Resumo | Função modular

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FUNÇÃO MODULAR 
 
 
Módulo de um número real 
O módulo de um número real x, denotado por |𝑥|, 
é definido da seguinte maneira: 
|𝑥| = $ 𝑥,			𝑠𝑒		𝑥 ≥ 0−𝑥,			𝑠𝑒		𝑥 < 0 
 
Portanto, se x for positivo o seu módulo é ele 
próprio, e se x for negativo o módulo é o seu 
oposto. Podemos associar o módulo de um 
número real com a distância dele até o zero. 
 
Exemplos: 
• |3| = 3 
• | − 3| = 3 
• |√5 − 2| = √5 − 2 
 
Propriedades 
Sejam 𝑥, 𝑦, 𝑎 ∈ ℝ, com 𝑎 > 0. São válidas as 
seguintes afirmações: 
• 1)	|𝑥| ≥ 0 
• 2)	|𝑥| ≥ 𝑥 
• 3)	|𝑥| = 𝑎 ⟺ 𝑥 = 𝑎		ou		𝑥 = −𝑎 
• 4)	|𝑥|! = 𝑥! ⟺ 𝑛	é	par 
• 5)	|𝑥| ∙ |𝑦| = |𝑥𝑦| 
• 6)	|𝑥| |𝑦|⁄ = | 𝑥 𝑦⁄ | 
• 7)	|𝑥| ≤ 𝑎 ⟺ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 
• 8)	|𝑥| ≥ 𝑎 ⟺ 𝑥 ≤ −𝑎		ou		𝑥 ≥ 𝑎 
• 9)	|𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦| 
• 10)	|𝑥 − 𝑦| ≥ |𝑥| − |𝑦| 
 
Exemplo: 
• Resolva a equação |3𝑥 − 3| = 18. 
 
Utilizando a propriedade 3, temos que 
3𝑥 − 3 = 18 ou 3𝑥 − 3 = −18. Resolvendo as 
duas equações, obtemos 𝑥 = 7 ou 𝑥 = −5. 
 
 
Função modular 
É toda função em que a variável aparece em 
módulo. Exemplos: 
• 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 2| + 3 
• 𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 4𝑥 + 3| 
Para trabalhar com essas funções, devemos 
observar em quais intervalos do domínio o 
módulo será conservado e onde será o oposto. 
Dessa maneira, eliminamos o módulo 
reescrevendo a função como uma função 
definida por partes. Por exemplo, considere a 
função 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 2| + 3. Para que 
2𝑥 − 2 ≥ 0, devemos ter 𝑥 ≥ 1. Então, nesse 
intervalo: 
𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 2| + 3 = (2𝑥 − 2) + 3 
																												= 2𝑥 + 1 
 
Para os demais valores do domínio, ou seja, 
𝑥 < 1, o módulo é negativo e devemos tomar 
seu oposto: 
𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 2| + 3 = −(2𝑥 − 2) + 3 
																												= −2𝑥 + 5 
 
Logo, a função pode ser definida da seguinte 
maneira: 
𝑓(𝑥) = $ 2𝑥 + 1,			𝑠𝑒		𝑥 ≥ 1−2𝑥 + 5,			𝑠𝑒		𝑥 < 1 
 
Com isso, fica fácil trabalhar com essa função 
modular, pois ela transformou-se em funções do 
primeiro grau nos dois intervalos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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