Cálculo Numérico - Aula 2 Introdução ao Programa de Computação Numérica (PCN) e Teoria dos Erros

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Cálculo numérico
Aula 2: Introdução ao Programa de Computação Numérica
(PCN) e Teoria dos Erros
Apresentação
Nesta aula, vamos identi�car a necessidade do Cálculo Numérico para a resolução de problemas em Engenharia, como
implementar e de�nir o erro cometido neste processo computacional. Resolveremos também alguns exemplos clássicos
encontrados na literatura.
Objetivos
Identi�car os conceitos básicos de programação estruturada.
Identi�car os tipos de erros que ocorrem no processamento de algoritmos numéricos com auxílio de computador.
Programação estruturada
Programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica que tem como objetivo facilitar o
entendimento dos procedimentos a serem executados. Essa técnica se desenvolve com a decomposição do problema em
etapas ou estruturas hierárquicas, que possibilita uma melhora na con�abilidade e na manutenção do programa.
 Photo by Arif Riyanto (Fonte: Unsplash).
Tipos de estrutura
Há três tipos de estruturas básicas:
1
Sequenciais
2
Seletivas
3
Repetitivas
Estruturas sequenciais
Neste tipo de estrutura, cada ação segue a outra ação sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra. Vejamos
um exemplo:
Um segmento “Faça primeiro a
Tarefa a e depois realize a Tarefa
b” seria representado por uma
sequência de dois retângulos.
A mesma construção em
pseudocódigo seria denotada pela
expressão das duas tarefas, uma
após a outra.
Estruturas seletivas
Nestas estruturas, avaliam-se as condições (Se) e, em função do resultado das mesmas, realizam-se umas ações (sim) ou
outras (não). Para isso, utilizam-se expressões lógicas.
Comando Se (IF)
A expressão �caria "se a condição lógica x for verdadeira, faça a Tarefa A; senão (isto é, se a condição x for falsa), faça a Tarefa
B.“. Observe que em alguns livros essas expressões são usadas em inglês.
As duas setas que saem do
losango de condição recebem
rótulos V e F (T e F) para indicar o
�uxo de execução quando a
condição especi�cada é verdadeira
ou falsa, respectivamente.
O retângulo sob a seta rotulada V
normalmente é denominado bloco
Então (Then) da construção,
enquanto que o outro retângulo é
denominado bloco Senão (Else),
Comando SWITCH
O comando SWITCH permite que tenhamos várias expressões lógicas com um comando. Dessa forma, é possível representar
�uxos da forma "se a variável y tem o valor 1, faça a Tarefa A; se y tem o valor 2, faça a Tarefa B; se y tem o valor 3, faça a
Tarefa C; para qualquer outro valor de y, faça Tarefa D."
Essa condição está restrita a condições lógicas envolvendo exclusivamente testes de igualdade.
A construção SWITCH não é
essencial, uma vez que ela pode
ser representada em termos da
seleção com IF.
A mesma expressão pode ser
representada por este �uxograma
da função SWITCH.
Já o pseudocódigo referente a
mesma função seria escrito desta
forma.
Teoria dos erros
Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são
soluções de certo problema.
Enquanto os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas, os métodos numéricos produzem, em geral,
apenas soluções aproximadas. Por este fato, antes da utilização de qualquer método numérico é necessário decidir qual a
precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a
seleção de um algoritmo particular na resolução de um dado problema.
De�nimos como erro a diferença entre o valor obtido (aproximado) e o valor
exato.
Origem dos erros
Os erros podem ser causados pelos seguintes motivos:
01 erro no modelo
02 erro nos dados
03 erro absoluto ou relativo
04 erro de arredondamento ou de truncamento
Erro no modelo
Um modelo matemático raramente oferece uma representação exata dos fenômenos reais, pois procuramos generalizá-los.
Dessa forma, aceitamos certas condições que simpli�cam o problema de forma a torná-lo tratável.
No entanto, esse procedimento nos leva a cometer certo erro na solução �nal. Esse erro é considerado inicial ao problema e
exterior ao processo de cálculo.
Erro nos dados
Os dados podem ser medidos experimentalmente, e, portanto, aproximados, pois os meios de medição também não são
precisos.
As aproximações nos dados podem ter grande repercussão no resultado �nal. Esse erro também é considerado inicial ao
problema e exterior ao processo de cálculo.
Erro absoluto ou relativo
De�nimos erro absoluto como sendo a diferença entre o valor exato de um número x e de seu valor aproximado:
= E = x −X⎯⎯⎯ Ax x⎯⎯
Como, geralmente, nem todos os valores são conhecidos, torna-se impossível conhecermos o valor exato do erro absoluto.
Logo, devemos trabalhar com uma limitante superior ou uma estimativa para o módulo do erro absoluto, e o valor aproximado.
Por exemplo: se 𝜋 ∈(3.14, 3.15), temos de tomar um valor dentro desse intervalo. Dessa forma, teremos
. Logo, podemos dizer que a precisão é de 0,01 (grau de precisão).
De�nimos erro relativo como sendo o quociente entre o erro absoluto e o valor aproximado:
E = 𝜋  − 𝜋  < 0, 01∣∣ Ax ∣∣ ∣∣ ∣∣
E = =Rx
EAx
x
x−x⎯⎯
x
Por exemplo: se , então . Logo, o erro relativo será
.
= 2. 112, 9 ex ∈ (2. 112, 8,  2113)x⎯⎯ E < 0, 1∣∣ Ax ∣∣
E = < ≈ 4, 7x∣∣ Rx ∣∣ E∣∣ Ax ∣∣x
0,1
2.112,9 10
−5
Observe que o erro relativo nos fornece mais informações sobre a qualidade
do erro que estamos cometendo em um determinado cálculo.
A ordem de grandeza será o erro relativo multiplicado por 100. Esse valor será dado em porcentagem.
Por exemplo: dados o valor exato 𝑎 = 2345,713 e o valor aproximado 𝑎 .= 2345,00, então, 𝐸 .= 0,713 e 𝐸 . = 0,00030396.
Logo, a ordem de grandeza será de 0,03%.
𝑒𝑥 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 𝑎𝑏𝑠 𝑟𝑒𝑙
Erro de arredondamento ou de truncamento
A representação de número depende fundamentalmente da máquina utilizada. Se o número x não tem representação �nita ou
a máquina não o comporta, uma aproximação será obtida por arredondamento ou por truncamento.
Regras de arredondamento
Clique nos botões para ver as informações.
O dígito de ordem k é acrescido de uma unidade, se o de ordem (k + 1) for maior que a metade da base. Caso contrário, o
número é representado com os k dígitos iniciais.
Exemplo:
Se o número for maior ou igual a 5, somar 1 ao dígito anterior: 0,1428571429 = 0,14286.
Regra 1 
Se o dígito de ordem (k + 1) é exatamente a metade da base e, se o de ordem k é par, então o número é representado com
k dígitos. Se o dígito de ordem k é ímpar, então o de ordem k é acrescido de uma unidade.
Exemplo:
Se o número for menor que 5, manter o número: 0,1428571429 = 0,14285714
Regra 2 
O arredondamento por corte considera que, para obter um número com k dígitos, simplesmente trunca-se na posição k.
Observe que o dígito onde o arredondamento deve parar �ca a critério de quem esta fazendo o cálculo.
Erros de truncatura
A substituição de um processo in�nito por um processo �nito resulta em um certo tipo de erro designado erro de truncatura, ou
seja, algumas equações podem ser construídas no sentido que um processo in�nito possa ser descrito como limite da solução
em questão.
Por de�nição, um processo in�nito não pode ser completado e, por isso, tem de ser truncado após certo número �nito de
operações.
Esse erro ocorre no processo de cálculo de uma solução numérica como, por exemplo, simplesmente ignorar os restantes
dígitos a partir de um determinado ponto: 0,1428571429 = 0,14285.
Na maioria das vezes, o erro cometido em uma operação isolada pode não ser muito signi�cativo para a solução do problema,
mas, ao tratarmos muitas operações, esses erros se propagam.
Caso o erro se acumule a uma taxa crescente, dizemos que o erro é ilimitado
e a sequência de operações é considerada instável. Caso contrário, o erro é
limitado e, portanto, a sequência de operações é considerada estável.
Portanto, sejam x e y tais que . Vamos supor que o erro �nal seja arredondado.
O erro absoluto nasoma, analogamente para a subtração, será igual a soma dos erros absolutos das parcelas. Vejamos:
x = + E e y = + Ex Ax y 
⎯⎯⎯
Ay
x + y = ( + E ) + ( + E ) = ( + ) + (E + E )x Ax y Ay x y Ax Ay
Para a operação de multiplicação, teremos:
x. y = ( + E ) + ( + E ) = . + . E + . E + E + Ex Ax y Ay x y x Ax y Ay Ax Ay
Podemos desprezar 𝐸𝐴 . 𝐸𝐴 , pois é um valor muito pequeno. Logo, teremos:𝑥 𝑦
E = . E + . EAx.y x Ay y Ax
Notas
R f ê i
Referências
Próxima aula
Solução de equações transcendentes e polinomiais – raízes de equações.
Explore mais
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