Questão resolvida - Pretende-se povoar um lago com duas espécies de peixes A e B. Sejam x o número de peixes da espécie A e y o número de peixes da espécie B que existem no ... - aplicação derivadas -

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• Pretende-se povoar um lago com duas espécies de peixes A e B. Sejam o número x
de peixes da espécie A e o número de peixes da espécie B que existem no lago. O y
peso de cada peixe depende das densidades populacionais das espécies. Após um 
período de seis meses, o peso de um exemplar da espécie A é 
 e o peso de um exemplar da espécie B é W = 3 - 0, 002x - 0, 005y1
. Supondo que não morram peixes de qualquer das W = 4, 5 - 0, 003x - 0, 004y2
espécies durante o período de seis meses, quantos exemplares de cada espécie 
devem existir no lago de modo que o peso total dos peixes existentes no lago seja T
máxima? 
 
Resolução:
 
 representam o número de peixes das 2 espécies no lago, o peso de cara peixe é dado x e y
por e , então, o peso total de peixes no lago é dado por;W1 W2
 
T = W x + W y1 2
 
Substituindo as expressões de e em 1, fica;W1 W2
 
T = 3 - 0, 002x - 0, 005y x + 4, 5 - 0, 003x - 0, 004y y( ) ( )
 
Distribuindo dentro dos parênteses e rearrumando os termos, vem;x e y
 
T = 3x - 0, 002x - 0, 005yx + 4, 5y - 0, 003xy - 0, 004y2 2
 
T = -0, 002x - 0, 004y - 0, 008xy + 3x + 4, 5y2 2
 
O (ou os) pontos extermos, em regra, ocorrem quando a derivada da função peso, em 
relação a são iguais a , ou seja;x e y 0
 
= 0 e = 0
𝜕T
𝜕x
𝜕T
𝜕y
 
 
(1)
(2)
 
Vamos, então, encontrar essas derivadas;
 
= 2 ⋅ -0, 002x - 0 - 0, 008y + 3 + 0 = - 0, 004x - 0, 008y + 3
𝜕T
𝜕x
( ) →
𝜕T
𝜕x
 
 
= - 0 - 2 ⋅ 0, 004y - 0, 008x + 0 + 4, 5 = - 0, 008y - 0, 008x + 4, 5
𝜕T
𝜕y
→
𝜕T
𝜕y
 
Como o ponto crítico acontece nos pontos onde a derivada é zero, devemos resolver o 
sistema;
 
-0, 004x - 0, 008y + 3 = 0
-0, 008y - 0, 008x + 4, 5 = 0
 
Para solucionar o sistema, vamos multiplicar a primeira equação por e somar com a -2
segunda, como feito a seguir;
 
-0, 004x - 0, 008y + 3 = 0 × -2 -0, 004x ⋅ -2 + -0, 008y ⋅ -2 + 3 ⋅ -2 = 0 ⋅ -2( ) ( ) → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
0, 008x + 0, 016y - 6 = 0
0, 008y - 1, 5 = 0 0, 008y = 1, 5 y = y = y = ⋅ =→ →
1, 5
0, 008
→
1, 5
8
1000
→
1, 5
1
1000
8
1500
8
 
y = 187, 5
 
Substituindo o valor de y em uma das equações do sistema podemos encontrar o valor de x,
como feito a seguir;
 
-0, 008 ⋅ 187, 5 - 0, 008x + 4, 5 = 0 -1, 5 - 0, 008x + 4, 5 = 0 -0, 008x + 3 = 0→ →
 
 
 
0, 008x + 0, 016y - 6 = 0
-0, 008x - 0, 008y + 4, 5 = 0
0, 08y - 1, 5 = 0
(3)
-0, 008x = -3 x =→
-3
-0, 008
 
x = 375
 
Vamos substituir na função , equação 2, o ponto ;T 0, 0( )
 
T 0, 0 = - 0, 002 0 - 0, 004 0 - 0, 008 ⋅ 0 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 + 4, 5 ⋅ 0( ) ( )2 ( )2
 
T 0, 0 = - 0, 002 ⋅ 0 - 0, 004 ⋅ 0 - 0 + 0 + 0 = - 0 - 0 T 0, 0 = 0( ) → ( )
 
Agora, substituimos os valores encontrados para também em ;x e y T
 
T 187, 5; 375 = - 0, 002 187, 5 - 0, 004 375 - 0, 008 ⋅ 187, 5 ⋅ 375 + 3 ⋅ 187, 5 + 4, 5 ⋅ 375( ) ( )2 ( )2
 
T 187, 5; 375 = - 0, 002 187, 5 - 0, 004 375 - 0, 008 ⋅ 187, 5 ⋅ 375 + 3 ⋅ 187, 5 + 4, 5 ⋅ 375( ) ( )2 ( )2
 
T 187, 5; 375 ≅ 1054, 69( )
 
Como:
 
T 0, 0 < T 187, 5; 375( ) ( )
 
O ponto encontrado com os valores de e , , não pode ser ponto de mínimo. x y 187, 5; 375( )
Porém, não se pode afirmar com 100% de certeza que se trata de um ponto de máximo 
local, com isso, devemos encontrar a matriz Hessiana para confirmar que se trata de um 
ponto de máximo, a matriz Hessina é dada por;
 
H =f
𝜕 T
𝜕x
2
2
𝜕 T
𝜕x𝜕y
2
𝜕 T
𝜕y𝜕x
2
𝜕 T
𝜕y
2
2
 
Com isso, é preciso encontrar todas as derivadas 2° da função ;T
 
= - 0, 004
𝜕 T
𝜕x
2
2
 
 
(4)
 
= - 0, 008
𝜕 T
𝜕y
2
2
 
= - 0, 008
𝜕 T
𝜕x𝜕y
2
 
= - 0, 008
𝜕 T
𝜕y𝜕x
2
 
Fazemos, então, o determinante da matriz Hessiana;
 
Como o determinante de é maior que zero e é menor que zeero, temos um ponto de H
𝜕 T
𝜕x
2
2
máximo local, ou seja, os valores de e encontrados são desse máximo, logo, a x y
quantidade de peixes e no lago de modo que o peso total de peixes no lago seja x y T
máxima é, respectivamente;
 
x = 375 e y ≅ 188
 
 
-0, 004 -0, 008
-0, 008 -0, 008
DetH = - -0, 008 ⋅ -0, 008 + -0, 004 ⋅ -0, 008 = - 0, 000032 = 3, 2 × 10( ) ( ) ( ) ( ) -5
(Resposta)