 = −𝟏𝟖𝟎° 
 
b) 𝐺2(𝑠) =
5
𝑠+1
 
Como 𝐺2(𝑠) é um sistema de 1ª ordem com polos apenas no SPE, logo será 
estável e, com a ajuda do Matlab para MF, temos: 
𝑴𝑮 = ∞ 
𝑴𝑭 = −𝟏𝟎𝟐° 
 
c) 𝐺3(𝑠) =
1
𝑠−1
 
𝑴𝑮 = ∞ 
𝑴𝑭 = 𝟎° 
 
d) 𝐺4(𝑠) =
𝑠−1
𝑠+2
 
𝑴𝑮 = 𝟔. 𝟎𝟐𝒅𝑩 
𝑴𝑭 = −𝟏𝟖𝟎° 
 
e) 𝐺5(𝑠) =
𝑠+1
𝑠+2
 
Como 𝐺5(𝑠) é um sistema de 1ª ordem com polos apenas no SPE, logo será 
estável e, com a ajuda do Matlab para MF, temos: 
𝑴𝑮 = ∞ 
𝑴𝑭 = −𝟏𝟖𝟎° 
 
f) 𝐺6(𝑠) =
𝑠+2
(𝑠+1)(𝑠+10)
 
Como 𝐺6(𝑠) é um sistema de 2ª ordem com polos apenas no SPE, logo será 
estável e, com a ajuda do Matlab para MF, temos: 
𝑴𝑮 = ∞ 
𝑴𝑭 = ∞ 
 
g) 𝐺7 =
−1(𝑠+2)
(𝑠+1)(𝑠+10)
 
Como 𝐺7(𝑠) é um sistema de 2ª ordem com polos apenas no SPE, logo será 
estável e, com a ajuda do Matlab para MF, temos: 
𝑴𝑮 = 𝟏𝟒𝒅𝑩 
𝑴𝑭 = ∞ 
 
h) 𝐺8(𝑠) =
−5(𝑠+2)
(𝑠+1)(𝑠+10)
 
Como 𝐺8(𝑠) é um sistema de 2ª ordem com polos apenas no SPE, logo será 
estável e, com a ajuda do Matlab para MF, temos: 
𝑴𝑮 = 𝟎𝒅𝑩 
𝑴𝑭 = 𝟎° 
 
i) 𝐺9(𝑠) =
1
𝑠2+0.8𝑠+1
 
Como 𝐺9(𝑠) é um sistema de 2ª ordem com polos apenas no SPE, logo será 
estável e, com a ajuda do Matlab para MF, temos: 
𝑴𝑮 = ∞ 
𝑴𝑭 = 𝟔𝟖. 𝟗° 
 
j) 𝐺10(𝑠) =
1
(𝑠+1)(𝑠+2)(𝑠+3)
 
𝐺10(𝑠) =
1
𝑠3 + 6𝑠2 + 11𝑠 + 6
=
1
(𝑗𝜔)3 + 6(𝑗𝜔)2 + 11(𝑗𝜔) + 6
 
𝐺10(𝑠) =
1
−𝑗𝜔3 − 6𝜔2 + 𝑗11𝜔 + 6
 
𝐺10(𝑠) =
1
−6𝜔2 + 6 + 𝑗(−𝜔3 + 11𝜔)
∗
−6𝜔2 + 6 − 𝑗(−𝜔3 + 11𝜔)
−6𝜔2 + 6 − 𝑗(−𝜔3 + 11𝜔)
 
𝐺10(𝑠) =
−6𝜔2 + 6
𝜔6 + 58𝜔4 + 49𝜔2 + 36
+ 𝑗
𝜔3 − 11𝜔
𝜔6 + 58𝜔4 + 49𝜔2 + 36
 
𝑅𝑒[𝐺10(𝑗𝜔)𝐻10(𝑗𝜔)] =
−6𝜔2 + 6
𝜔6 + 14𝜔4 + 49𝜔2 + 36
 
𝐼𝑚[𝐺10(𝑗𝜔)𝐻10(𝑗𝜔)] = 𝑗
𝜔3 − 11𝜔
𝜔6 + 14𝜔4 + 49𝜔2 + 36
 
Calculando 𝐼𝑚[𝐺10(𝑗𝜔1)𝐻10(𝑗𝜔1)] = 0 
𝜔1
3 − 11𝜔 = 0 
𝝎𝟏 = ±√𝟏𝟏 {
𝝎𝟏 = 𝟎 (𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒅𝒂)
𝝎𝟏 = ±√𝟏𝟏
 
Calculando 𝑅𝑒[𝐺10(𝑗𝜔1)𝐻10(𝑗𝜔1)] quando 𝜔1 = √11 
𝑅𝑒[𝐺10(𝑗𝜔)𝐻10(𝑗𝜔)] =
−6(√11)
2
+ 6
(√11)
6
+ 14(√11)
4
+ 49(√11)
2
+ 36
= −
1
60
 
𝑴𝑮 =
1
|𝐺10(𝑗𝜔)𝐻10(𝑗𝜔)|
=
1
1
60
= 𝟔𝟎 
𝑴𝑮𝒅𝑩 = 20 log10 60 = 𝟑𝟓. 𝟓𝟔𝟑 𝒅𝑩 
Com a ajuda do Matlab foi determinado que: 
𝑴𝑭 = ∞ 
	1. PARTE 1: Estabilidade Relativa e Estabilidade Absoluta
	1.1 Considere a função de transferência de malha aberta a seguir:
	1.2 Considere as funções de transferência de malha aberta 𝐺1(𝑠) e 𝐺2(𝑠):
	1.3 Considere as funções de transferência apresentadasno laboratório 5. Para cada um dos sistemas, calcule a margem de ganho e a de fase. Avalie quanto a estabilidade.