problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (201)

Prévia do material em texto

Caṕıtulo 7. Matrices sobre un cuerpo
(b) Tenemos:
N2 =
0 1 00 0 1
0 0 0
 0 1 00 0 1
0 0 0
 =
0 0 10 0 0
0 0 0
 ,
N3 = N2N =
0 0 10 0 0
0 0 0
 0 1 00 0 1
0 0 0
 =
0 0 00 0 0
0 0 0
 .
Podemos escribir A = 2I +N. Además, (2I)N = 2(IN) = 2(NI) = N(2I),
es decir 2I y N conmutan, luego es aplicable la fórmula del binomio de
Newton para hallar An. Como N3 = 0, se verifica N4 = N5 = . . . = 0, por
tanto:
An = (2I +N)n =
(
n
0
)
(2I)n +
(
n
1
)
(2I)n−1N +
(
n
2
)
(2I)n−2N2
= 2nI + n2n−1N +
n(n− 1)
2
2n−2N2
=
2n 0 00 2n 0
0 0 2n
+
0 n2n−1 00 0 n2n−1
0 0 0
+
0 0 n(n−1)2n−220 0 0
0 0 0

=
2n n2n n(n−1)2n−220 2n n2n
0 0 2n
 .
(c) Podemos expresar: A = I + N con N =

0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
 . Hallemos las
potencias de N :
N2 =

0 0 1 2
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
 , N3 =

0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
 , N4 = 0.
Dado que IN = NI, podemos aplicar la fórmula del binomio de Newton
para calcular (I +N)n. Teniendo en cuenta que Nm = 0 si m ≥ 4 :
An = (I +N)n =
(
n
0
)
In +
(
n
1
)
In−1N +
(
n
2
)
In−2N2 +
(
n
3
)
In−3N3