3-Lista-CALCULO-DIFERENCIAL-1-2023-1

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1 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
3ª LISTA DE CÁLCULO I 
Profª Valeska Martins 
 
1. Usando a definição de limite infinito prove que: 
a) 
 


21 1
1
lim
xx
 b) 
 



 22 2
1
lim
xx
 
c) 

 x
x
x
9
lim
0
 d) 

 x
x
x
9
lim
0
 
e) 
 2
1
lim
2 xx
 f) 
 2
1
lim
2 xx
 
g) 

 5
2
lim
5 xx
 h) 
 96
6
lim
23 xxx
 
i) 


 x
x
x 3
5
lim
3
 j) 


 3
9
lim
2
3 x
x
x
 
2. Calcule, se existirem, os seguintes limites: 
a) 
2
7
lim
2 

 x
x
x
 b) 
x
x
x 33
5
lim
2
1 


 
c) 
2
3 9
21
lim
x
x
x 


 d) 
63
lim
2
2 

 x
xx
x
 
e) 
2
5 25
37
lim
x
x
x 


 f) 
86
35
lim
2
2 

 xx
x
x
 
g) 
 6
2
2 3
58
lim


 x
xx
x
 h) 
 95 102
2
lim


 x
x
x
 
i) 
2
2
0
23
lim
x
x
x


 j) 
12
33
lim
2
1 

 xx
x
x
 
k) 







2
0
11
lim
xxx
 l) 







2
0
11
lim
xxx
 
m) 
12
209
lim
2
23
3 

 xx
xxx
x
 n) 
12
209
lim
2
23
3 

 xx
xxx
x
 
o) 
12
1
lim
21 

 xx
x
x
 p) 
22 42
2
lim
xx
x
x 


 
 
 2 
3. Explique o significado de cada uma das notações a seguir. 
a) 

)(lim
3
xf
x
 b) 

)(lim
5
xf
x
 
 
4. Usando a definição de limite no infinito, prove que: 
a) 0
1
lim 
 xx
 b) 3
13
lim 

 x
x
x
 
c) 0lim 2 

x
x
e d) 0lim 2 

x
x
e 
e) 1
1
lim 
 x
x
x
 f) 1
2
lim 
 x
x
x
 
g) 1
1
1
lim
2
2



 x
x
x
 h) 0
4
1
lim 
 xx
 
 
5. Usando a definição de limite infinito no infinito, prove que: 
a)   

4lim 3x
x
 b)   

4lim 3x
x
 
c) 

2lim x
x
 d) 

2lim x
x
 
e) 

 x
x
x
12
lim
2
 f) 

 x
x
x
12
lim
2
 
 
6. Encontre, se existirem, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função f. 
a) 
4
4
)(


x
xf b) 
23
4
)(
2 

xx
xf 
c) 
4
1
)(


x
xf d) 
16
2
)(
2
2


x
x
xf 
e) 
2
3
)(



x
xf f) 
)4)(3(
1
)(



xx
xf 
 g) 
3
2
)(


x
xf h) 
12
)(
2 

xx
x
xf 
 i) 
5x
1-2x
f(x)

 j) 
1x
3x-4
f(x)

 
 k) 
1- x
x
f(x)
2
 l) 
4x
1
f(x)
2 
 
 m) 
4
2
f(x)
2 

x
 n) 
 2
2
5
2
f(x)


x
x
 
 3 
7. A reta 0x é uma assíntota vertical da função 
x
x
xf
11
)(

 
8. Quais das afirmações abaixo sobre a função )(xfy representada no gráfico são 
verdadeiras e quais são falsas? Justifique sua resposta. 
 
 
 
a) 1)(lim
1


xf
x
 b) 0)(lim
0


xf
x
 
c) 1)(lim
0


xf
x
 d) 

)(lim
0
xf
x
)(lim
0
xf
x 
 
e) )(lim
0
xf
x
 existe f) 0)(lim
0


xf
x
 
g) 1)(lim
0


xf
x
 h) 1)(lim
1


xf
x
 
i) 0)(lim
1


xf
x
 j) 2)(lim
2


xf
x
 
k) )(lim
1
xf
x 
 não existe l) 0)(lim
2


xf
x
 
9. Se 1
)(
lim
22

 x
xf
x
, calcule 
a) )(lim
2
xf
x 
 b) 
x
xf
x
)(
lim
2
 
10. Se 3
2
5)(
lim
2



 x
xf
x
, determine )(lim
2
xf
x
. 
11. Se 4
2
5)(
lim
2



 x
xf
x
, determine )(lim
2
xf
x
. 
12. O símbolo  x é usado para denotar o maior inteiro, menor ou igual a x , isto é, 
  nx  se 1 nxn , Zn . A função  xxf )( é chamada de função maior 
inteiro. 
a) Determine o domínio de f . 
b) Faça um esboço do gráfico 
 4 
c) Determine o conjunto imagem de f 
d) Estude a continuidade da função f . 
13. Encontre, se existirem, os limites abaixo:  x 
 a) 
   
1
lim
2
22
1 

 x
xx
x
 b) 
   
1
lim
2
22
1 

 x
xx
x
 
14. Determine os valores de  e  para que: 
a) 0
2
1
lim
2










 x
x
x
x
 b) 1
23
1
lim
2
23



 xx
xxx
x

 
15. Suponha que baCBA ,,,, e c são constantes tais que 02  cbxxa para todos os 
valores de x , com .042  cab Ache todas as assíntotas horizontais e verticais do 
gráfico da função f definida por 
cbxxa
CBxxA
xf



2
2
)( 
16. Encontre, se existirem, os limites abaixo 
a) 
25
12
lim


 x
x
x
 b) 
13
46
lim


 x
x
x
 
c) 
583
127
lim
2
2


 xx
xx
x
 d) 
583
127
lim
2
2


 xx
xx
x
 
e) 
53
4
lim
2 

 x
x
x
 f) 
3
2 5
lim
x
x
x


 
g) 
1
lim
2
3
 x
x
x
 h) 
1
lim
2
3
 x
x
x
 
i) 






 2
1
3lim
x
x
x
 j) 







x
xx
4
2
lim
2
 
k) 
4
4
lim
2


 x
x
x
 l) 
4
4
lim
2


 x
x
x
 
m)  xx
x


1lim 2 n)  xxx
x


2lim 
o)  xx
x


2lim p)  xxx
x


65lim 2 
q)  32lim 2 

xx
x
 r)  1243lim 23 

xxx
x
 
s) 3
2
21
lim
xx
x
x 


 t) 






 xx
1
5lim 
 
 5 
17. Sejam RRf : e RRg : funções contínuas com 5)3( f e 
  .4)()(2lim
3


xgxf
x
 Calcule ).3(g 
18. Use a continuidade da função seno para calcular  .)(lim xsenxsen
x

 
 
19. Mostre que a função 1)( 3  xxxf tem pelo menos uma raiz no intervalo  .1,0 
20. Mostre que a função 53)( 3  xxxf tem pelo menos uma raiz no intervalo  .2,1 
21. Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos ax  e bx  a 
função tem sinais contrários, f não é contínua no intervalo  ba, e f possui pelo 
menos uma raiz no intervalo  ba, . 
22. Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos ax  e bx  a 
função tem sinais contrários, f não é contínua no intervalo  ba, e f não possui 
raiz no intervalo  ba, . 
23. Se uma função f muda de sinal quando x varia de um ponto ax  para o ponto 
,bx  existirá obrigatoriamente um ponto entre a e b em que a função f se 
anula? Justifique sua resposta. 
24. Seja 1)( 5  xxxf . Justifique a seguinte afirmativa: f tem pelo menos uma raiz no 
intervalo ]1,1[ 
25. Prove que todo polinômio de grau impar possui pelo menos uma raiz real 
26. Seja 3)( 3  xxxf . Utilize o TVI para determinar Zn tal que 0)( cf , paraalgum x entre n e 1n . 
27. Mostre que a função 2364)( 23  xxxxf tem pelo menos uma raiz no intervalo 
 .1,0 
28. Mostre que a função xexf x )( tem pelo menos uma raiz no intervalo  .0,5 
29. Seja f uma função definida pela lei
4
1
)(
2 


x
x
xf . Certifique-se de que 4/1)0( f 
e que 5/4)3( f possuem sinais contrários e contudo não existe um número c entre 0 
e 3 tal que 0)( cf . Explique por que isto não contradiz o TVI.