03 Cálculo do Campo Elétrico

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Cálculo do Campo Elétrico
Evandro Bastos dos Santos
9 de Agosto de 2017
1 Distribuições Contínuas de Carga
Vamos entender a situação de uma distribuição de cargas que não seja mais discreta, ou seja,
não é possível mais separar as cargas em pontos únicos! Agora temos o que chamamos de
distribuição contínua de cargas, isso significa que as cargas estão muito, muito próximas, ou
matematicamente, falamos que estão infinitesimalmente próximas. Considere por exemplo
uma barra de ferro carregadas de cargas positivas por todo o seu comprimento.
Figura 1: Barra carregada uniformemente, com carga total q
Como não temos condições de considerar apenas uma única carga, o menor valor de
carga que podemos considerar é dq, sendo a carga total q. Esse dq é uma diferencial que
representa o menor valor de carga possível. Se o comprimento total da barra é s, então
podemos falar que a carga dq está contida em um comprimento mínimo ds. Podemos então
definir a densidade linear de carga como
λ =
q
s
(1)
se for para uma distribuição contínua, como estamos vendo temos que
λ =
dq
ds
(2)
e portando dq = λdl. Sendo que esse elemento dq produz um campo mínimo d ~E num
ponto P(x,y,z) do espaço. Se queremos o campo total ~E, no ponto P, fazemos
~E =
∫
d ~E (3)
2 Campo Elétrico produzido por um anel carregado
Vamos entender como calcular com um exemplo: Considere um anel, de raio R, de cargas
positivas, distribuídas uniformemente, com carga total Q. E queremos calcular o campo
elétrico em qualquer ponto do eixo-x, que passa pelo centro do anel.
1
Figura 2: Anel carregado uniformemente, com carga total Q
Solução:
Vamos fixar um ponto P, que está a uma distância x do centro do anel, sobre o eixo.
Observe que esse ponto, está a uma distância r =
√
x2 +R2 de cada ponto do anel. Como
a distribuição é contínua, vamos considerar um elemento desse anel de tamanho ds, e que
contenha uma carga dq. Então esse elemento dq, produzirá no ponto P um campo
dE =
1
4piε0
dq
r2
(4)
da mesma forma que vimos para uma carga pontual. Se dq = λds e r =
√
x2 +R2, temos
que
dE =
1
4piε0
λds
x2 +R2
. (5)
Sendo, a distribuição uniforme,
λ =
dq
ds
=
Q
s
(6)
em que s é o comprimento do anel, que sabemos que é s = 2piR.
λ =
Q
2piR
(7)
ou então
λ2piR = Q (8)
Se observarmos na figura, o módulo de dE, se somado todas as contribuições de todas
as direções, só restará a componente dEx = dE cos θ. Sendo cos θ = xr , temos que
dE =
1
4piε0
λds
x2 +R2
x
r
. (9)
dE =
1
4piε0
λds
x2 +R2
x
(x2 +R2)1/2
. (10)
dE =
1
4piε0
λxds
(x2 +R2)3/2
. (11)
Como
~E =
∫
d ~E (12)
2
E =
∫
1
4piε0
λxds
(x2 +R2)3/2
. (13)
que é somente
E =
1
4piε0
λx
(x2 +R2)3/2
∫ 2piR
0
ds (14)
ou seja
E =
1
4piε0
xλ2piR
(x2 +R2)3/2
(15)
como λ2piR = Q, temos que
E =
1
4piε0
xQ
(x2 +R2)3/2
(16)
Que é o campo produzido por um anel carregado positivamente, esse campo aponta na
direção para longe do anel, como indicado na figura. Se a carga fosse negativa, o módulo
seria o mesmo porém o sentido seria oposto.
Podemos ainda fazer uma aproximação em que x � R, ou seja, a distância do ponto P
ao anel é muito maior que o raio do anel. Nesse caso, o termo x2 é dominante sobre R2,
podendo ser desprezado x2 +R2 → x2, então
E =
1
4piε0
xQ
(x2)3/2
(17)
E =
1
4piε0
xQ
(x)3
(18)
E =
1
4piε0
Q
x2
(19)
que é exatamente o campo produzido por uma carga pontual. Ou seja, à distâncias muito
grandes, é como se visualizassemos apenas uma carga pontual. É o mesmo que estar em
uma estrada a noite, muito longa, e de longe você visualiza um farol. No primeiro momento
é apenas um borrão, que não é capaz de identificar se é um carro ou uma moto. Ao se
aproximar a nitidez melhora e, então, a diferença é percebida. O mesmo acontece nessa
aproximação.
3 Campo Elétrico produzido por um disco carregado
No caso do disco, não podemos mais falar em densidade linear de carga, uma vez que o
disco tem duas dimensões, temos que tratar com a densidade superficial de cargas, ou seja,
para uma superfície.
A carga dq a ser considerada no disco é dq = σdA = σ2piRdr, em que dA é a área do anel
elementar.
Para um disco carregado a ideia é considerar anéis concêntricos, com raios r e utilizar o
resultado do exemplo anterior.
3
Figura 3: Disco carregado uniformemente, com carga total Q
Como o problema do anel já foi resolvido obtemos que o elemento de campo para o disco
é
dE =
1
4piε0
xσ2pirdr
(x2 + r2)3/2
(20)
que é o campo para cada anel de raio r. Podemos simplificar a expressão e chegar em
dE =
σx
4ε0
2rdr
(x2 + r2)3/2
(21)
Se queremos o campo produzido pela soma de todos os aneis,
E =
∫
dE (22)
E =
σx
4ε0
∫ R
0
2rdr
(x2 + r2)3/2
(23)
A solução da integral é
E =
σ
2ε0
(
1− x√
x2 +R2
)
(24)
que é o campo elétrico para um disco carregado ao longo de seu eixo de simetria.
Nota: Não é exigido do aluno que ele saiba resolver a integral indicada. Caso uma inte-
gral seja necessária solução, a mesma será fornecida no formulário.
Uma aproximação muito interessante é quando fazemos o valor de R muito grande, ou
mais precisamente, R→∞, nesse caso o termo x√
x2+R2
vai a zero, sobrando apenas
E =
σ
ε0
. (25)
Essa é a expressão para o campo elétrico produzido por um plano infinito, que podere-
mos ver na próxima aula com a Lei de Gauss.
Exercícios:
Halliday, 8ed, problemas do cap 22: 22, 34, 47 e 43
Halliday, 9ed, problemas do cap 22: 22, 34, 39 e 41
Os problemas listados acima são equivalentes entre as edições.
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