atividade de limites

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA 
COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA 
CURSO:________________________________________________________________ 
DISCIPLINA: CÁLCULO ________________________________________ 
PROFESSOR: WASHINGTON CÉSAR PERÍODO: 2023.1 
 
ALUNO(A): _______________________________________________DATA: _____________ 
 
# LIMITES # 
 
 
 
1. TÉCNICAS PARA CÁLCULO DE LIMITES 
 1.1 - O limite não apresenta indeterminações 
 → Substituição direta do valor de x. 
1.2 - O numerador e o denominador tendem a zero. 
 → No caso de polinômios: fatorar o numerador e o denominador e simplificar a função. 
→ Quando a variável aparece sob uma raiz quadrada: multiplicar a fração pelo conjugado do denominador ou 
 do numerador conforme for o caso. 
→ Fazer uma mudança de variável quando a variável aparecer sob raiz cúbica, quarta, etc. 
1.3 - O numerador tende a um número real e o denominador se aproxima de + ou -. 
 → O limite é sempre igual a zero. 
1.4 - O numerador e o denominador tendem a + ou - 
 → Dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x do denominador. 
1.5 - A função polinomial não tem denominador e x tende a + ou -. 
 → Colocar em evidência a maior potência de x, o limite será igual a + ou -. 
1.6 - O numerador se aproxima de um número real não-nulo e o denominador tende a zero. 
 → Se o denominador tende a zero, a fração cresce ou decresce indefinidamente e os limites 
 laterais serão iguais a + ou -. 
2. ASSÍNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 
2.1 Assíntota Vertical → Uma linha reta em x = a é chamada de assíntota vertical do gráfico de uma função f(x) 
se pelo menos uma das seguintes condições for satisfeita 
 (i) −=
−→
)(lim xf
ax
 (ii) +=
−→
)(lim xf
ax
 (iii) −=
+→
)(lim xf
ax
 (iv) +=
+→
)(lim xf
ax
 
 
2.2 Assíntota Horizontal → Uma linha reta em y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função 
f(x) se pelo menos uma das seguintes condições for satisfeita 
(i) bxf
x
=
−→
)(lim (ii) bxf
x
=
+→
)(lim 
 
2.3 Assíntota Oblíqua → Em funções racionais, caso o numerador tenha um grau a mais do que o denominador, 
o gráfico da função apresenta uma assíntota oblíqua (inclinada). Encontramos uma equação para assíntota 
dividindo o numerador pelo denominador para expressar a função racional dada como uma função linear 
mais um resto que é igual a zero quando x →  . 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1) Calcular os limites: 
a) lim
x
x x
x→−
+ −
−1
2 2 3
4 3
 b) lim
x
x x x
x→−
− − +
+2
3 2
3 3 5 2
4 3
 c) lim
x
x
x x→
−
−2
2
2
4
2
 d) lim
x
x
x→
−
−1
3
2
1
1
 e) lim
x
x
x→−
+
−2
3
2
8
4
 
f) lim
x a
a x
a x→−
−
+
2 2
3 3
 g) lim
x a
n nx a
x a→
−
−
 h) lim
x
x x
x x→
− +
−2
4
3 2
10 4
2
 i) lim
/x
x x
x x→−
+ +
− −3 2
2
2
6 11 3
2 5 12
 
 j) lim
x
x x x
x x→
− − +
− +1
3 2
3 2
3 4 2
2 3 1
 k) lim
x
x
x→
− −
−1 2
3 10
1
 l) lim
x
x x
x→
+ − −
0
1 1
 m) lim
x
x
x→
+ −
− −4
2 1 3
2 2
 
 
n) lim
( )
h
h
h→
+ −
0
23 9
 o) lim
h
h h
h→−
− + +
+1
2
3
3 9
1
 p) lim
x
x
x→
−
−9
9
3
 q) lim
x
x
x→
−
−8
3 2
8
 
 
 
2) Seja a função f definida por 
a) f(x) = 
2 3 2
2
2
3 2
2x x
x
se x
se x
− −
−

=




. Calcular lim ( )
x
f x
→2
 b) f(x) = 
2 9 9
3
3
3 3
2x x
x
se x
se x
+ +
+
 −
= −




. Calcular lim ( )
x
f x
→−3
 
 
3) Calcule, se existirem, os limites indicados: 
I) f(x) = 
3 2 1
5 1
4 1
−  −
= −
−  −





x se x
se x
x se x
 a) lim ( )
x
f x
→− +1
 b) lim ( )
x
f x
→− −1
 c) lim ( )
x
f x
→−1
 d) f(-1) 
II) f(x) = 
x se x
se x
x se x
+ 
=
− 





1 2
4 2
5 2
 a) lim ( )
x
f x
→ +2
 b) lim ( )
x
f x
→ −2
 c) lim ( )
x
f x
→2
 d) f(2) 
III) f(x) = 
1 2
0 2
1 2
2− 
=
− 





x se x
se x
x se x
 a) lim ( )
x
f x
→ +2
 b) lim ( )
x
f x
→ −2
 c) lim ( )
x
f x
→2
 d) f(2) 
IV) f(x) =
2 5 3
4 5 3
x se x
x se x
− 
− 



 a) lim ( )
x
f x
→ +3
 b) lim ( )
x
f x
→ −3
 c) lim ( )
x
f x
→3
 d) f(3) 
V) f(x) = 
x
x
+
+
1
1
 a) lim ( )
x
f x
→− +1
 b) lim ( )
x
f x
→− −1
 c) lim ( )
x
f x
→−1
 d) f(-1) 
 
4) Nas funções definidas abaixo, encontre o valor de a tal que: 
a) f(x) = 
3 2 1
3 1
5 1
x se x
se x
ax se x
−  −
= −
−  −





, exista lim ( )
x
f x
→−1
 b) f(x) =
3 5 2
2
2
3 2
2
2
x x
x
se x
ax x se x
− −
−

− − 





, exista lim ( )
x
f x
→2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Verifique se a função f definida abaixo é contínua ou descontínua em x = 4. 
 
f(x) =
x
x
se x
se x
x
se x
−
−

=










2
4
4
1
4
4
64
4
2
 
 
6) Verifique se f é contínua ou descontínua em a. Justifique. 
a) f(x) = 2 5 3x x+ + ; a = -2 b) f(x) =
2 4 2
2 4 2
x se x
x se x
− 
− + 



,
,
 ; a = 2 
c) f(x) = 
x
x
se x
se x
2 9
3
3
4 3
−
−

=





,
,
 ; a = 3 d) f(x) = 
x
x
se x
se x
−
−

=




3
3
3
1 3
,
,
 ; a = 3 
 
e) f(x) = 
4 4 1
2 1
2x x
x
− +
−
 ; a = 1/2 f) f(x) = 
3
2x +
 ; a =-2 
 
7) Determine os valores das constantes A e B, de tal forma que a função f seja contínua para x = 2. 
 





−
=
−
=
2,
2,
2,8
)(
2 xseAxx
xseB
xseAx
xf 
 
8) Determine os valores das constantes A e B, de tal forma que a função f seja contínua para todo x  . 
 
f (x) = 
3 2
2 5
6 5
x se x
Ax B se x
x se x

+  
− 





 
9) Para a função f(x) dada, expresse cada um dos seguintes limites como  − ou NE (não existe): 
a) lim ( )
x a
f x
→ −
 b) lim ( )
x a
f x
→ +
 c) lim ( )
x a
f x
→
 
I) f(x) = 
5
4x −
; a = 4 II) f(x) = 
( )
3
8
2
x
x +
; a = -8 III) f(x) = 
( )
8
2 5 3x +
; a = -5/2 
IV) f(x) = 
2
2
2
2
x
x x− −
; a = -1 V) f(x) = 
( )
1
3 2x x −
; a = 3 VI) f(x) = 
( )
−
+
1
1
2
x
; a =-1 VII) f(x) =
2
1
x
x −
; a = 1 
10) Determine o limite, se existir: 
a) lim
x
x x
x x→
− +
+ −
5 3 1
2 4 7
2
2
 c) lim
x
x
x x→−
−
+
2 3
4 5
2
3
 e) lim
x
x
x→−
−
+
2
3
2
 g) lim
x
x x
x x→−
+
−
100 99
101 100 
b) lim
x
x
x→−
−
+
4 7
2 3
 d) lim
x
x x
x→
− +
−
3
2
2
2 3
 f) lim
( )( )
( )( )x
x x
x x→−
+ −
+ +
3 4 1
2 7 2
 h) lim
x
x
x x→
−
+ +
2 5
3 2
2
2
 
 
11) Ache as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f e trace este gráfico. 
a) f(x) = 
x
x
53
21
+
−
 b) f(x) =
4
2
2 +x
x
 c) f(x) = 
xx
x
32
12
2
2
−
+
 
 
 
12) Esboce o gráfico das funções descritas abaixo. Inclua as equações e os gráficos das assíntotas. 
 
a) f(x) = 
2 4
1
x
x
−
−
 b) f(x) = 
2 1
1
x x
x
− +
−
 
 
RESPOSTAS 
1.a) 4/7 b) 2 c) 2 d) 3/2 e) 3 f) 2/(3a) g) n. an−1 h) 11/2 i) 7/11 j) 5/3 
 k) 1/12 l) 1 m) 
2 2
3
 n) 6 o) 1/18 p) 6 q) 1/12 
2. a) 5 b) –3 
3. (I) a) 5 b) 5 c) 5 d) 5 (II) a) 3 b) 3 c) 3 d) 4 (III) a) 1 b) –3 c) não existe d) 0 
 (IV) a) 1 b) –11 c) não existe d) –11 (V) a) 1 b) –1 c) não existe d) não existe 
4. a) –10 b) –4 
5. Contínua 
6. a) contínua, lim ( )
x a
f x
→
= f(a) b) contínua, lim ( )
x a
f x
→
= f(a) c) descontínua, lim ( )
x a
f x
→
  f(a) 
 
d) descontínua, lim ( )
x a
f x
→ −
  lim ( )
x a
f x
→ +
  lim ( )
x a
f x
→
 não existe. e) descontínua, lim ( )
x a
f x
→
existe mas, f(a) não está 
definida. 
 
f) descontínua, f(a) não está definida, além disso lim ( )
x a
f x
→
 não existe. 
7. A = 3 e B = -2 
8. A = -12, B = 30 
9. (I) -, , NE (II) -, -, - (III) -, , NE (IV) , -, NE (V) , ,  (VI) -, -, - (VII) -, , NE 
10. a) 5/2 b) –7/3 c) 0 d) - e)  f) 3/2 g) 0 h)2/3 
11. a) Assíntota horizontal: y = -2/5 ; assíntota vertical: x = -3/5 
 b) Assíntotas horizontais: y = -2 e y = 2 
 c) Assíntota horizontal: y = 1; assíntotas verticais: x = 0 e x = 3/2 
 
12. a) Assíntota oblíqua: y = x +1; 
 Assíntota vertical: x = 1 
 
 b) Assíntota oblíqua: y = x; 
 Assíntota vertical: x = 1