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5a. Lista de Exercícios de GEX102 - Geometria Analítica e
Álgebra Linear
1o. Semestre de 2013
1. Sejam ~u = (2, 4) e ~v = (−3, 5). Determine:
(a) o produto escalar de ~u por ~v;
(b) o ângulo entre ~u e ~v;
(c) P ~u~v
2.
(a) Encontre um vetor de norma 5 perpendicular ao vetor (2,−1);
(b) Determine o valor de x para que o vetor (2, x2 − 1) seja perpendicular
ao vetor (−6, 4).
3. Seja ~u = (3, 1). Determine as coordenadas de um vetor ~v, de norma 2, e
que faz com ~u um ângulo de 30o.
4. Escreve o vetor (7,−1) como soma de dois vetores, um dos quais é paralelo
e o outro é perpendicular ao vetor (1,−1).
5. Dados os pontos A(2,−3, 1) e B(4, 5,−2), determinar o ponto P tal que
~AP = ~PB.
6. Dados os vetores ~u = (4, a,−1) e ~v = (a, 2, 3) e os pontos A(4,−1, 2) e
B(3, 2,−1), determinar o valor de a tal que ~u · (~v + ~BA) = 5.
7. Sejam os pontos A(1, 2,−1), B(−1, 0,−1) e C(2, 1, 2). Pede-se
(a) mostrar que o triângulo ABC é retângulo em A;
(b) calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
8. Sejam ~u = (2, 1,−3) e ~v = (1,−2, 1).
(a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular a ~u e ~v.
(b) Determine um vetor ~w perpendicular a ~u e ~v tal que ||~w|| = 5.
2
RESPOSTAS
1.
(a) 14
(b) arc cos
7
√
170
170
(c) (−21
17
,
35
17
)
2.
(a)
√
5(1, 2) ou −√5(1, 2)
(b) x = 2 ou x = −2
3. (
3
√
30 +
√
10
10
,
√
30− 3√10
10
) ou (
3
√
30−√10
10
,
√
30 + 3
√
10
10
)
4. (7,−1) = (3,−3) + (4, 4)
5. (3, 1,−1
2
)
6.
7
3
7. (b)
64
361
√
19
8.
(a)
1√
3
(−1,−1,−1) (b) 5√
3
(−1,−1,−1)
3