Transformações Lineares

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1. Transformações Lineares: Definição e Propriedades 
Neste trabalho vamos estudar as Funções Vetoriais cujos domínio e contradomínio são 
Espaços Vetoriais Reais. Assim sendo estas funções levarão vetores em vetores. Em 
especial iremos estudar as Transformações Lineares. 
Para dizer que T é uma Transformação Linear do Espaço Vetorial V no Espaço Vetorial W 
escrevemos :T V W→ . 
Para exemplificar vamos considerar a Transformação Linear 2 3:T R R→ definida por 
( ) ( ), , 2 ,T x y x y y x= + , assim temos por exemplo que: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1,2 1 2,2 2,1 3,4,1
1,1 1 1,2 1, 1 0,2, 1
0,0 0 0,2 0,0 0,0,0
T
T
T
= +  =
− = − +  − = −
= +  =
 
 
DEFINIÇÃO: 
Sejam V e W Espaços Vetoriais. Uma função :T V W→ é chamada 
Transformação Linear de V em W se, e somente se: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
T v w T v T w
T v T v 
+ = +
=
 
, ,u v V R    
Uma Transformação Linear :T V V→ é chamada 
Operador Linear. 
 
 
Observações: 
I. Em toda transformação linear :T V W→ a imagem do vetor 0 V é o vetor 0 W . 
II. Este resultado caracteriza as transformações lineares :T R R→ como ( )T x ax= cujos 
gráficos são retas passando pela origem do plano cartesiano. 
III. As transformações lineares 
2 2:T R R→ são definidas por 
( ) ( ), ,T x y ax by cx dy= + + . 
IV. Generalizando, as transformações lineares :
n mT R R→ são definidas de tal forma que as 
coordenadas da imagem são funções lineares nas variáveis 1 2, ,..., nx x x . 
 
 
 
2 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS E RESOLVIDOS: 
1) Consideremos a transformação linear 2 2:T R R→ definida por ( ) ( ), 3 2 , 4T x y x y x y= − + . 
Utilizar os vetores ( )1,2u e ( )3, 1v − para mostrar que ( ) ( ) ( )3 4 3 4T u v T u T v+ = + . 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 4 3 1,2 4 3, 1 3,6 12, 4
3 4 3 12,6 4 15,2
u v
u v
+ = + − = + −
+ = + − =
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 4 15,2 3 15 2 2,15 4 2 45 4,15 8
3 4 41,23
T u v T
T u v
+ = =  −  +  = − +
+ =
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1,2 3 1 2 2,1 4 2 3 4,1 8 1,9
3 3 1,9 3,27
T u T
T u
= =  −  +  = − + = −
= − = −
 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3, 1 3 3 2 1 ,3 4 1 9 2,3 4 11, 1
4 4 11, 1 44, 4
T v T
T v
= − =  −  − +  − = + − = −
= − = −
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 3,27 44, 4 41,23T u T v+ = − + − = 
Então: 
( ) ( ) ( )3 4 3 4T u v T u T v+ = + 
2) Dada a transformação linear :T V W→ , tal que ( ) 3T u u= e ( )T v u v= − , calcular em 
função de ,u v : 
a) ( )T u v+ 
b) (3 )T v 
c) (4 5 )T u v− 
SOLUÇÃO: 
a) ( )( ) ( ) ( ) 3 4T u v T u T v u u v u v+ = + = + − = − 
SOLUÇÃO: 
b) ( )(3 ) 3 ( ) 3 3 3T v T v u v u v= = − = − 
SOLUÇÃO: 
c) ( ) ( )(4 5 ) 4 ( ) 5 ( ) 4 3 5 12 5 5 7 5T u v T u T v u u v u u v u v− = − = − − = − + = + 
3) Dentre as transformações 2 2:T R R→ definidas pelas seguintes leis, verificar quais são 
lineares: 
a) ( ) ( ), 3 ,2 5T x y x y x y= − + 
b) ( ) ( ), ,T x y y x= 
c) ( ) ( )2 2, ,T x y x y= 
d) ( ) ( ), 1,T x y x y= + 
e) ( ) ( ), ,0T x y y x= − 
f) ( ) ( ), ,2T x y x y= 
g) ( ) ( ), ,T x y senx y= 
h) ( ) ( ), ,T x y xy x y= − 
i) ( ) ( ), 3 , 2T x y y x= − 
3 
 
SOLUÇÃO: 
Considerando as observações acima temos que: 
a) É uma transformação linear. 
1; 3; 2; 5a b c d= = − = = 
b) É uma transformação linear. 
0; 1; 1; 0a b c d= = = = 
c) Não é uma transformação linear. 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 2
2 2
3 2,4 3 2,3 4 6,12 6 ,12 36,144
3 2,4 3 2 ,4 3 4,16 12,48
3 2,4 3 2,4
, ,
T T T
T
T T
T x y T x y 
=   = = =
= = =


 
d) Não é uma transformação linear. 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0,0 0 1,0 1,0
0,0 0,0
T
T
= + =

 
e) É uma transformação linear. 
1; 1; 0; 0a b c d= − = = = 
f) Não é uma transformação linear. 
( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
1 2,4 2, 4 2 ,2 4 2, 8
1 2,4 1 2 ,2 4 1 2 , 1 8 2, 8
1 2,4 1 2,4
, ,
T T
T
T T
T x y T x y 
− = − − = − − = −
− = −  = − −  − −
−  −

 
g) Não é uma transformação linear. 
( )
( ) ( ) ( )
,0 ,0 ,0 1,0
3 6 2 2
3 1 3 1
,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0
3 6 3 6 2 2 2 2
,0 ,0 ,0
3 6 3 6
T T sen
T T sen sen
T T T
T v w T v T w
   
   
   
     
+ = = =     
     
            
+ = + = + = +                           
     
+  +     
     
+  +
 
h) Não é uma transformação linear. 
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 , 1 0 3, 1 3 1 , 3 1 3, 3 1 3, 2
1, 1 2,0 1 1 , 1 1 2 0, 2 0 1,0 0, 2 1, 2
1 2 , 1 0 1, 1 2,0
T T
T T
T T T
T v w T v T w
− + − − + = − − = − − − − − = − + = −
− − + − = − − − − − + − − − = + − = −
− + − − +  − − + −
+  +
 
i) É uma transformação linear. 
0; 3; 2; 0a b c d= = = − = 
 
 
 
4 
 
4) Seja 2V = . Fazer um gráfico de um vetor genérico ( ),v x y do domínio e de sua imagem 
( )T v sob a transformação linear 2 2:T → dada por: 
a) ( ) ( ), 2 ,0T x y x= 
SOLUÇÃO: 
 
b) ( ) ( ), 2 ,T x y x y= 
SOLUÇÃO: 
 
c) ( ) ( ), 2 , 2T x y x y= − − 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
d) ( ) ( ), 3 , 2T x y x y= − 
SOLUÇÃO: 
 
e) ( ) ( ), 2 ,T x y x y= − 
SOLUÇÃO: 
 
f) ( ) ( ), ,T x y x y= − 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
5) Determinar a transformação linear 2 3:T → tal que ( ) ( )1,1 3,2,1T − = e ( ) ( )0,1 1,1,0T = . 
Encontrar ( ) 2,v x y  tal que ( ) ( ), 2,1, 3T x y = − − . 
Observação: 
Uma transformação linear :T V W→ fica completamente definida quando se conhecem 
as imagens dos vetores de uma base de V . 
SOLUÇÃO: 
Os vetores ( )1,1− e ( )0,1 formam uma base de 2 ? 
Seja os escaleres ,k l tal que: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,1 0,1 0,0 , 0,0
0 0
0 0
k l k k l
k k
k l l
− + =  − + =
− =  =

+ =  =
 
Portanto os vetores ( )1,1− e ( )0,1 formam uma base de 2 . 
Seja os escaleres ,k l tal que: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1,1 0,1 , , ,
, 1,1 0,1 1,1 0,1
, 3, 2,1 1,1,0
, 3 , 2 , , ,0
, 3 , 2 ,
, 2 , ,
k l x y k k l x y
k x k x
k l y x l y l x y
T x y T x x y xT x y T
T x y x x y
T x y x x x x y x y
T x y x x y x x y x
T x y x y x y x
− + =  − + =
− =  = −

+ =  − + =  = +
= − − + + = − − + +
= − + +
= − − − + + +
= − + + − + + −
= − + − + −
 
Vamos agora encontrar ( ) 2,v x y  tal que ( ) ( ), 2,1, 3T x y = − − . 
( ) ( ) ( )
( )
( )
, 2 , , 2,1, 3
2 2 2 3 4 6 4 2( )
1 3 1 4
3 3
3,4
T x y x y x y x
x y V
x y y y
x x
v
= − + − + − = − −
− + = −  − + = − + = −

− + =  − + =  =
− = −  =
=
 
6) Determinar a transformação linear 3 2:T → tal que ( ) ( )1, 1,0 1,1T − = , 
( ) ( )0,1,1 2,2T = .e ( ) ( )0,0,1 3,3T = . Encontra ( )1,0,0T e ( )0,1,0T . 
SOLUÇÃO: 
Os vetores ( )1, 1,0− , ( )0,1,1 e ( )0,0,1 formam uma base de 3 . (Verifique!) 
 
Seja os escaleres , ,k l m tal que: 
7 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
1, 1,0 0,1,1 0,0,1 , , , , , ,
, , 1, 1,0 0,1,1 0,0,1 1, 1,0 0,1,1 0,0,1
, 1,1 2,2 3,3
, , 2 2 ,2
k l m x y z k k l l m x y z
k x
k l y x l y l x y
l m z x y m z m z x y
T x y z T x x y z x y xT x y T z x y T
T x y x x y z x y
T x y x x x y x
− + + =  − + + =
=

− + =  − + =  = +
 + =  + + =  = − −
= − + + + − − = − + + + − −
= + + + − −
= + +( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3 3 3 ,3 3 3
, 2 2 3 3 3 , 2 2 3 3 3
, 3 , 3
y z x y z x y
T x y x x y z x y x x y z x y
T x y y z y z
+ + − − − −
= + + + − − + + + − −
= − + − +
 
Vamos agora encontrar ( )1,0,0T e ( )0,1,0T . 
De acordo com a definição de 3 2:T → determinada acima, temos: 
( ) ( ) ( )1,0,0 0 3 0, 0 3 0 0,0T = − +  − +  = 
( ) ( ) ( )0,1,0 1 3 0, 1 3 0 1, 1T = − +  − +  = − − 
7) Determinar a transformação linear 2 2:T P P→ ( 2P é o espaço vetorial dos 
polinômios de grau 2 da forma 2( )Px ax bx c= + + ) tal que ( )1T x= , ( ) 21T x x= − .e 
( )2 22T x x x= + . 
SOLUÇÃO: 
O conjunto  21, ,x x é uma base do espaço vetorial 2P (Verifique!), portanto, seja os 
escaleres , ,k l m tal que: 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
( ) (1) ( ) ( )
( ) 1 2
( ) 2
( ) 2
k lx mx a bx cx
k a
l b
m c
T a bx cx aT bT x cT x
T a bx cx ax b x c x x
T a bx cx ax b bx cx cx
T a bx cx b a c x b c x
+ + = + +
=

=
 =
+ + = + +
+ + = + − + +
+ + = + − + +
+ + = + + + − +
 
8) Seja o operador linear 
( ) ( )2 2: , , 2 ,4 2T T x y x y x y→ = + + 
Quais dos seguintes vetores pertencem ao ( )N T ? 
a) ( )1, 2− ; b) ( )2, 3− ; c) ( )3,6− 
SOLUÇÃO: 
8 
 
Definição 1: 
Chama-se núcleo de uma transformação :T V W→ linear, representado por N(T) ao 
conjunto dos vetores v V que são transformados no vetor nulo de W. 
 ( ) / ( ) 0N T v V T v=  = 
 
a) 
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
1, 2 2 1 2 ,4 1 2 2
1, 2 2 2,4 4 0,0
1, 2 ( )
T
T
N T
− =  + −  + −
− = − − =
− 
 
b) 
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
2, 3 2 2 3 ,4 2 2 3
2, 3 4 3,8 6 1,2
2, 3 ( )
T
T
N T
− =  + −  + −
− = − − =
− 
 
c) 
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
3,6 2 3 6,4 3 2 6
3,6 6 6, 12 12 0,0
3,6 ( )
T
T
N T
− =  − +  − + 
− = − + − + =
− 
 
9) Seja o operador linear 
( ) ( )2 2: , , 2 ,4 2T T x y x y x y→ = + + 
Quais dos seguintes vetores pertencem ao Im( )T ? 
b) ( )2, 4 ; b) 
1
, 1
2
 
− − 
 
; c) ( )1,3− 
9 
 
SOLUÇÃO: 
Definição 2: 
Chama-se imagem de uma transformação :T V W→ linear, representada por Im(T) ao 
conjunto dos vetores w W que são imagem de algum vetor de V. 
 Im( ) / ( )T w W v V T v w=     = 
 
a) 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) 
1
2
, 2, 4 2 , 4 2 2, 4
2 2 4 2 4( )
4 2 4 4 2 4( )
( ) ( ) 0 0
0,2
1,0
Im( ) , / 2 2
T x y x y x y
x y x y I
x y x y II
I II
v
v
T v x y x y
=  + + =
+ = − − = − 
 
+ = + = 
+  =
=
=
= + =
 
b) 
( ) ( )
( ) 
1 2
1 1
, , 1 2 , 4 2 , 1
2 2
1
4 2 1( )2 ( 2)
2
4 2 1( )
4 2 1
( ) ( ) 0 0
1 1
0, ; ,0
2 4
Im( ) , / 2 1
T x y x y x y
x y Ix y
x y II
x y
I II
v v
T v x y x y
   
= − −  + + = − −   
   

− − =+ = − − 
 
+ = − + = −
+  =
   
= − = −   
   
= + =
 
10 
 
c) 
( ) ( ) ( ) ( ), 3,6 2 ,4 2 3,6
2 3( 2) 4 2 6( )
4 2 6 4 2 6( )
( ) ( ) 0 12
T x y x y x y
x y x y I
x y x y II
I II
= −  + + = −
+ = − − − − = 
 
+ = + = 
+  =
 
Não existe v V tal que ( )( ) 3,6T v = − 
10) Seja transformação linear 4 3:T → tal que: 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4( ) 1, 2,1 , ( ) 1,0, 1 , ( ) 0, 1,2 , ( ) 1, 3,1T e T e T e T e= − = − − = − = − , sendo  1 2 3 4, , ,e e e e a base 
canônica de 4 . 
a) Determine ( ), , ,T x y z w 
b) Determinar o núcleo de T, ( )N T ; 
c) Determinar a imagem de T, Im( )T ; 
d) Determinar uma base para o núcleo de T, ( )N TB ; 
e) Determinar uma base para a imagem de T, 
Im( )TB ; 
f) A transformação é injetora? 
SOLUÇÃO: 
a) 
Observação: 
Uma transformação linear :T V W→ fica completamente definida quando se conhecem 
as imagens dos vetores de uma base de V . 
 
Como  1 2 3 4, , ,e e e e é a base canônica de 
4 , temos: 
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 3 4
1 2 3 4
, , ,
, , , ( ) ( ) ( ) ( )
, , , 1, 2,1 1,0, 1 0, 1,2 1, 3,1
, , , , 2 , ,0, 0, , 2 , 3 ,
, , , , 2 3 , 2
x y z w xe ye ze we
T x y z w xT e yT e zT e wT e
T x y z w x y z w
T x y z w x x x y y z z w w w
T x y z w x y w x z w x y z w
= + + +
= + + +
= − + − − + − + −
= − + − − + − + −
= − + − − − − + +
 
b) 
Definição 1: 
Chama-se núcleo de uma transformação :T V W→ linear, representado por N(T) ao 
conjunto dos vetores v V que são transformados no vetor nulo de W. 
 ( ) / ( ) 0N T v V T v=  = 
11 
 
( ) ( )
( ) ( )
, , , ( ) ( ) 0,0,0
, 2 3 , 2 0,0,0
0 2 2 2 ( )
2 3 0 2 3 0 ( )
2 0 2 0 0
( ) ( ) 2 3 2 2
( ) 2 3
3 ,
v x y z w N T T v
x y w x z w x y z w
x y w x y w x y w I
x z w x w II
x y z w w z w z
I II y w w w y
I x y w x y y x y
v y
=   =
− + − − − − + + =
− + =  − = −  − = −

− − − =  − − =
 − + + =  − + + =  =
+  − − = −  = −
 − = −  − =  =
= ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
1
1
1
1
,0, 2
3,1,0, 2
3,1,0, 2 3 1 2, 2 3 0 3 2 ,3 1 0 2
3,1,0, 2 0,0,0
3,1,0, 2 ( )
y y
v
T v T
T v T
v N T
−
= −
= − = − − − − − − − + −
= − =
= − 
 
c) 
Teorema da dimensão: 
Seja V de dimensão finita e transformação linear :T V W→ : 
dim ( ) dim Im( ) dimN T T V+ = 
4 3
3
dim ( ) 1;dim 4;dim 3
1 dim Im( ) 4 dim Im( ) 4 1 3
Im( )
N T
T T
T
= = =
+ =  = − =
=
 
d) 
( ) 
( ) 
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
1
1
( ) 3 , ,0, 2
dim ( ) 1
3,1,0, 2
3,1,0, 2 3 1 2, 2 3 0 3 2 ,3 1 0 2
3,1,0, 2 0,0,0
3,1,0, 2 ( )
N T
N T y y y
N T
B
T v T
T v T
v N T
= −
=
= −
= − = − − − − − − − + −
= − =
= − 
 
e) 
 Im( ) 1 2 3, ,TB e e e= , base canônica de 
3 . 
 
 
 
12 
 
f) 
Propriedade 1: 
Uma transformação linear :T V W→ é injetora se, e somente se: 
   ( ) / ( ) 0 0N T v V T v=  = = 
Como  ( ) 0N T  a transformação não é injetora.