Series Alternadas

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Se´ries – 5. Se´ries Alternadas, Convergeˆncia Absoluta e
Condicional
Luiza Amalia Pinto Canta˜o
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
luiza@sorocaba.unesp.br
Se´ries Alternadas
Ilustrac¸a˜o: Os termos sa˜o alternativamente positivos e negativos:
1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+
1
5
− 1
6
+ · · · =
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
−1
2
+
2
3
− 3
4
− 5
6
+
6
7
+ · · · =
∞∑
n=1
(−1) n
n + 1
Forma: O n-e´simo termo de uma se´rie alternada e´:
an = (−1)n−1un ou an = (−1)nun
sendo un um nu´mero positivo (un = |an|).
Se´ries Aternadas: Teorema
Teorema: Se a se´rie alternada
∞∑
n=1
(−1)n−1 un = u1 − u2 + u3 − u4 + · · · (un > 0)
satisfazer
1. un+1 ≤ un para todo n
2. lim
n→∞
un = 0
enta˜o a se´rie e´ convergente.
Figura:
0 s2 s4 s6 s s5 s3 s1
u3
−u2
u1
−u4
u5
−u6
Se´rie Alternada: Exemplos
Exemplo: Verifique se as se´ries abaixo sa˜o convergentes ou divergentes:
1. Se´rie harmoˆnica: 1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+ · · · =
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
2.
∞∑
n=1
(−1)n 3n
4n− 1
3.
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
2
n3 + 1
Se´reis Alternadas: Estimando Somas
Teorema: Se s =
∑
(−1)n−1 un for a soma de uma se´rie alternada que satisfaz
1. 0 ≤ un+1 ≤ un e
2. lim
n→∞
un = 0
enta˜o |Rn| = |s− sn| ≤ un+1
Prova: Como s esta´ entre duas somas parciais quaisquer sn e sn+1, segue que:
|s− sn| ≤ |sn+1 − sn| = un+1
Exemplo (4): Encontre a soma da se´rie abaixo com precisa˜o de treˆs casas
decimais (pela definic¸a˜o 0! = 1):
∞∑
n=0
(−1)n
n!
Convergeˆncia Absoluta
Definic¸a˜o: Uma se´rie
∑
an e´ chamada absolutamente convergente se a
se´rie de valores absolutos
∑|an| for convergente.
Atenc¸a˜o: Se
∑
an for uma se´rie de termos positivos, enta˜o |an| = an e assim
a convergeˆncia absoluta e´ a mesma coisa que a convergeˆncia nesse caso.
Exemplo (5): Verifique se a se´rie abaixo e´ absolutamente convergente. Justi-
fique.
∞∑
n=1
(−1)n−1
n2
Convergeˆncia Condicional
Definic¸a˜o: Uma se´rie
∑
an e´ chamada condicionalmente convergente se
ela for convergente, mas na˜o for absolutamente convergente.
Exemplo (6): Determine se a se´rie abaixo e´ absolutamente ou condicional-
mente convergente ou divergente.
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
Teorema: Se uma se´rie
∑
an for absolutamente convergente, enta˜o ela e´ con-
vergente.
Exemplo (7): Determine se a se´rie dada e´ convergente ou divergente.
∞∑
n=1
cosn
n2
Ilustrac¸a˜o gra´fica do exemplo (7)
Rearranjo
Teorema: Se
∞∑
n=1
an converge absolutamente e b1, b2, b3, . . . , bn, . . . e´ qual-
quer rearranjo da sequ¨eˆncia {an}, enta˜o
∑
bn converge absolutamente e
∞∑
n=1
bn =
∞∑
n=1
an
Exemplo (8): Verifique se a se´rie abaixo e´ convergente ou divergente:
∞∑
n=1
(−1)n−1
n2
Exerc´ıcios Propostos: George B. Thomas – Volume 2
Pa´ginas 50 a` 52;
Exerc´ıcios: 1 a` 63.
Procedimento para a Determinac¸a˜o de Convergeˆncia
Sim
Sim
Na˜o
Na˜o
Sim
Na˜o
Sim
A se´rie converge se un → 0
Converge para a/(1− r) se |r| < 1
lim an = 0
∑
an = a+ ar + ar2 + . . .?
Na˜o
Na˜o ou talvez
Na˜o Sim
Caso contra´rio, a se´rie diverge.
A se´rie diverve!
Sim ou talvez
Diverge se |r| ≥ 1
A se´rie converge se p > 1
A se´rie diverge se p ≤ 1
∑|an| converge ? Aplique um dos testes:
A se´rie original converge!
Existe um inteiro N tal que
uN ≥ uN+1 ≥ . . . ?
∑
an = u1 − u2 + u3 − . . .
Uma se´rie alternada
Teste do n-e´simo termo
Teste da se´rie Geome´trica
Teste da p-se´rie
Termos na˜o negativos ou
Convergeˆncia absoluta
Teste da se´rie alternada
Veja o que se pode fazer com as somas parciais.
Comparac¸a˜o, Integral, da Raza˜o ou da Raiz
A se´rie tem a forma
∞∑
n=1
1
np
?